IV. DD TRACÉ DES OMBRES LINÉAIRES

De l’ombre d'un polyèdre à faces planes.

i a3. Lorsqu'un polyèdre est éclairé par des rayons de lumière parallèles entre eux, l’ombre de ce corps, ou l’espace qu’il prive de lumière, est un prisme dont cliaque face est dans un plan mené par une arête du polyèdre parallèlement aux rayons de lumière. Le système d’arêtes qui forment sur l%polyedre la ligne de séparation d’ombre et de lumière, est déterminé par cette considération, que chacune d’elles est l’intersection de deux faces, l’une éclairée et l’autre dans l’ombre, et que ces faces sont placées du même côté par rapport au plan qui contient l’ombre de l'aréte. Si par un point quelconque d’une arête du polyèdre, on mène une parallèle aux rayons de lumière, cette parallèle ou son prolongement sera dans l’angle des deux faces dont elle est l'intersection , ou en dehors. Dans le premier cas, les deux faces seront ou éclairées ou dans l’ombre. Dans le second cas, l'une sera éclairée et l'autre dans l’ombre, et on sera assuré que leur intersection appartient à la ligne de séparation d’ombre et de lumière.

Les faces du prisme d’ombre étant connues, on cherchera les lignes d intersection des plans qui forment ce prisme, et des surfaces planes ou courbes qui terminent les corps dont la position par rapport au prisme est connue; ces lignes seront les contours des ombres portées sur ces corps par le polyèdre. Leur construction est une application très-simple de la géométrie descriptive; et pour en montrer un exemple, nous supposerons qu’if faille trouver l'ombre d’une cheminée sur un comble, l^a solution de cette question se réduit à trouver 1 ombre d un point et l’ombre d une droite sur des plans don-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a 17

nés; or, l’ombre d’un point est sur la droite menée par Ce point parallèlement au rayon de lumière, et l’ombre d’une droite est dans un plan conduit panla droite parallèlement à ce rayon de lumière, en sorte que la droite étant verticale, le plan qui contient son ombre est aussi vertical ; donc les parallèles au rayon de lumière menées par des points donnés, et les plans parallèles au rayon de lumière menés par des droites données, rencontrent les plans ou les surfaces aussi donnés, suivant des points ou des lignes qui déterminent les ombres des points et des droites, qu’on suppose éclairés par des rayons de lumière parallèles entre eu*.

De l'ombre d’une cheminée sur un comble. ( W. j. O, )

ia4- La cheminée porte ombre sur un comble de bâtiment, et pour décrire le bâtiment, nous le rapporterons, suivant l’usage des architectes, à trois plans, l’un horizontal, qu’on appelle simplement plan, et les deux antres verticaux, qu’on nomme élévation et profil. •

Description du bâtiment. ( Fig. 1 , 2, 3. )

ia5. Le plan de ce bâtiment (fig. t ) est un rectangle ABCD, dont les côtés AB, BC, CD représentent les faces verticales extérieures. de trois murs droits. Le long de ces murs règne une corniche dont la saillie est la meme sur les trois faces. Les Blets extrêmes de cette corniche se projettent sur le plan (fig. 1 ), suivant les droites EF, FG,GH. La portion de corniche correspondante au petit côté BC du bâtiment se termine aux deux plans verticaux, dont les traces horizontales BF, CG divisent eu parties égales les angles droits EFG, FGH.

I j; comble du bâtiment a la forme d’un prisme, dont les arêtes sont horizontales, et qui a pour base un triangle dont le plan est incliné par rapport au plan horizontal. On nomme en charpente cette partie triangulaire du comble, correspondante au petit côté du bâtiment, croupe droite; Tautre partie, formée de fieux plans également inclinés par rapporté l’horizon, se nomme long pan. La droite intersection de ces plgns s’appelle ligne de couronnement du comble. Le triangle RMN (fig. 1 ) est la projection horizontale de la croupe; les trapèzes IKLM, IKON sont les projections des longs pans; la ligne de couronnement a pour projections (fig. t et ») les droites IR, TR'; les lattis de long pan et de croupe se prolongent jusqu’à l’extrémité de la corniche. Trois surfaces cylindriques, telles que (NMFG, N G') (fig. 1 et 2 ), raccordent les plans inclinés des trois lattis et le plan horizontal supérieur de

ai» GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

la corniche. Le raccordement sc fait, i° sur la corniche, suivant les horizontales qui ont pour projections les droites HG, GF, FE ( fig . i), et la droite unique G'H' (fig- a); a° sur les plans des lattis, suivant les horizontales d*mt les projections sont ON, NM, ML {fig- •), et O'IS’ {fig. a)..

Le comhle est traversé par une cheminée, dont les quatre faces verticales extérieures coupent le plan du lattis de long pan, suivant un parallélogramme qui a pour projections {fig. l et a ) abcd , db'cd . Les cotés ad, cb du parallélogramme abcd, prolongés, coupent la protection horizontale KNGde l’intersection des plans de lattis et de croupe, aux points z, v. Élevant les perpendiculaires zz, iv à l’intersection des plans de projections {fig- i et a), qui Coupent la droite K'N' aux points z, v, et menant par ces points les horizon;taies z'b’d, vdc , on aura la projection verticale db'cd' qui correspond à ja projection horizontale abcd de la section de la cheminée par le plan du lattis de long pan.

Les quatre faces intérieures coupent ce plan du lattis suivant un autre parallélogramme, qui a pour projections {fig. i ) Le bandeau de la cheminée a pour projection horizontale efgh {fig. i ), et pour projection verticale {fig. a ) efgh.

Le comble et la cheminée étant éclairés par des rayons de lumière parallèles h la droite ( ST, S'T), on demande t° le système de droites qui séparent l’ombre de la lumière; a" les ombres portées par les lignes de séparation d’ombre et de lumière, sur le corps de cheminée et sur les trois plans du comble qu’on nomme longs pans et croupe, plans qui se rencontrent au point • (K, K') de ht ligne de couronnement (Kl, KT).

Lignes de séparation d'ombre et de lumière sur la cheminée.

126. En faisant abstraction du creux de la cheminée et de son ouverture

supérieure ( afiyt, éf ), le bandeau est un prisme pleut, qui a pour projections horizontale et verticale les deux rectangles efgh, efg'h'. La ligne de séparation d’ombre et de lumière sur ce prisme, se compose de la verticale {h, hf'), des deux horizontales {h/,/'), {Je, ef), de la verticale {e, eg' ), et des deux horizontales ( eg, g' ), {gh, g'Ji). La ligne de séparation d’ombre et «le lumière sur le corps de la cheminée, sc réduit aux deux verticales («, da"), {b, b b’). .

Ombre du bandeau sur la chetninée.

127. Le contour de l'ombre que le bandeau porte sur la cheminée, se cotnposc*de l'ombre portée par les horizontales ( gh, g lv)y { eg, g ) sur les faces

GEOMETRIE .DESUUl'llV £. hq

verticales bc, ca (fig. i ) du corps de la chçminée. En menant par le point g (Jig' a ) une parallèle g't à la projection verticale ST" du rayon 'de lumière, elle coupe la verticale àa au point 7, projection verticale de l’ombre portée par. l'horizon taie ( ge, g ) du bandeau sur là face verlicale-ac (jig. l ) du corps de cheminée.- L’ombré du pointr( h, b') de l’horizontale (gh, g’ h'.) se trouve sur la parallèle (fin, lin) au rayon de lumière : or, ccttè parallèle coupe le prolongement de la face verticale cb du corps de cheminée au point ( r, ri ); donc si l’on mèn e-(Jig. a) l’horizontale n b"a, la partie a b de celte horizontale sera la projection verticale de l’oinbre portée par l’horizontale (g/i, g' fi' ) sur la face verticale bc (Jig. i) du corps de cheminée.

Ombre de la cheminée et du bande cm sur le comble.

ia8. L’horizontale (//<,/”) porte ombre sur le plan K’N"(/q,'. 2) du lattis de croupe. Cette ombre est une autre horizontale ( 56, 6' ) qu’on détermine en menant (Jig. 1 et 2) les parallèles (46, /'6'), (/ 5,/"6’) au rayon de. lumière. Ces parallèles coupent le plan de croupe aux points (6, 6'), (5-, 6"), extrémités dç l’ombre portée-(56, 61). Le point (6, 6’) appartient aussi à l’ombre (67, 67"), portée par la verticale (A./’Ti^sur le plan du lattis de croupe. La parallèle au rayon de lumière menée par l’extrémité (\ i , h'), de la verticale (h, J'), coupe le plan de croupe au point (7, 7') de la droite (67, 67 'Ji Ce point est l’origine de l’ombre qui est portée par l'horizontale ( gh,gh ^ sur le même plan, et dont la projection horizontale est 78 (fig. 1 ). Cette droite 78 prolongée coupe la droite MN au point n de la droite MN, qu'on détermine en menant par l'horizontale ( MN, N’ ) un plan (TA'g!,Jig‘. a ) parallèle au rayon de lumière; ce plan coupe l’horizontale ( gh, g h' ) prolongée au point ( fi, u’ ), et la parallèle (Jig. 1) à la projection horizontale ST du rayon de lumière, coupe la droite MN au (joint n. L’ombre de la verticale (b, b'b") se projette (Jig. t ) suivant la parallèle bti à ST, qui rencontre la droite «7 prolongée au point 8; la droite b H prolongée coupe la droite gh au point p ; ' ce qui apprend que la projection horizontale 78 de l’ombre portée par la droite ( gh, gh' ), correspond A la portion de cette droite, dont hp est la projection horizontale. Les droites (gh.gh"',

( eJ>ef)iel les ombres qu’elles portent sur le plan du lattis.de croupe étant parallèles, les projections horizontales de ces ombres sont aussi (Jig. 1 ) des droites parallèles «78, 54- aurait directement le point \ Intersection des droites 54, KM, en prolongeant ( Jig. 3 ) la droite K'N’ jusqu’au point j de la droite e'J', et en abaissant la ligne de projection J j, qui coupe la droite ej au point J; la droite J 5 rencontre la droite KM au point 4. Le point ( J, y) étant » l'intersection du plan. dit lattis de croupe K'N’ et de l’horizontale (ej. e'J'),

ce point appartient a l’ombre ( 54, 6'4')portéc par celle horizontale sur le plan du lattis K'N’. ^

Puisque la droite 54 se termine au point 4 de la droite K.M, limite de la projection horizontale do lattis de croupe, la parallèle 43 à la ligne de couronnement est la projection horizontale de l’ombre portée par l’horizontale ( ef, ef ) sur le lattis de long pan IKLM (fig. i ). La verticale ( e, e'g ) du bandeau porte sur le lattis uno ombro contenue dans le plan vertical ea3 fig. t) parallèle au rayon de lumière. L’horizontale f eg, g") porte aussi ombre sur le même lattis de long pan, et, pour la déterminer, on mène par cette horizontale uu plan (gui, fig. a) parallèle au rayon de lumière: ce plan coupe les deux horizontales (IK, TR'), (LM, CN’) du lattis de long pan aux points ( u, u' ), ( t, i ). La droite us ( fig. i ) coupe la droite <?a3 au point a, extrémité de la droite ai, projection horizontale de l’ombre de l’arête verticale (e, eg ) du bandeau. Mais l’ombre de la verticale (a, aa) du corps de cheminée a pour projection horizontale la parallèle a i à ST, et cette parallèle coupe Ja droite ut au point 1; d’où il suit que le contour de l’ombre portée par la cheminée et son bandeau sur les trois plans de lattis, a pour projection horizontale Je polygone à neuf côtés, qui sont (fig. î) : al, ta, a3, 34, 45, 56, 67, 78, 8b. Pour construire la projection verticale de ce contour, ou peut se servir d’un nouveau plan de projection, par exemple, du profil (fig. 3) dont le plan est perpendiculaire à la ligne de .couronnement, et dont la trace (fig. 1) est PRQ. En faisant tourner ce profil d’un quart de révolution, on obtient la figure prq (profil fig. 3), dont l’angle r est égal à celui des deux lattis de long pan; ce second plan de projection n’est pas nécessaire, et nous n’en ferons usage que comme un "moyen de vérifier les constructions sur les plans de projections (fig. 1 et a).

129. Le plan vertical bjd (fig. 1) de. l’ombre de la vcrticalc,(é, -b'tl), arête de la cheminée , coupe l’intersection (K.N,K'îJ') des lattis de-long pan et de croupe, au point d’où il suit que l’ombre de nette arête sur le plan de lattis de long pan a pour projection horizontale et verticale les droites by

fis- 0 fififie- a)-

L’horizontale du lattis de long pan, dont la projection horizontale est 34 (fig. 1), a pour projection verticale la droite 3'4’ qu’on détermine en menant la perpendiculaire 44’ “ l’intersection commune des plans des fig. 1 et 2. Les perpendiculaires à cette intersection 33' et 22' coupent (fig. 2) l’horizontale 4’3' et la droite.g'f aux points 3’, 2’ qui déterminent la projection verticale a’3'correspondante à la projection horizontale a'3 de l'ombre portée par l'arête verticale (g,ge' ) du bandeau sur le lattis dû long pan. L'ombre portée par l'arête verticale de la cheminée (a, un1) sur les deux plans de lattis, est formée des

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. aai

deux droites en chevron (ah, aV), (xi,*'!1), dont les projections verticales (Jig. 2) comprennent entre elles l’angle aVi', qui est divisé en deux parties égaies par la droite X1).. Les trois sommets du triangle //xi (Jig. 1) correspondent en projection verticale (fig.it) a lix sommets),'* J, l' du triangle ).y 1

Ainsi les ombres portées par la cheminée sur les trois plans de lattis qui se rencontrent au point (K, K1) de la ligne de couronnement, sont en projection verticale

i° Pour le plan de lattis de croupe K.MN (Jig. 1).... 6’K' (fig. a);

a» Pour le plan de lattis de long pan KJON (Jig. 1) .jr'Jc'a'h’K' (fig. a)',

3° Pour le plan de lattis de long pan K1LM (Jig. 1) Vi'a’3'4' (Jig. 2 .

On aurait pu déterminer l'horizontale 43' (Jig. a) en se servant du profit (fig- 3), sur lequel 01» a projeté le rayon de lumière (ST, ST) ( Jig. \ et 2) suivant la droite ST". L’horizontale (ef, ef) étant projetée sur ce profil au point e ", la parallèle e'4" à ST, coupe la droite S q au point 4" située sur l’horizontale 4’3’ prolongée. La projection horizontale de ce point 4' étant u Jig. t ). la parallèle à 1K. menée par le point u se confond avec la droite 34.

üe l'ombre d'une seconde cheminée (X, X), (fig. ta et ib, pl. 1. O.) sur le plan 1 j. de lattis de long pan (1KNO, l’K'N'O’), (fig. 1 et 2) (*).

1 3o. La cheminée (X, X1) et son bandeau étant donnés de forme et de position, on détermine l’ombre qu’elle porte sur le plan de l’un des lattis de long pan, en procédant de la même manière que pour la première cheminée. Après avoir reconnu les drôles horizon taies et verticales, qui forment la ligne de séparation d’ombre et de lumière, on cherche l’ombre de ces droites sur le plan de lattisde long pamet le contour de cette ombre est en projection horizontale (Jig. i.a)ai\ a3456784, en projection verticale (Jig. j M) a'4cV8'7'6'5'3 ’a’i a .

Pour construire ces projections, on mène par l’horizontala ( fh,f~ ) un plan parallèle au rayon de lumière, qui coupe le plan du lattis de long pan suivant la droite (f mk, mk). Les parallèles lr]6,fit> k ST (Jig. 1 .a) interceptent sur la droite mk le côté 56 de la projection horizontale du contour de l’ombre de la cheminée (Xr X").

Ln second plan parallèle au rayon de lumière, mené par i’horizontale(/A, h\ coupe le plan du lattisde long pan-suivant la droite (ht, l-])-,\c point 7 (Jig. i.a) étant déterminé par la rencontre de la droite 46, et de la parallèle 47 à 56.

(•) Les fig. i.atl 1 .4 sont tracées sur les plans linfig. 1 et 2 ; 00 les distingue par les lettre» n et 4, parce qu’ou se sert pour l'explication de ces figures de lettres ou chiffre» déjà employé» dans les Jig. 1 et ».

ni GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

ou a 67 pour la projection de l'ombre de l’arête verticale du bandeau (h,)' h". Les parallèles 53, t\i, et 1K, coupent la parallèle à ST menée par le. point e, aux points a, 3 extrémités de la projection a3 de l’ombre de la verticale (e, e'g) du bandeau. Menant les parallèles ai, £8 à ST, la parallèle 2.1 â 56, et la parallèle 78 à 35, on a la projection horizontale totale «ia3 56j8b(/ig.

Le prisme vertical abcd Jig. i.a) du corps de la cheminée coupe le plan du lattis suivant un parallélogramme dont la projection verticale ( Jig. i.£)est dbed. Les droites ad, cb {Jig. l .a) étant prolongées jusqu’en NK, et les points de rencontre étant mis en projection verticale sur deux autres points de la droite K'N' (Jig. a), les horizontales menées par ces derniers points coupent les verticales dd,b'bj/ig. î.b) aux sommets a', b',c, d du parallélogramme ab’cd. '

Les verticales élevées par les points (5, 6, 7 ,Jig. 1 .a) et projetées (//£. i.b), coupent les droites/"*! , /z'7 aux points 5', 6', 7'. Menant l’horizontale 7 8 de même longueur que 78 Jig. x .a), et joignant les points d, 8', la droite d’8' est la projection verticale correspondante à la projection horizontale b8 ( fig. t.a). La parallèle «Y à d 'd ( fig. i.b) contient la projection verticale 1’ correspondante au point 1 Jig. 1 .a). La parallèle 1 Y à 5-6' détermine le point d correspondant à 2 Jig. ua ); la parallèle 2 3 à d'8’ contient la projection verticale 3 correspondante à 3 Jig. i.«); menant l’horizontale 3'5 Jig. i.b),ou a pour la projection verticale du contour de l’ombre portée par la cheminée (X, X j sur le plan de lattis de long pan , la figure (c’</8'7'-6'5’3Yi'a’cj.

1 3 1 . Pour compléter l’explication de la première planche des ombres (pl. t. O), nous n'avons à considérer que l'ombre du bâtiment sur le plan horizontal, et l’ombre de la corniche sur une face éclairée du mur.

La face du mur CD Jig. 1 , pl. 1 . 0.) qui est éclairée , efcla face à angle droit CB qui est dans l’ombre, se coupent suivant une verticale C,qui porte sur le plan horizontal Jig. 1), l'ombre C'C" parallèle à ST, projection horizontale du rayon de lumière. " . .

L’horizontale de la corniche (GH, fig. i)et (1 1. j d,fg. a) porte ombre sur la face verticale CD du mur, ét l'ombre portée est une autre horizontale qu’on détermine en menant par un point quelconque (o, oj de la première horizontale, une parallèle au rayon de lumière qui coupe le plan vertical CD au point (10, 10'), dont la prbjection verticale' Jig. 2) est iq', L'horizontale io’.i3 est la projection verticale de la limite de l’ombre portée par la corniche sur la face verticale" CD Jig. i)du bâtiment.

Cet exemple suffit pour faire voir comment on déterminerait l’ombre d'un polyèdre à faces planes, quelle que fût la position de ses arêtes par rapport aux surfaces qui reçoivent les ombres portées par ces arêtes.

jfr*

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. aa3

OMBRES D’USE SPHÈRE. PI. a. 0,fig. (l, i, 3).

i3a. Une sphère' suspendue à l’extrémité d'un fil, est éclairée par des rayons de lumière parallèles; on demande la ligne de séparation d’ombre ri de lumière sur cette splièrc, et le contour dé l’ombre quelle porte sur un plan horizontal donné ( pl . a '. O)?

Soit XY ( fig. i et a ,pi a. O) la droite d’intersection des deux plans de projection auxquels on rapporte une sphère du rayon AI!, dont le centre a pour projections les points A, a. La direction de la lumière est déterminée par les deux projections L, / d'un rayon lumineux.

On sait (art. ii5) que la ligne de séparation d’ombre et de lumière sft'r la splière est un grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la direction de lumière. Pour construire ce cercle, on rapporte la sphère !k un nouveau plan vertical de projection, dont la trace X Y ( fig. 3) sur le plan horizontal est parallèle à la projection horizontale L du rayon lumineux. On projette silice plan le centre de la sphère et la parallèle au rayon de lumière menée par ce centre. Cette parallèle coupe le plan horizontal au point D ; abaissant les perpendiculaires Asdot Dr/ sur X Y; faisant dx (fig. 3) =±«A' (fig. a' , et tirant ad', on aura le triangle a' ad’, dont les côtés ad', d'* sont, l’un, une parallèle au rayon lumineux passant par le centre de la sphère, et l’autre, une parallèle à la projection horizontale AD de ce rayon. La perpendiculaire eaj au côté ad', menée par le point d, détermine la ligne de séparation d ombre et de lumière sur la sphère. Cette ligne est un grand cercle de la sphère du diamètre r/j dont le plan est perpendiculaire au plan vertical X Y. La projection horizontale de ce grand cercle est une ellipse qui a pour grand axe le diamètre G1I du grand cercle de la sphère décrit du point A connue centre, et pour petit axe la droite El’ projection horizontale de e/j fig. 3. Le diamètre GH , fig. i, est dirigé suivant la droite A« perpendiculaire à X Y. Des deux projections EFGH, efifig. (i ct3),du grand cercle séparation d'ombre et de lumière sur la sphère, on déduit laYeconde projection verticale éf g/i, fig. a, tracée sur le plan XY. Les points i, A de celte projection sont sur le grand cercle de la sphère décrit du point «comme centre; ils correspondent aux points 1, K de la projection horizontale EFGH, que l’on détermine en baissant les perpendiculaires «I,1k. sur le diamètre BAC parallèle à XY.

Ia?s points remarquables de la seconde projection (fig- a) sur le plan vertical XY, spnt ceux pour lesquels les tangentes à l’ellipse dfgh ( projection de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la sphère) sont parallèles i’ au diamètre iA du grand cercle de la sphere; a* A la verticale A 'a; 3* à l'horizontale ab ou oc; on constniira ces points de la manière suivante 9

ai/J GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

i • Constructions des points r', s’ de l’ellipse e’f’gh (fig. a), pour lesquels les tangentes sont parallèles au diamètre ik.

1 33. Le diamètre (IK, il, fig. i et a) du grand cercle séparation d'ombre et de lumière sur la sphère, a pour projection sur le plan vertical X’Y {fig. 3) la droite îi\ et en faisant tourner ce cercle autour de sa trace ef pour l’abattre sur le plan X'Y, le diamètre (IK, il) devient ma'n {fig. 3); élevant la perpendiculaire pa'q à mn, les points p et q du grand cercle décrit du point à comme centre, sont ceux pour lesquels les tangentes à ce cercle sont parallèles à la droite rna'n : or les projections de ces points sur le plan X'Y, sont r et r, sur le plan horizontal R et S, et sur le plan vertical XY-(fig^d), r, s',- donc les tangentes à l'ellipse e'/'gh menées par ces points r', s', sont (art. 1 1, liv.Icr) parallèles à la droite il, et parce que cette droite est le grand axe de l’ellipse e'/’gh , la droite rs en est le petit axe.

Les points R, S (Jîg . i), appartiennent au cercle décrit du point A comme centre, avec un diamètre égal à celui des petits cercles égaux de la sphère contenus dans les plans horizontaux, menés par les points r et s {fig. 3) du plan vertical X’Y' ;r et/, ou s et s’ étant les projections verticales sur les deux plans X\', X’Y, des mêmes points du cercle de séparation d’ombre et de lumière, on a, après avoir mené les horizontales ru, st {fig. 3), ru, s't' {fig. a), qui coupent les verticales a a’, K a {fig. 3 et a), aux points u, t, u , t' :

a't (fig. 3) =x a( (fig. a) du (fig. 3) = au (fig. a).

D’où il suit que les points /, s {fig. a) sont sur les horizontales connues tir, (s.

a" Construction des points v’, z’ de l'ellipse tl'gh (fig. a), pour lesquels les tangentes sont verticales.

i34 Le plan vertical AA’ {fig. t) coupe une horizontale (Ffi, /) (fig. • et 3) du plan du cercle de séparation d’ombre et de lumière au point ($',/); l’intersection de ces deux plans devient a’tp', sur le plan du cercle .qu’on a couché sur le plan vertical X'Y, en le faisant tourner autour de la droite ef comme charnière' on obtient cette droite tiV, en prenant la droite /ÿ’ perpendiculaire sur ef, égale à (fig, i ).* Élevant la perpendiculaire »aV (fig. 3) à la droite aV, qui coupe le grand cercle dç la sphère, dont le centre est en a, les tangentes à ce cercle menées par les points d’intersection ir, sont évidemment parallèles à la droite a or ces points w, d ont pour projections sur le plan vertical X'Y, deux points z et v du diamètre edfi qui sont à la ntfine distance du centre a’,- donc si l’on mène par ces derniers points

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. aaâ

des plans horizontaux, ils couperont la sphère suivant deux cercles qui ont pour projections horizontales, un cercle unique du diamètre connu 5e6, ou 718 (fig. 3\ Ce cercle (fig. 1) est coupé par les perpendiculaires eV, zZ à X'Y, aux points V et Z, qui sont les projections horizontales des points it, r! de la

evant les perpendiculaires Ve', Zz' à XY, les distances des points v\ z1 ( fig . a) au diamètre horizontal bc, sont égales entre elles, et égales aux distances connues des points r, z {fig. 3) au diamètre horizontal t./i’.a; d’où il suit que les points v,z. {fig- a) de l’ellipse efi gh sont déterminés, et que, pour ces points, les tangentes à cette ellipse sont parallèles à la verticale (A, An).

Les points v et v, ou z et z’ ( fig. 3 et a ) étant les projections verticales d’un point du cercle de séparation d’ombre et de lumière sur la sphère, les plans horizontaux 5r6, 7x8 {fig. 3) menés par les points v, z du plan vertical X’Y, ont pour traces sur le plan vertical XY, des horizontales vv, z’z" (fig. a) qui coupent la verticale A 'a aux points e", z', dont les distances au centre a sont égales entre elles et de même longueur que les perpendiculaires abaissées du point a' {fig. 3) sur les horizontales 5e6 et yz8 de ce plan.

3° Construction des points e', f' de l'ellipse e’f'gh {fig. a ), pour lesquelles les tangentes sont horizontales.

i35.Les plans horizontaux menés par lespointse,y"(y?^,3) du plan vertical X’Y coupent la sphère suivant deux petits cercles du diamètre fis, dont la projection horizontale est un cercle de même diamètre décrit du point A comme centre; ce dernier cercle est coupé par la parallèle AD {fig. 1) à la projection horizontale L du rayon de lumière aux points E, F; les points (E,e), (F,/) {fig- 1 et3), ont par hypothèse pour projections verticales sur le plan XY, les points e',f; donc si l’on prend afi ou ai’ {fig. 2) égale à où ou de {fig. 3), les horizontales te, ffi {fig. a)» et les perpendiculaires Ee, Vf' à XY se rencontreront aux points e',fi de l’ellipse projection du grand cercle de séparation d’ombre et de lumière sur la sphère. Mais les tangentes aux points (E, e), (F ,fi) de ce grand cercle sont horizontales ; donc leurs projections fiel, et sur le plan vertical XY le sont aussi.

Considérant le grand cercle de séparation d’ombre et de lumière sur la sphère, comme la base d’un cylindre droit dont les arêtes sont parallèles au rayon lumineux (L, /), l’ellipse 9. 10. 11. 12, intersection de ce cylindre par le plan horizontal de projection, est le oontour de l’ombre portée par la sphère sur ce plan. On construit chaque point de cette ellipse, en menant un rayon lumineux par un point de la ligne de séparation d’ombre et de lumière, et en prolongeant ce rayon jusqu’à ce qu’il coupe le plalP horizontal.

de l’omube bu puits ou trou de loup. (PI. 3. O.)

iJÜ. Le puits militaire est une excavation qui a la figure d’un cône tronqué renversé. On donne au diamètre supérieur vingt décimètres, à l’inférieur trois, et à la hauteur, ou à la distance des deux bases circulaires, dixsept décimètres. I-es terres qui proviennent du déblai se relèvent sur les lèvres du puits avec un talus suffisant pour qu'elles ne retombent pas. Dans le fond de chaque puits, on enfonce un piquet d’un mètre en longueur, pointu à l’extrémité supérieure. Pour employer les puits militaires à la défense des ouvrages fortifiés, on les dispose par trois ou quatre rangs parallèles en quinconce. Ayant tracé des triangles équilatéraux de sept mètres de côté, les extrémités et les milieux de ces côtés sont les centres des puits. Les terres relevées dans les intervalles des puits achèvent de rendre le terrain assez irrégulier pour que les troupes, infanterie ou cavalerie, ne puissent pas s’y former. (Voyez le Traité d’art militaire de M. Gay de Vernon. Paris, * 8oô.)

Avant de tracer les ombres du puits coniqnc {/tg. i), nous considérerons deux autres excavations, l’une hémisphérique (/ îg . a), et l’autre cylindrique-

De l’excavation hémisphérique. (Fig. a, pl. 3. O.)

l'iq. Soit (A ,n) (/ Ig . a) le centre du cercle horizontal BDEF : ayant mené par ce centre un rayon de lunîière (AL, al), le plan vertical qui passe par ce rayon, contient l’horizontale XY du terrain, et le demi-grand cercle l>ed de l’excavation. Le bord BDEF du creux hémisphérique porte ombre dans l’intérieur de l'hémisphère, et pour en déterminer le contour, il faut considérer le cercle horizontal BDEF de la sphère comme la base d’un cylindre dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière; or ce cylindre coupera la sphère, suivant un autre grand cercle (art. 206, liv. Ier), dont le plan passera par les points E, F du troisième grand cercle qui serait, sur la Sphère, la ligne de séparation d’ombre et de lumière; mais ces points sont les extrémités du diamètre EF perpendiculaire au diamètre BD du cercle horizontal BDEF; donc le graud cercle, intersection de la sphère et du cylindre, est dans un plan perpendiculaire au plan vertical AB ou XY, mené par le centre de la sphère parallèlement au rayon de lumière. Pour déterminer la trace ac de ce pian sur le plan vertical XY, il suffira de mener par le point h une parallèle bc à la droite ali cette parallèle coupe le demi-cercle bed au point c, par lequel on mène la trace ac.

Le plan de l’onAtrc du boni EBFD dans l’intérieur de l’hémisphère, ayant

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ua?

(tour traces sur le plan horizontal la droite EF, et sur le plan vertical la droite ac, il coupe l’hémisphère suivant un demi-grand cercle dont la projection horizontale est la demi-ellipse ECF. Cettè ellipse a pourgrund axe le diamètre EF, et pour demi-petit axe la droite AC, projection horizontale du rayon ac du cerclt» bcd. Prenant sur le cercle horizontal I1DEF un point quelconque (M, m), et menant par ce point une parallèle (MN, mn), au rayon de lumière, la droite mn, projection verticale de ce rayon, coupe la droite ac au point n, d’où l’on abaisse la perpendiculaire nN à XY, qui coupe les droites MN, M'N' parallèles à AB, aux points N, N’ de l’ellip3e ECF. Le cercle (ECF, ac), partage l'hémisphère en deux parties (BCEF, abce ), (DECF, ade), l’une dans l’ombre, et l’autre éclairée.

De l’excavation cylindrique. (Fig. 3, pl. 3. O. )

1 38. SoitBDEF, le cercle horizontal, base d’un cylindre vertical, dont la ' section par le plan vertical BAD parallèle au rayon de lumière, est le parallélogramme bb'dd', dans lequel on a bd — b'd' — BAD diamètre du cercle BDEF. Le cylindre qui a pour base ce cercle, et dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière (AL, al), pénètre le cylindre vertical suivant une courbe plane (art. ao7, liv. Ier), dont le plan passe par les points E, F des droites verticales qui forment sur le cylindre la ligne de séparation d’ombre et de lumière. Mais ces joints sont les extrémités du diamètre EF perpendiculaire au diamètre BD du cercle horizontal BDEF; donc l’ombre portée par ce cercle sur le cylindre vertical, est dans un plan perpendiculaire à celui du parallélogramme bb'dd ’. Pour déterminer la trace ac de ce plan, il stiflfit de mener la parallèle bc à la projection verticale al du rayon de lumière ; cette parallèle coupe la droite dd' au point c de la droite ac.

Le plan de l’ombre du bord EBF dans l’intérieur du cylindre, ayant pour traces sur le plan horizontal la droite EF, et sur le plan vertical la droite ac, il coupe le cylindre vertical (EBDF, bb’dd") suivant la portion d’ellipse (EDF, ac). La partie du creux cylindrique au-dessous du plan de l’ellipse est dans l’ombre; ta partie au-dessus reste éclairée.

Du puits militaire. ( Fig. t, pl. 3. O. )

i3g. Soit BCDE ( fig . i) le cercle qui est la section du puits par le plan du sol qu’on suppose horizontal. Un plan vertical CA K. mené par le sommet (A, s), du cône qui forme l'intérieur du puits, coupe ce cône suivant le trapèze C E fg, dont le côté CE' est sur la droite XV, intersection des deux plans de projection, l'un horizontal, et l’autre vertical. Ln parallèle au rayon de

aa8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

lumière, menée par le sommet (A, s \ du cône tronqué, coupe le plan horizontal ou le plan du sol au point (H', II). l^as tangentes III, IIK au cercle BCDE, menées par le point II» déterminent les droites Al, AK, projections horizontales des arêtes qui sépareraient sur le cône en relief, l’ombre de la lumière. La portion 1BK du cercle BCDE , comprise entre les points de contact I et K, porte ombre dans l'intérieur du puits, et pour construire le contour de cette ombre, on se sert d’un second plan vertical I.AD, mené par le sommet (S, s ), du cône parallèlement au rayon de lumière. La section du puits par ce plan est (J tg . i.a), le trapèze bdf'g .

Le contour de l’ombre portée par le cercle BCDE dans l’intérieur du puits, est une courbe plane (art. ao7, liv. 1er); mais les points I et K du cercle BCDE appartiennent en même temps à la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur le cône du puits vu extérieurement , et à l’ombre portée par ce cercle sur le même cône vu intérieurement; donc la droite 1K est dans le plan de cette ombre portée. Or, cette droite IK est perpendiculaire au plan de la fi g- i.a; donc le plan de l’ombre lui est aussi perpendiculaire. Ces deux plans ont pour intersection commune la droite irn (Jig- t a), dont le point i est déterminé par la rencontre des deux droites Kl, X’Y’. On trouve le point/n en menant par le point b (/rg. i.a), la parallèle b/n au rayon de lumière si', qui- coupe la droite s'd au point m. Le rayon si passe par le sommet s du cône tronqué; la droite f g est un diamètre de la petite base de ce cône égal àda droite^ (y%. t). •

Le plan de l’ombre (IK, irn ), a pour traces, sur les plans des bases du cône tronqué, les droites IK, NN’, cordes des cercles concentriques BCDE, FGF’G’;' il coupe le cône suivant une ellipse qui serait projetée sur le plan horizontal suivant une autre ellipse INMN’K, dont le sommet M est sur la perpendiculaire M/n à X'Y' ou à la droite LAD. Mais parce que le cône est tronqué, et qu’il se termine au plan horizontal f'g (Jig . i a ), la projection horizontale du contour dé l’ombre sur le cône tronqué, se compose des deux branches égales d’ellipses IPN, KPN', qui se terminent aux points N, N’ de la projection FF'GG’ de la petite base du cône tronqué. La corde NN’, prolongée, passerait par le poiut n (/ îg . i .a), de la droite f g .

Menant par les points N, N' des parallèles NS, NT à la droite AL, qui coupent le cercle BCDE aux points S, T, l’arc SBT de ce cercle porte ombre sur le plan de la petite base du cône tronqué. L’ombre du cercle (BCI)Pi, XY) sur un plan parallèle a celui de ce cercle, est un autre cercle de même rayon que le premier, dont on détermine le centre, en menant par le point ( A, A ) une parallèle ( AO, A'o) au rayon de lumière. Cette parallèle coupe le plan borizontal fg de la petite base du cône au point ( O, o ) de la droite LAD prolon-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. « aa<)

gée. L'arc NN’, décrit du point O comme centre avec un rayon ON ou ON', (égal à AB ou AD), forme avéc les portions d’ellipse IPN, KP’N’ la projection horizontale du contour, de. l’ombre portée par l’arc IBK du bord supérieur du puits dans l’ituériqur de ce puits.

Construction d'un poiiit quelconque (P , p) {/ig. i), ou (P, p' ) {/ g. I, i.a) du contour de l’ombre portée dans l’intéiieur du puits conique par le bord supérieur.

) 4o: Il y a deux manières de construire ce point: ou en considérant le contour de l’ombre comme l’intersection d’un cylindre et d’un cône, ou comme ta section d’un cône par un plan donné. Ayant mené par le sommet du cône (A, s), une parallèle au rayon de lumière qui coupe la base commune du cône ,et du cylindre au point ( H, II' ), et par cette parallèle une suite de plans coupans, les traces de ces plans passeront par le point II. Soit IIR, l’une quelconque de ces traces, qui coupe le cercle BCDE aux points R et Q; la parallèle au rayon de lumière, menée par le point Q, et l’arête du cône menée par le point R, se coupent au point ( P, p ), ou ( P ,/>’)• Le point P est l’intersection de la droite AR, projection horizontale d’une arête du cône, et de la droite QP, projection horizontale de l’arête du cylindre de lumière qui a pour base le cercle BCDE, ces deux arêtes du cône et du cylindre étant dans le plan dont la trace horizontale est HQR.

En menant une autre trace HQ'R’, la droite AR' et la parallèle Q P' à QP, se couperaient au point P' de l’ellipse IMK. On trouverait encore ce point (P', p) du contour de l’ombre, en le considérant pomme appartenant à la section du cône par le plan ( IK, in }, (//g. i .a ).

Menant par un point quelconque (Q’, q') du cercle BCDE, une parallèle ( Q'P’, q'p ) au rayon de lumière, la droite q'p' coupe la trace inm au point j>. d’où l'on abaisse la perpendiculaire pu’ sur X'Y {/ig- I .a) ; cette perpendiculaire prolongée, rencontre les droites QP, Q’P’ parallèles à LBD, aux points P et P'. Élevant la perpendiculaire Pr. à XY, et faisant xp — r.'p [/ig. t a\ le point p sera la projection verticale (/ig. 1) du point (P, p ) {/ig. i.a).

De la tangente en un point P oa P‘ de l'ellipse IMK.

■ 4t- Les traces horizontales des plans tangens au cône et au cylindre au point ( P‘,p ) de leur intersection, sont les tangentes Q’<p, R’<j> du cercle BCDE, menées par les points Q’, R' : or ces traces se coupent en ç ; donc la droite P j est la tangente au point P' de l’ellipse IMK. Aux points 1 et K de cette ellipse, les plans tangens du cône et du cylindre se confondent ; mais le plan tangent

a3o • GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

au point I sera coupé par le plan ( IK, ip'nm ) suivant une droite, dont la projection horizontale IU sera la tangente au point I de l’ellipse. Ix plan tangent qui a pour trace horizontale la droite HI, est coupé par le plan horizontal/#' ou /g, suivant la tangente 4-U du petit cercle FF'GG’4, parallèle à la tangente III du cercle RCDE; or ce plan horizontal coupe le plan (IK, ip'nm) suivant l’horizontale NN’U; donc l’intersection des deux horizontales 4U, NNTJ détermine le point U de la tangente IU. Prolongeant la droite NN’ en V, et prenant N’V = NU, la droite KV est la tangente au point K.

Ayant la projection horizontale IPNN’ I’ K. du contour de l’ombre portée dans l'intérieur du puits, par le bord circulaire et supérieur de ce puits, et une projection verticale (Jig. i .a ) de ce même contour, il sera facile d’en dé-

duire la seconde projection verticale sur le plan XY. Les points i, p, m de cette projection, correspondent aux points I, P, M de la projection horizon-

taie, et aux points i, p’, m, (Jig. i.a ). On pourrait se dispenser de construire

la partie ponctuée m'z de la projection verticale (Jig. i ), qui est au-dessous de l'horizontale/#; mais en la construisant, il faut observer que le point s où

elle est touchée par la droite sE\ est un peu au-dessous de l’horizontale /g, projection de la petite hase du puits.

-* - JR

OMDRES DE LA KICHE SPnÊRlQlTE. (PI. 4- 0.)

>/|2. T.a surface intérieure d’une niche sphérique est formée d’un cylindre vertical, qui a pour base un demi-cercle horizontal, et d’un quart de sphere de même rayotrque ce cercle, qui termine la partie cylindrique.

Soit (pl. 4- O.) ABCD le demi-cercle base du cylindre de la niche sphéri-

fetr *

que; un plan vertical AB coupe cette niche suivant la fig. k'Kabe, composée des deux verticales égales A ’a, B b, et d’un demi-cercle aeb tangent à ces deux verticales aux points a et b. Cette figure est tracée sur le plan vertical XY parallèle au plan AB. La direction du rayon de lumière est déterminée par ses deux projections^, p, ou par les deux droites CFI, ce, projections du rayon qui passe par le centre (C, c) de la sphère.

L’arête verticale (A, A’a) porte ombre dans l’intérieur de la niche; le plan vertical AD de cette ombre coupe le cylindre 'de la niche suivant l’arète (D, DW). L’ombre du point (A, a) est (D, d); la parallèle DV à ad coupe la droite A 'a au point a; d’où il suit que l’ombre (D, D'd) est portée par la portion

fc. .

(A, aa ) de 1 arete verticale au cylindre, dont la projection horizontale est le point A. Elle est suivie de l’ombre portée par le demi-cercle bae sur le cyindre vertical. Ce demi-cercle touche la verticale (A, A’a) au point a; or les

projections orthogonales ou obliques de deux bgnes qui se touchent, sur tine surface quelconque, seront encore réciproquement tangentes; donc, quelle que soit la projection verticale dgk de l’ombre portée par le demi* cercle aeb sur le cylindre vertical ABD, cette courbe dgk sera tangente en un point cl à la verticale D'd.

Pour déterminer la portion du demi-cercle (AB, aeb) qui peut porter ombre ou sur le cylindre, ou sur la sphère de ta niche, on mène une tangente au demi-cercle aeb, parallèle à p ou à la droite ce. Le point de contact i détermine la portion uetdu denu-ccrcle aeb, qui peut porter ombre sur les deuxsurfaces intérieures de la niche.

Le rayon de lumière mené par un point quelconque (F,/) du demi-cercle, coupe le cylindre vertical ABD au point (G, g), dont la projection verticale £ appartient à la courbe dgk.

i43. Pour trouver l'ombre portée par le demi-cercle aeb de la sphère sur elle-même, on regarde le plan de ce cercle comme horizontal, et on rapporte le rayon de lumière à un nouveau plan vertical c’eV parallèle à p' ou à ce alors le problème proposé ne diffère pas de celui qu'on a déjà résolu (art. 137 J pour le creux sphérique.

Regardant la droite ce comme une projection horizontale du rayon de lumière, on construit l’angle ech que le rayon ch fait avec sa projection ce, et on projette en c, e les points c, e, sur la parallèle c'e't à ce. Du point c’ comme centre avec ce z* ce, pour rayou, on décrit un demi-cercle e'hi, et on mene la parallèle ch' à ch, qui coupe ce demi-cercle en h'. L’ombre portée par le grand cercle (aeb, e'c't"). dans l’intérieur de la sphère est un autre grand cercle, dont la trace sur le plan du premier est cc. Ce second grand cercle a pour trace sur le plan vertical eh't auquel il est perpendiculaire, la droite ch! ; sa projection survie plan du cercle abe, est une ellipse. La portion iqk de cette ellipse a son origine au point t, intersection du demi-cercle aeb et de la droite cc ; l’extrémité k est la projectiou de l’intersection du cercle horizontal et du cercle incliné contenu dans le plan des droites cc, ch. Pour construire ce point k, on élève la perpendiculaire bb' à c'e't, qui coupe la droite ch au point m ; portant la distance h ni en bth sur la droite B 'b prolongée, et tirant la droite cm', cette droite coupe le cercle aeb au point n du cercle horizontal aeb, dont le plan a tourné autour de l'horizontale ab, pour venir s’appliquer sur le cercle aeb. La perpendiculaire nk à l’horizontale ab coupe cette horizontale au point k. Élevant la perpendiculaire kl à cic, qui coupe le cercle aeb au point /, le demi-cercle aeb est divisé au point / en deux arcs, l’un ael, qui porte sur la partie cylindrique de la niche, l’ombre dont la projection verticale est la courbe dgk; l’autre li qui porte sur la partie sphérique,

j32 GEOMETRIE DESCRIPTIVE,

l'ouibre dont la projection verticale est l'arc d’ellipse iqk. Un point quelconque (/», p) de l’arc //'porte «ne ombre située sur le rayon de lumière (j’q.p'q ) qui est rapporté aux plans des cercles aeb et e'h'i ; or la projection p’q de ce rayon coupe la droite ch au point q ; donc la perpendiculaire q'qs à bci coupe la parallèle pq à ce, au point q de l’arc d'ellipse iqk.

I,es plans tangens de la sphère aux points (/>,/>’), (fl, q) passent (art. 1 16) par un point r de la droite crç ; or cette droite est la trace du plan du cercle aeb, et du plan de l’ombre dont la projection verticale est iqk ; donc le point r appartient à l’intersection de ces deux plans, et par conséquent à la droite rq, qui est la tangente de la courbe iqk au point q de cette courbe, l'ne construction semblable donne la tangente ko au point X; il suffit de mener, parle point /, la tangente lo au cercle aeb. Cette tangente lo coupe la droite cc au point o, par lequel on mène la tangente ok de l'arc d'ellipse iqk. Cette droite ok est aussi tangente a la courbe kgd, parce que cette courbe et l'arc d'ellipse sont des projections obliques d’un cercle vertical sur deux surfaces, savoir le cylindre et la sphere de la niche, qui se touchent suivant le cercle horizontal commun à ces deux surfaces.

• Conclusion.

1 44- Le contour de l’ombre portée par le bord extérieur de la niche, dans l'intérieur de cette niche, se compose i" d’une verticale ( D, D'</); a” d’une courbe à double courbure ( DGK, dgk ) intersection de deux cylindre»; 3* d’un arc de cercle ( KQI, kqi ), dont la projection horizontale KQI se déduit de la projection cX sur le plan du cercle e'c'h't. Les points K et I résultent de l'intersection des perpendiculaires XK et il à XV, et des lignes AB, ABD du plan horizontal. Quant au point Q, qui correspond à un point quelconque q de la projection verticale, on l'obtient en menant la perpendiculaire qS à XY, qui coupe la droite AB au point S, et en portant sur cette perpendiculaire la droite SQ =sq', distance du point q' à la droite ect du plan de projection auxiliaire.

L’ordre que nous avons suivi pour faire connaître les ombres de la niche, est l’inverse de celui qui convient au tracé du contour de ces ombres; ainsi l’on construira d’abord l’ombre ( KIQ, kiq ) du bord de la sphère sur ellemême, ce qui donnera le point X, l’une des extrémités de la courbe kgd, et la tangente ko en ce point. Connaissant d’ailleurs l’autre extrémité d et la tangepte D'd en ce point d, on déterminera les points intermédiaires, tels que g, de cette courbe kgd, qui est la projection verticale de l'ombre portée par le bord circulaire de la niche sur la partie cylindrique de cette niche.

on BR es Dr poxt. (Pl. 5. O.)

t43. Le dessin du pont que nous allons expliquer comprend des exemples I» d'ombres portées par des droites et des cercles sur des surfaces planes ou cylindriques; a° de lignes de séparations d’ombre et de lumière sur des cylindres. Ce dessin se compose des trois parties ordinaires, plan, élévation , coupe, qui font connaître la forme et les dimensions de la première arche d’un pont en plein cintre, adossée il un mur de quai. L’élévation et la coupe sont réunis sur la même figure. Les hachures à lignes parallèles ont pour objet de distinguer les partie» du pont qui sont dans l’ombre.

Explication du dessin. (Pl. 5. O. Fig. i et a.)

l.a droite AA’ du plan (J îg . i j représente la face verticale du mur de quai ; l'arche adossée à ce mur est comprise entre les deux plans verticaux BC, BC’, perpendiculaires aux plans AB, A B’ : XY sépare le plan de l'élévation (J ig . a\ Le plan vertical X’Y1 parallèle au mur de cpiai passe par le milieu de l’arche, et coupe le pont suivant la figure que nous allons décrire.

1 • De la coupe du pont.

Cette coupe (/ îg . a) se compose de l'horizontale dd\ arête la plus élevée du plein-cintre de l’arche, i* des deux verticales bd, b’d’ ; a” de deux autres verticales Jg, f g réunies aux premières par les arcs convexes bf, b'J', limites des parapets bfg, b'/’g; 3“ de deux horizontales gh , g h' égales à la largeur de chaque trottoir; t\° de deux obliques kl, kl' en pente vers le trottoir pour former les ruisseaux; 5“ de l’arc convexe kk', section de la chaussée.

Les lignes en saillie sur chacun des plans verticaux BD, B’D’ ( /ig. i) appartiennent au bandeau du parapet et à la corniche de l’arche. Les bandeaux des parapets, les comiches de l'arche, les trottoirs se continuent en retour le long du mur du quai, avec les mêmes dimensions en largeur et en hauteur; en plan, {/ig. i) les parapets se terminent aux lignes MN, NO h gauchè de l’arche, et aux lignes M Y, h'O' à droite de la même arche.

Les deux lignes pleines en avant des droites AB, BC, ou A B’, BC/, et respectivement parallèles à cés droites, appartiennent aux bandeaux des parapets et aux corniches. Une ligne ponctuée en avant de AB ou de A’B' marque la Saillie d’un socle du mur du quai, dont la hauteur est la distance Xx /ig. 9, des horizontales XY, xy. Le plan horizontal xjr est le plan des naissances du berceau cylindrique, et la distance dq des deux horizontales dd\ xy est égal au rayon du plein-cintre de l’arche.

X'Y' étant pat hypothèse le plan qui divise l’arche en deux parties égales dans le sens de la longueur, et TT' celui qui la divise en deux autres parties égales dans le sens de la longueur, on prend ST = ST = dq rayon du pleincintre, et les naissances des pleins-cintres sont les droites intersections des

deux plans verticaux QTQ', Q 1 XJ' Jig. i, par le plan horizontal xj Jig. a.

Du raccordement du mur de quai et de la première arche, par des éperons à chapiteaux coniques.

i.{ C>. Du point B {Jig. i) comme centre avec BQ pour rayon, on décrit le quart de circonférence Qt qui se termine aux deux droites rectangulaires marquées sur le plan AB et BDC; cet arc est la section horizontale du fût de l’éperon; la naissance de ce fut est dans le plan horizontal xp. La hase de l’éperon se compose de deux socles, dont chacun n’a que la moitié de la hauteur du socle du mur de quai. La saillie du premier socle sur le fût de l’éperon est égale à la saillie du socle principal qui régne le long du mur de quai.

En avant de l’arc Qv du plan, on voit les trois arcs concentriques, intersections horizontales des deux socles du fût de l’éperon, et de la partie cylindrique du chapiteau do cet éperon.

A droite de l’arche, dans l’angle Q'B’-', il y a un second éperon en tout égal au premier.

Les deux parallèles à QQ' en avant de cette droite, sont tangentes aux arcs de cercle, sections horizontales des socles des deux éperons ; ces socles se terminent à la face verticale du socle du mur de quai.

La Jtg. a représente sur une plus grande échelle le plan et l’élévation de l’éperon à droite de l’arche; elle fait voir les lignes B' A’ et B'C' du nu des murs de quai et de l’arche. La droite $4 PSt sur cette ligure la trace de la face verticale du socle du mur de quai, et les deux arcs «, sections horizontales des socles de l’éperon, se terminent d’une part à la face verticale B'C de l’arche, et de l'autre à la droite <i4- La droite B’ A’ (/? g. a) sépare le plan de l’élévation; elle tient lieu de l.< droite XY sur la Jig. a de l’élévation générale. L’horizontale xp {Jig a] représente le plan des naissances du berceau de l’arche, comme sur la Jig. a.

Le pout que l’on vient de décrire est, par hypothèse, éclairé par des rayons de lumière parallèles entre eux; il s’agit de trouver les ombres portées sur les diverses parties qui le composent, p et p (Jig . î et •■>) étant les deux projections d’un rayon lumineux. . ,

Des ombres du pont.

En allant de gauche à droite, et suivant le mur de quai, les oni| bres dont on demande le contour, sont, en les désignant par les lettres A, B, C, etc.’

i® Ombres A. Ombres de la corniche du mur de quai, sur elle-même ou sur le nu du mur; ombres du parapet qui termine le mur, sur le trottoir adjacent et sur le nu du mur; ombres du trottoir du mur de quai sur la chaussée parallèle à ce mur.

a° Ombres B. Ombres du parapet du pont sur le trottoir de ce pont; ombres du trottoir sur la chaussée du pont.

3" Ombres C. Ombres de la coupe transversale DD’ {fîg. 1 ) du pont ; ( le plan de cette coupe, parallèle au mur de quai, divise l’arche en deux parties égales ; la droite DD' et les droites QQ’, qq {fîg. 1 et a) sont de même longueur, comme parallèles comprises entre les parallèles RC d, li'C.'d'.)

4° Ombres D. Ombres des pleins-cintres de l’arche ou des quarts de cercle DQ, D'Q' {fîg- 1) sur le berceau cylindrique de l’arche, et sur le fût Q’BY de l’éperon, à droite de l’arche.

5° Ombres E. Lignes de séparation d’ombre et de lumière sur le fût Q'Br’

( /'S- * J de l’éperon, et sur les socles de la base de cet éperon. '

6° Ombres F. Ombres des socles de l’éperon à droite de l’arche sur la face verticale du mur de quai ; ombres du chapiteau de l’éperon à gauche de l'arche, sur le fût de la pile.

Tracé des ombres A et B.

1 48. Construisons d’abord sur les deux plans verticaux SVT, SVD [fîg. 1) les projections d’un rayon de lumière qui passe par le milieu (S, s), de la chaussée du pont. Ayant mené Slï parallèle à p, et su parallèle à p‘, ou abaisse d’un point quelconque U de SU, les perpendiculaires UU', UV, sur SV’ et SV, et du point S comme centre, avec SV pour rayon, on décrit l’arc W qui coupe la droite SU' au point V. Il est évident que la projection du point (U, u y, sur le plan vertical SV, ramené sur le plan vertical SV, est le point (V', v)\ d'où il suit que les projections d’un rayon de lumière sur les deux plans verticaux SV’, SV sont respectivement parallèles aux droites su, sv ( fîg. a), cette dernière étant ramenée par un quart de révolution sur le premier plan vertical SV.

L’horizontale (NO,/) qui termine le parapet du pont, porte ombre sur le

' a36 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

trottoir, et pour la déterminer, on conçoit par un point (F,/) de cette horizontale un rayon de lumière, dont la projection verticale f~l, parallèle à su ou ci, coupe rhorizontale gh du trottoir au point X, par lequel on mène la parallèle >.LL’ à NO. Le profil du parapet, du mur de quai étant le même que pour le parapet du pont, la parallèle JX à sv', coupe l'horizontale gh au point Y distant du point g de la largeur gX de l’ombre portée sur le'-troiloir du mur de quai. Portant cette largeur sur le plan {Jig. i) de M en L', et tirant I.'h parallèle à MN, on aura Ll.LONM pour la projection horizontale ( Jig . i) de l'ombre des parapets du pont et dn mur de quai, sur leurs trottoirs respectifs.

Une parallèle à la projection sv {Jig. a) du rayon lumineux, menée par un point de rhorizontale inférieure du baudeau du parapet du pont, coupe la face extérieure du parapet, en un point qui détermine l'horizontale i.a ( Jig . a). Celte horizontale est le contour de l’ombre portée par le bandeau du parapet du mur de quai, sur le nu de ce mur.

La çorniche du parapet se compose d’une plate-bande, d’un filet et d’un „ cavet. D'après la direction du rayon lumineux (o, p’), l'horizontale inférieure de la plate-bande met dans l’ombre le filet et le cavet; elle porte ombre sur le nu du mur de quai, et une parallèle à sv ( Jig. a), menée par l’extrémité de la verticale qui est la projection de la plate-bande de la corniche du parapet, coupe la face verticale extérieure de ce parapet en un point qui détermine comme précédemment l’ombre portée (3.4) par la corniche du mur de quai sur le nu de ce mur.

Le trottoir du pont porte ombre ou sur la chaussée ou sur le ruisseau de celte chaussée. Le contour de cette ombre est une horizontale parallèle à l’horizontale (HH', h ) qui termine le trottoir. Menant par le point h [Jig. a)tine parallèle à chacune des droites su, sv', les deux parallèles rencontrent le profil de la chaussée en deux points, qui déterminent les distauces respec- * tives des droites 5.6, 5.6’ (Jig- i) aux droites III1', 1IH'.

Æa. " • '

Ombres C.

i4g. Le plan de la section transversale DD1 ( Jig. i) du pont, coupe le berceau «le l’arche suivant une horizontale (DD', dd ). L’ombre portée par cette horizontale sur le berceau, est ujie autre droite horizontale, arête de ce berceau. Ces deux droites/sont dans un plan parallèle au rayon de lumière, perpendiculaire au plan vertical DO du plein-cintre. Ayant décrit du point D comme centre, avec DQ pour rayon, l’arc QU, on transporte la droite DR en (ir [fig- a) sur ry , et du point q comme centre, avec qr— DR pour rayon, on

DiqiHÎ^tf >y C

décrit l’arc f/7 r, qui représente le quart du plein-cintre de l'arche. Ea projection du' rayon de lumière sur le plan de cet arc, est parallèle à la droite v's; donc si l’on mène par le point d, extrémité du. 1 horizontale de l , une parallèle d-] à v's, cette parallèle coupera l’arc d-r au point 7, qui détermine l’horizontale 7.8, projection verticale de l’ombre portée par l’aréte (DD , dd) du berceau sur ce berceau même. Cette projection a son origine an point c, qu’on obtient par l’intersection de la droite connue 7.8, et de la parallèle à p ou su, menée pan le point d. Abaissant la perpendiculaire eE à XY, et menant la parallèle DE à la projection horizontale p du rayon de lumière, elles se rencontrent au point E,' projection horizontale de l’origine (E, è) de l’ombre portée par l’horizontale (DD', dd ) sur le berceau de l’arche. Cette horizontale porte aussi des ombres sur le cylindre vertical de la pile à droite de l'arche, et sur la face verticale EE" du socie du mur de quai. Les rayons de lumière (DE', de), (D E", d e") coupent cette face verticale EE” aux points (E‘, e), (E", e"). Le second point est l’extrémité de l'ombre portée par l'horizontale (DI)', dd') sur le socle du mur de quai. La projection verticale de cette ombre se trouve {Jïg. a) sur l’horizontale menée par le point e ou e".

Le même rayon ( DE", de"), prolongé jusqu’au nu du mur A TF, le rencontrerait au point dont t est la projection verticale. La verticale c'b" qui contient l’ombre de la verticale ( D’, dû'), coupera l’horizontale xy en 1. Menant par ce point la parallèle te à p, et la prolongeant jusqu’au point e de la verticale d'b', id sera la projection verticale de la portion de là coupe extérieure du parapet, qui porte ombre sur le socle du mur de quai. Le reste de cette coupe porte ombre sur le nu du mur. La parallèle l>b" à p, menée par le point b', rencontre la verticale ijb“ au point b", origine du contour de celte ombre. Ce contour ne différerait pas du profil d'b' du parapet, s’il n'était modifié par les ombres des horizontales du bandeau du parapet et de la saillie de la corniche, comprises entre les plans verticaux D'X'Y' et D'E". Ainsi l’horizontale supérieure de la corniche porte sur le mur de quai, l’ombre zz pa-rallèle à b’b" ou à p.

Ombres D.-

i5o. Le cylindre qui a pour base le quart ( DQ', dq) du plein-cintre de Farche, et pour arêtes des parallèles au rayon de lumière, coupe le berceau horizontal suivant une combe plane (art. 207, liv. 1er ). La détermination de cette courbe est un problème tout-à-fait semblable à celui (art. i38)du puits cylindrique, et qu’on résout de la même manière, f/7 (J îg . a) étant la projection d’un rayon de lumière sur le plan du plein-cintre dqr, on mène la parallèle 9.10 à cette projection, qui louche l’arc d-r au poiut 1 1, et détermine

a38 GEOMÉTIHE DESCRIPTIVE.

sur cet arc Ja portion d. 11 qui porte- ombre sur le berceau. Le point ir, origine de l’ombre portée, ayant pour projection verticale [fig. a) le point la de la verticale dq, la projection verticale du contour de cette ombre, sera la courbe i i.ae. On aura un point quelconque intermédiaire u, en menant pp' parallèle à dy, et les horizontales pi//, p.i3. L'horizontale p.i3 coupe la verticale dq au point i3, par lequel on tire la parallèle i3.// à de ou p, qui coupe l’horizontale pipî au point p de la courbe ta./u’e. Le plan de cette courbe a pour trace sur le plan de l’arc d. i v.y, la droite q. 1 1 r ■

Des langerilcs à la courbe i a.uV ( fig. a ), projection de l’ ombre portée par l'arc du plein-cintre d'une arche, sur le berceau de l’arche.

1 5 1 . La courbe i i.-/c a pour tangente à l'une de ses extrémités e la droite de, parallèle à p, ou à us. En effet, cette droite de est la trace d’un plan tangent au cylindre, qui a pour arctes les rayons de lumière menés par le cintre de l’arche : or ce plan est perpendiculaire au plan vertical de projection XY, et d’ailleurs la courbe dont ia.p’e est la projection verticale, appartient au cylindre; d’où il suit que celte courbe a pour tangente "au point e la droite ed.

Autrement; les plans tangens aux cylindres, dont l’intersection est la tangente au point (E, e), ont pour traces sur le plan de l’arc d. t 1.7, les deux tangentes à cet arc dy, y y qui se croisent au point y de la droite q. 1 i.y, perpendiculaires à la corde dy de l’arc d. 1 1.7; or le point 7' se projette sur le plan vertical XY en d; donc ce point d appartient à la tangente de la courbe rx'.ts, au point e de cette courbe.

Les tangentes à l'arc de cercle dyr aux points p, p, se rencontreraient de même au point i/| de la droite q.n.y. L'horizontale 14, i5 coupe la verticale dq au point t5 de la droite iS.u*, qui est tangente au point p de la courbe 1 a.u’e.

Cette construction ne s’applique pns au |>oint 1a, projection verticale de l'origine de la courbe; mais on obtiendra la tangente pour ce point, en cherchant l’intersection du plan tangent au berceau au point 1 1, et du plan de la courbe. Or, le plan rangent au berceau, suivant l’arête de ce berceau qui passe par le point 1 1 de sa base, coupe le plan vertical QQ’ suivant une horizontale parallèle à l’arête de contact; le plan de la courbe coupe ce plan vertical QQ', suivant une autre droite; l’intersection de ces deux droites détermine la tangente au point de la courbe qui se projette en ta sur le plan vertical (/?g. 2 ). En effet, la tangente 9. 10. 1 1, rencontre la verticale rr du plan vertical QQ', au point 16; donc 1 horizontale t6.t 7, intersection du plan tangent

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a3cj

au berceau et du plan vertical QQ', contient un point de la tangente cherchée. Mais la droite^. 1 1.7', prolongée, coupe la verticale rr au point /‘.qui se projette ( fig. a ) au point r de la verticale qd. La parallèle à la droite q. 1 1 ./•' du plan de l’ombre, menée par un point quelconque de cette ombre, tel que ( K, e), coupe le plan vertical QQ au point dont 18 est la projection verticale; doncla droite r".r8 est l'interjection du plan de l’ombre cherchée et du plan vertical QQ : or cette droite coupe l’horizontale 1 G. J 7 au point 17; donc la droite lï.ïyes't la tangente au point ta de la combe la.f/e. -

L’arc en plein-cintre QD', opposé à celui qui porte ombre sur le berceau, porte lui-même ombre sur le cylindre vertical de l’éperon à droite de l’arche. On sait (art. 109) comment on trouve l'ombre d’une ligne sur une surface. La projection verticale de J'ombre de l'arc Q D', représentée à part ( fig. a ), est marquée ab ; sa projection horizontale se confond dans ce cas particulier avec la base du cylindre, hit île l’éperon, puisque ce cylindre a pour génératrice une droite verticale.

• Ombres' E.

1 5a. La perpendiculaire abaissée du point U’ {fig, 1) sur D E" ou c, projection horizontale du rayon de lumière, coupe les trpis cercles bases du lût et des deux socles de l’éperon de droite, en trois points; les verticales élevées par ces points sont, sur les cylindres du fût et des -socles, les lignes de séparation d’ombre et de lumière.

La fig. a , qui représente l’élévation de J'éperon sur une plus grande échelle, fait voir le quadrilatère abat, dans lequel les droites ad et de, les courbes cb et ba sont respectivement les projections verticales de la base du lut île l’éperon, de la droite séparation d'ombre et de lumière sur ce fût, des ombres portées par l’horizontale de l’arche (DI)’, dd'), et par l’arc en plein-cintre (Q’D’, qd') sur le fût de l’éperon. La parallèle au rayon de lumière (19.90), (tg'.ao'), [fig. 1 et a), menée par le point (19, 19’) de l’horizontale (Dl)', dit'), coupe le fût de l’éperon au point (20, 20'), ce qui détermine le point 20', marqué des mêmes chiffres sur la courbe rapportée {fig. à) en bho e.

rr» Ombres F.

1 5É Le bandeau du chapiteau de l’éperon à gauche de l’arche, et les socles de 1 eperon à droite, sont terminés dans la partie supérieure par des quarts de cercle. Le premier des trois cylindres qui ont pour bases ces quarts de cercle, et dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière, rencontre le fût de 1 éperon de gauche ; les deux autres se prolongent jusqu’à la face verticale

a.jo GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Hu socle «lu mur de quai; les lignes d'intersectioQ sont les contours des ombres portées. On voit (fig. a), les deux courbes e et e, projections verticales des ombres portées par les bords circulaires des socles de l’éperon de droite de l'arche, sur le socle du mur de quai.

Ces exemples suffisent pour faire voir comment otr trouve les ombres portées par des lignes ou des cercles donnés, sur des corps ronds, tels que la sphère, le cône ou le cylindre. Conservant l’hypothèse d'un seul point lumineux, ou du parallélisme des rayons de lumière, nous allons construire les lignes de séparation d’ombre et de lumière sur deux genres de surfaces, que nous avons nommées (art. 49 et 5a, chap. 1"), surfaces de révolution , et surfaces réglées.

§ V. DF. LA LIGNE DF. SÉPARATION DOM DR F. Ef DE tXMliRE SCR C.N ELLIPSOÏDE- DE RÉVOLUTION. (PI. t>. O.)

i54- Nous avons exposé (art. 1 16- 1 10) trois méthodes pour .déterminer le cône ou le cylindre tangent à une surface de révolution; nous allons appliquer ces méthodes au cas particulier de l'ellipsoïde de révolution, en supposant cette surface successivement éclairée par un point lumineux et par des rayons parallèles.

«- Soit (A, ad )(pl. 6.0), l’axe de révolution do l’ellipsoïde. Un plan méridien OAO’, parallèle au plan vertical XY de projection, coupe cet ellipsoïde suivant l'ellipse ad 00. Les points E et e étant les deux projections du point lumineux, on demande sur l’ellipsoïde la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Cette ligne est la courbe de contact de l'ellipsoïde et du cône tangent qui a son sommet au point lumineux, et pour trouver un point de cette courbe, nous considérerons d'abord l'ellipsoïde comme l’enveloppe de l’espace que parcourt un cône droit dont le sommet est constamment sur l'axe de révolution.

Ayant coupé la surface de révolution par un plan X'Y’ perpendiculaire à l’axe ad, on mène une tangente à la courbe méridienne adod, par le point d intersection de cette courbe et de l'horizontale X’Y’.

Cette tangente coupe l'axe ad au point s. On prend ce point pour le som- • met d’un cône droit qui touche l’ellipsoïde suivant le cercle du diamètre dd , et tout plan tangent à ce cône est aussi tangent à l'ellipsoïde. Pour mener ce plan par le point lumineux (E, e ), on joint ce point et le sommet (A, s) du cône droit, par la droite (AE, se), qui coupe le plan X’Y' du cercle base du cône droit, au point (F,/-). Ayant décrit du point A comme centre, le cercle du diamètre DD '~dd', la tangente à ce cercle menée par le point F, le touche aux points H , H qui se projettent sur le plan vertical XY aux

points A, h de l’horizontale X'Y' ou dd. Les deux points (H, A), (H’, A’), appartiennent à la ligne de séparation d'ombre et de lumière de l’ellipsoïde. •

1 55. On serait averti que le cercle du diamètre (DD’, dd') ne contient pas de points de la courbe, si le point, tel que F, était dans l’intérieur du cercle du diamètre DD'. Mais pour éviter des constructions inutiles, on cherchera d’abord la limite des cercles qui contiennent des points de la courbe du contact. Pour trouver celte limite, on mènera par le point lumineux (E, é)t les tangentes à la courbe génératrice tracée dans le plan méridien qui passe par ce point. Dans le cas particulier de l'ellipsoïde, on peut mener deux tangentes, et les cercles de la surface de révolution qui passent par les points da contact de ces deux tangentes, sont les limites des cercles qui contiennent les points de la courbe de contact du cône et de la surface de révolution.

Faisant tourner le plan mériden AE d'un arc égal à EG, pour amener ce plan dans le plan méridien OAO', et le point G étant projeté en g sur l’horizontale donnée eg, on mènera par le point g deux tangentes à la courbe méridienne adoaod'; et par les deux points de contact i, t", on mènera des plans perpendiculaires à l’axe ad qui couperont la surface de révolution suivant les cercles limites de la courbe cherchée : prenant les distances des points 1, 1" à l’axe ad mesurées sur les horizontales ik, ik, et les portant sur le méridien AE de A en K, et de A en K’, les points qui se' projettent sur le plan horizontal en K. et R’, et sur le plan vertical en k et k', sont les points extrêmes de la ligne de contact de la surface de révolution et du cône qui a son sommet au point lumineux ( E, e).

1 5G. L’ordre des opérations graphiques n’est pas indifférent, et pour suivre celui que nous regardons comme le meilleur, on déterminera d’abord les deux points ( M, rn ) et ( M‘, ni ), situés sur le plus grand cercle ( OO', 00 ) de la surface de révolution. Ayant décrit du point A, comme centre, avec un diamètre 00’ = 00', un cercle, et considérant ce cercle comme la base d’un cylindre vertical, ce cylindre touchera la surface de révolution suivant le cercle ( OO’, ou ); or les deux plans tangens à ce cylindre, qui ont pour traces horizontales les droites EM, EM', touchent celte surface aux deux points M, m et M', m . Donc ces deux points appartiennent à la courhe de contact du cône qui a son sommet au point ( E, e), et de l’ellipsoïde de révolution.

La courbe méridienne (OO’, ad 00 ), peut être considérée comme la base d’un cylindre horizontal tangent à la surface de révolution; donc si l’on mène les tangentes el, el à cette courbe, les plans tangens au cylindre qui ont pour traces ces tangentes, touchent la surface de révolution en des points (/, L), et ( i , L ), qui appartiennent encore à la courbe de contact.

Avant déterminé les six joints K, K, L. L', M, M de la projection hori-

a/(a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

zontalc de la courbe île contact, et les six points correspontlans X, k\ l, m, ni Je la projection verticale, on trouvera les points intermédiaires par la méthode <|u’on a suivie (art. i45 ) pour trouver les points ( II, h ) et ( II', k. )

157. Nous avons considéré la surface de révolution comme l'enveloppe de l'espace que parcourt un cône droit qui a successivement pour arêtes les tangentes de la courbe méridienne. Maintenant nous allons substituer aux cônes, des sphères qui ont pour rayons les portions de normales à la courbe méridienne, telles que d't, comprises entre cette courbe et l’axe de révolution.

Soit ( A, f), le centre de l une de ces sphères, d't son rayon, (OO , dud\‘) ^l’un de ses grands cercles. Le méridien AE coupe cette sphère suivant un autre grand cercle, et en supposant ce méridien amené sur le méridien AD G, te point (E, e) prend la position g; donc si par le point g, on mène les tangentes gu, gv au cercle dudv considéré dans le plan méridien AE, la droite uv est le diamètre du cercle de contact de la sphère et du cône droit dont le sommet est en ( E, e ), ou en g. Ce cercle dud v de la sphère et le cercle dd‘ commun à la sphère et à la surface de révolution, se coupent suivant une droite horizontale x , perpendiculaire au plan du méridien AE; donc si l’on porte la distance du point x à l'axe ad, de A en x sur AE, celte droite horizontale sera en projection horizontale, une perpendiculaire ILrlT à la trace AE du méridien qui passe par le point (E, e). L’intersection de cette droite H.rH’ et du cercle décrit du point A comme centre avec un diamètre DD’ — dd', donnera les points H, IL de la projection horizontale de la courbe de contact cherchée. ^

Élevant les perpendiculaires ll/i, HA' à l'intersection XY des plans de projection, et les prolongeant jusqu’à ce qu’elle coupe l'horizontale dd aux points h et li, ces points appartiennent à la projection verticale de la courbe de contact ; on trouvera de la même manière tant d'autres points qu’on voudra de cette courbe.

1 58. Considérons maintenant la surface de révolution comme l'enveloppe de l’espace que parcourt un cylindre qui a pour base la courbe méridienne , et cherchons dans cette hypothèse un point de la courbe de contact de la surface dé révolution et du cône qui a son sommet au point lumineux. Soit AN, la trace horizontale d'un plan méridien quelconque ; ( N, n ), le pied de la perpendiculaire abaissée du point (E, e) sur ce plan méridien AN. Ou remarquera que tous les points tels que Nj se trouvent sur un cercle décrit sur AE comme diamètre. Ayant fait tourner le méridien AN jusqu'à ce qu’il ait pris la position AN’ parallèle à XY, le point (N, n) se transporte en n, sur l'horizontale en. Par ce point n', ou mène la tangente dp à la courbe méridienne, et on porte la distance pq du point de contact p à l’axe ad, sur la

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a/,3

trace AN de A en P. Le point P et son correspondant p, situé sur l’horizontale pq , sont les deux projections d’un des points de la courbe cherchée.

Cette méthode suppose, comme on vient de le voir, qu’on sache mener une tangente telle que n'p, à la courbe méridienne, par un point pris hors cette courbe. La tangente»/) est la trace d’un plan tangent à la surface cylindrique qui a pour base la courbe méridienne, et dont les arêtes sont perpendiculaires au plan méridien AN de cette courbe.

159. Ces trois méthodes s’appliquent également à la détermination de la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur l’ellipsoïde de révolution, dans l’hypothèse des rayons lumineux parallèles.

Soit (p, p') l’un de ces rayons; on conçoit un cylindre tangent à l’ellipsoïde, engendré par nne droite parallèle à (p, p') ou (REC, bec) : la courbe de contact de ces deux surfaces est la ligne demandée.

Ayant coupé la surface de révolution par un plan quelconque perpendiculaire à son axe, elle est touchée suivant le cercle contenu dans ce plan, par un cône droit qui a son sommet sur l’axe. Le plan tangent à ce cône droit, mené parallèlement au rayon de lumière (p, p’), touche la surface de révolution en un point qui appartient à la courbe de contact de cette surface, et de la surface cylindrique dont la génératrice est parallèle aux rayons lumineux.

La surface de révolution est aussi touchée suivant le cercle contenu dans le plan perpendiculaire à son axe, par une sphère dont le centre est sur cet axe. Lorsque le grand cercle de cette sphère dont le plan est perpendiculaire au rayon de lumière, et le petit cercle commun à la sphère et à la surface de révolution se coupent, les deux points d’intersection appartiennent à la courbe de contact de la surface de révolution et du cylindre dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière. On obtient encore des points de cette courbe, en menant parallèlement au rayon de lumière des plans tangens au cylindre qui a successivement pour base la courbe méridienne considérée dans ses différentes positions, et pour arêtes des droites perpendiculaires au plan de cette courbe méridienne.

On obtiendra par l’une de ces trois méthodes la ligne de séparation d’ombre et de lumière ( afi ?<T, a fi' y J').

On remarquera sur cette courbe de contact, les points dont les projections verticales sont 4’, «, p, y\ <f'. Les deux premiers <?' et 4’ sont les points de contact de la courbe méridienne àdd'a) et des parallèles à la projection verticale du rayon lumineux; u et p appartiennent aux cercles limites de la courbe de contact du cylindre tangent, et se déterminent comme les points b, K (art. 1 55) de la courbe de contact du cône tangent. Enfin les points &

^ . v. "y'^ÊÊ

a. Vi GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

correspondent aux points y, J' placés sur un diamètre yJ' du cercle 00><f',

perpendiculaire à la projection horizontale a du rayon luminetrx.

Les projections verticales des courbes de contact du cône et du cylindre, sont dessinées en parties pleines et en parties ponctuées. I-a partie pleine correspond à la portion de la surface de révolution qui est en avant du méridien OO’. parallèle au plan vertical de projection. La partie pleine dans la projection horizontale, correspond à la portion de ta surface de révolution qui est au-dessus du plus grand cercle de cette surface (OO'MM’, oo).

iGo. Des trois méthodes que nous avons exposées, ufte seule suffit pour trouver les lignes de séparation d’ombre et de lumière sur les surfaces de révolution, dont on connaît les génératrices ; cependant pour obtenir ces courbes avec exactitude, et pour éviter l’emploi des lignes droi|es qui se couperaient trop obliquement, on sentira dans la pratique du dessin^ la nécessité d'avoir recours à l'une ou à l'autre des trois méthodes, et de choisir, dans chaque cas particulier, celle qui donnera les constructions les plus exactes.

Corollaire.

1G1. Si l’on regarde la parallèle (RC, bc) au rayon de lumière, comme une droite donnée, on aura résolu la question de mener par cette droite un plan tangent à une surface de révolution. En effet, ce plan est ( art. 3a ) tangent au cône et au cylindre circonscrits à l’ellipsoïde, et le point de contact a pour lieux géométriques, les courbes de contact de l’ellipsoïde et des surfaces qui lui sont circonscrites : or, ces courbes qui ont pour projections, l’une, les lignes HH'MMP, hlimnip ; l’autre les lignes agjJ', afly'S', se coupent aux points (a, a), ($, |3'); donc les plans menés par ces points et par la droite donnée (BC, £c), sont tangens à l'ellipsoïde.

dp. l’ombre d’une vis triangulaire. (PI. 7. O.)

De la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface réglée du filet

de la vis.

16a. Nous ne considérerons, sur la vis triangulaire, que le filet qui est en saillie sur le noyau de cette vis. Le noyau est un cylindre droit,' qui a pour base un cercle du rayon AB ou AD (/>/. 7.O) . la section du premier tour de filet par un plan vertical CAE, qui passe par l’axe vertical. A du noyau, est un ^triangle isocèle Cbc, dont les côtés C'b, cb prolongés coupent l’axe du noyau **

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a/,5

aux points (A, a), (A, à). Le chevron Cbc est la figure génératrice du filet de la vis; les droites Cb,bc se meuvent de manière que chaque point de ces droites décrit une hélice (art. 3G) dont le pas est égal au troisième coté C’e du triangle Cbc; chaque hélice est sur un cylindre droit de même axe que le noyau, dont la- base est un cercle qui a pour rayon la distance constante du point mobile à cet axe. Ainsi le point (C, C) décrit sur le cylindre droit à hase circulaire CFEF'. une hélice dont la projection sur le plan vertical XY, est C ’fegcf'ec... L’hélice décrite par le point (B, b) sur le noyau TÎDGG’, sépare le dessus et le dessous du filet; elle a pour projection verticale, la ligne b g dbg tl' ...... Ces deux hélices et l'axe du noyau peuvent être considérés

comme les trois directrices de la droite mobile qui engendre le filet de la vis (art. 5a, liv. Ier).

Soit (CBA, C'ba ) la première position de la génératrice; celte droite coupe l’axe du noyau au point (A, d), et les deux hélices directrices aux points (C, C ), (B, b). L’axe est pour chacun de ses points sa propre tangente. Les hélices ont pour tangentes aux points (C, C), (B, b) de la droite (CB, Cb) de la surface du filet, des droites situées dans les plans verticaux CTI, BI perpendiculaires au rayon ABC, et par conséquent parallèles à l’axe du noyau (A, ad ); d'où il suit (art. i5i, liv. I") que la snrface du filet est touchée suivant la droite (ABC, Cba), par un paraboloïde, qui a pour directrices l'axe du noyau et deux tangentes aux hélices décrites par les points (C, C \ (B, b). La tangente au point (C, C) est (art. 3 y) l’hypothénusc d’un triangle rectangle qui a pour côtés une droite horizontale CH égale au quart de la circonférence CFEF, et une droite verticale égale nu quart C’A du pas de l’hélice. La tangente au point (B, b ) de la seconde hélice, est fhypothénuse d’un autre triangle rectangle qui a aussi pour côté vertical un quart de pas de l'hélice, et pour côté horizontal une droite B1 égale au quart de la circonférence BGDG'. Un plan vertical A TH, passant par l’axe (A, ad) du noyau, et par les points I, H, coupe le paraboloïde tangent, suivant une droite dont la projection verticale hlx est parallèle au côté CZ> du triangle Cbc.

Ainsi La droite mobile génératrice du paraboloïde tangent, est pour l«* premier mode de génération, constamment parallèle au plan vertical CH, lequel est perpendiculaire au plan vertical ABC, et pour le second mode, elle se meut parallèlement au plan'(CC', Cb), perpendiculaire au plan vertical ABC, et incliné à l'horizon sous un angle B Cb. Ce second plan est parallèle aux deux droites (ABC, abC), (Ain, hjjï) du paraboloïde.

Si l’on conçoit ce paraboloïde fixé à la droite mobile génératrice de la surface du filet, il sera tangent il cette surface dans toutes les positions de sa génératrice. -

Du cône ou du cylindre tangent à la surface du filet d'une vis.

iG3. Le point lumineux étant le sommet du cône tangent à la surface du filet d'une vis, le plan mené par ce point et par une droite quelconque de la surface, est tangent à cette surface (art 1 44 » Üv. 1er) : le point de contact appartient à la ligne de séparation d'ombre et de lumière, ou au contour apparent (art. 109), si l’on a pris l’œil du spectateur pour le sommet du cône. Pour déterminer le point de contact, on conçoit par la droite de la surface du filet, le paraboloïde tangent dont on connaît les de^x systèmes de génération. Le plan mené par le sommet du cône, coupe deux droites quelconques du second système de génération en deux points, et la droite qui joint ces deux points, rencontre la droite commune au paraboloïde et à la surface du filet, au point de contact demandé. Le plan mené parallèlement aux rayons de lumière, toucherait le paraboloïde en un point qui serait sur la ligne de séparation d’ombre et de lumière, dans l’hypothèse d’un point lumineux situé à l'infini. Cette ligne peut aussi être considérée comme la courbe de contact de la surface du filet et d’un cylindre dont la droite génératrice est parallèle aux rayons lumineux. Ainsi, par la substitution d’une zone de paraboloïde à celle de la surface du filet, on détermine sur chaque droite de la surface, un point de la ligne de contact de cette surface et d’un cône dont on donne le sommet, ou d’un cylindre dont la génératrice est parallèle à une droite donnée.

De la courbe de contact de ta surface du filet d'une vis et d’un cylindre tangent à cette surface ; des points limites de cette courbe.

i6i- Le filet d’une vis étant compris entre les deux cylindres verticaux qui ont pour bases les cercles des rayons AB, AC, les lignes de séparation d’ombre et de lumière dans l’hypothèse des rayons de lumière parallèles, ne doivent pas s’étendre au-delà de ces cylindres; c’est pourquoi nous allons recherchei' les points de ces lignes qui se trouvent sur les hélices décrites par les extrémités (C, C'), (B, b), de la droite génératrice du filet.

Nous ferons remarquer que les plans langens de la surface du filet, menés par tous les points d’une hélice de cette surface, font le même angle avec l’axe du noyau de la vis ou avec toute autre droite parallèle à cet axe. En effet, chacun de ces plans contient une tangente à l’hélice, et la droite de la surface qui passe par le point de contact ; or, ces deux droites font entre elles et avec une parallèle à Taxe du noyau ; des angles qui ne varient pas;

donc le plan mené par ces deux droites, à une inclinaison constante par-rapport à l’axe, quel que soit le point de l’hélice, intersection de ces droites.

Déterminons ce plan, pour un point (F,/" ) de l'hélice (CEFF*, C fe), tel que la tangente à l’hélice en ce pqint, a pour projection horizontale une droite FK perpendiculaire au rayon AF. La hauteur/À’ du point (F,/-) de l'hélice au-dessus du plan horizontal de projection, étant égale à un quart de pas de l’hélice, on prend FK. égale au quart de circonférence CF, et la fangentc à l’hélice au point (F,/-) coupe le plan horizontal au point K. La droite de la surface du filet qui passe par le même point (F ,f) de l'hélice rencontre le plan horizontal au point qu’on détermine en menant fe parallèle au côté cb du triangle C ’bc, et en portant A<j> de F en La droite Kj qui joint les deux points K, est la trace horizontale du plan tangent à la surface du filet au point (F ,f) de l’hélice décrite par le point (C, C').

Si par un point quelconque (O, o) de l’espace on mène un plan parallèle à ce plan tangent, il aura pour trace horizontale une droite I.K' parallèle ;'K ; et pour déterminer le point L où cette trace coupe la droite OO'L, parallèl i à AF, on conçoit par le point (O, o ) une parallèle à la génératrice (F$',/A '), qui coupe la droite OL au point L. Ayant mené ul parallèle à cb ou J-, cette parallèle rencontre l’intersection XY des deux plans de projection îm point /; la circonférence décrite du point O comme centre avec OI.' — 07 pour rayon, rencontre la droite OO’ prolongée, au point L intersection du plan horizontal et de la parallèle à la génératrice (FV,/A’) du filet de la vis, menée par le point (O, o). La perpendiculaire OM, abaissée du point O surLK', détermine le rayon de la base d’un cône droit, dont tous les plans tangens oht, par rapport à l’axe de ce cône, une inclinaison égale à celle du plan tangent à la surface du filet, mené par le point (F ,f) de l’hélice que l’on considère, ou par tout autre point de cette hélice. Les deux cônes droits qui ont pour sommet commun le point (O, o), et pour bases des cercles décrits du point O comme centre avec des rayons OM, OL, sont tels qu’un plan tangent au premier cône et sécant du second, contient deux droites de ces cônes qui font constamment entre elles le même angle : la projection horizontale LOM de cet angle est aussi constante. Nous désignerons les deux cônes droits du sommet commun (O, o ) par les lettres C et C'. D’après la construction du point L de la base du second côncC, chaque côté de ce cône fait avec son axe, un angle égal à celui que la droite génératrice de la surface du filet fait avec l’axe du noyau (A, ad ).

i65. Supposons maintenant qu’il faille mener un plan tangent à la surface du filet, parallèle au rayon de lumière (1, X'), et déterminer le point de contact, sur l’hélice donnée qui contient ce point. On mènera un plan tangent au

u4»' GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

coin: C par la droite (OZ, oZ ), parallèle à ce rayon. L’arêle de contact sur ce cône ayant pour projection horizontale la droite ON, on fera l’angle NOP égal à l'angle à MOI,, et la droite OP sera la projection horizontale de la parallèle à la projection de la génératrice de la surface du filet qui contient le point de contact demandé. Menant la droite AS parallèle à OP, cette parallèle coupe la base circulaire du rayon AC au point S, projection horizontale d’un point (S. s ) de la c-oufl* de contact de la surface du filet et d'un cylindre tangent à cette surface, dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière. On déterminera de la même manière, par la considération de deux autres cônes droits C, G’, le point (T, /) de la courbe de contact sur l'hélice du noyau, décrite parle point ( 11, A). Ayant trouvé les points limites de la courbe de contact de la surface du filet et du cylindre tangent, on construira les points intermédiaires, ou sur les droites île la surface du filet comprises dans l'angle des deux plans verticaux AS, AT, eu imaginant par chacune de ces droites, le paraholoîde tangeÿ ( art. i G3 ), on sur des hélices qui auraient pour projections horizon* taies des cercles décrits du point A comme centre, avec des rayons plus petits que AS et plus grands que AT.

La verticale élevée par le point S ou T, rencontre les hélices auxquelles ces points appartiennent en d’autres points dont les projections verticales sont s, s', s ”, etc., ou t, t, t'\ et pour chacun de ces points, le plan tangent à la sur* face du filet est parallèle au rayon de lumière.

lies limites de la projection verticale d'une vis triangulaire,

>GG. Le triangle.générateur (CB, C7>c)du filet de la vis, se mentde manière que chaque point des côtés C 7>, bc de ce triangle engendre une hélice; les projections verticales,des hélices du filet sont touchées par une courbe qui est la limite de la projection verticale de la vis. Pour construire cette courbe, on la considéré comme la section droite d’un cylindre horizontal laugent aux surfacès supérieure et inférieure du filet, ou comme la projection de la ligne, lieu géométrique des points de contact de la surface du filet, et de plans perpendiculaires au plan vertical de projections. Une hélice étant donnée sur la surface du filet, on détermine le point de cette ligne pour lequel le plan tangent au filet, est perpendiculaire au plan vertical de projections : la projection verticale de ce point appartient à la limite de la projection verticale de la, vis. Prenons pour exemple l'hélice décrite par le point (C, C ). Le plan tangent à la surface du filet, mené par un point quelconque de cette hélice, fait avec l’axe de la vis un angle constant qui détermine l'angle du cône droit C dont le sommet est en uu point quelconque ( O, o ) de l'espace (art. 1 64 )• Le plan

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a4g

tangent à ce cône droit, perpendiculaire au plan vertical de projection, passe par une horizontale M M' perpendiculaire à XY et tangente au cercle du rayon OM =01I . Portant l'angle MOL en M'Op, la droite Ou est la projection horizontale d’une parallèle à la projection de la génératrice de la surface du filet, laquelle génératrice est située dans le plan tangent à cette surface, perpendiculaire au plan vertical de projection. Menant le rayon A-, parallèle à Ojx, qui coupe le cercle du rayon AC au point r, la perpendiculaire zz‘ à XY, coupe la projection verticale Cfe de l’hélice décrite par le point (C, C),au point (rr, z) de la courbe tangente aux projections verticales des hélices du filet. La droite cir’ prolongée coupe les tours successifs de la projection verticale de la première hélice, en des points distans de la hauteur du pas de cette hélico. Pour mieux voir.la projection verticale du filet de la vis entre les points C et b de cette projection, on a tracé.à part (/‘g- a ), sur une plus grande échelle, la droite C b, et la projection verticale de l’hélice jsÇ f sur laquelle on a rapporté les deux points z, r.’, origines des deux branches *"3, a 4 de la limite de la projection verticale de la vis. En raisonnant sur l'hélice du noyau décrite par le point (B, b), delà même manière que pour la première hélice, on y trouve des points 5, 6, analogues aux points z", z. Les points 5, 6 (fig- a), sont les naissances des deux branches 5.7.8, 6.7.9, T1' se coupent au point 7 en avant du point b, sur l’horizontale Ô7.7'. La branche 6.7.9 est prolongement de la branche a'4.9.6, qui se répète en -’3 au-dessous de l’horizontale XY, et en 5.7.8 au-dessus de l'horizontale 7.7'. - ~

De ta courbe cle contact de la surface dufdet de la vis triangüluii-e, et d'un cône tangent à cette surface.

167. Le sommet du cône tangent étant donné, il n’y a aucune droite do la surface du filet qui ne, contienne un point de la courbe de contact. Cette courbe a pour limites les points situés sur les hélices extrêmes décrites par les points (C, C' ), (B, b ) de la droite génératrice du filet. Nous allons d’abord construire le point situé sur la première hélice. Soit (O, o) le sommet du cône tangent, et en pleine temps le sommet du cône droit que nous avons désigné (art. 164) par la lettre C, dont tous les plans tangens font avec la verticale ( O, O o ) un angle égal à celui que les plans tangens à la surface du filet, menés par les points de la première hélice, font avec l’axe (A, a A ) du noyau. Regardons le point donné (O, o) comme le sommet d'un troisième cône, qui a pour base la première hélice, décrite par le point (C, C'); le plan tangent à ce dernier cône et au cône C, sera aussi tangent à la surface développable, circonscrite à la surface du filet suivant l'hélice; donc il sera tan-

a5u GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

gent à cette dernière surface, et le point de contact sur l’hélice appartient à la courbe <le contact de la surface du filet et du cône tangent à cette surface dont le sommet est le point donné ( O, o ).

Le cône dont le sommet est au point (O, o ), et qui a pour base l'hélice décrite par le point (C, C' ), est coupé par le plan horizontal suivant la courbe spirale Cta’aa, comprise dans l'angle >(><’, lequel angle est formé par les tangentes au cercle du rayon AC, menées par le point O; le cône droit C a pour base sur le plan horizontal, le cercle du rayon' OM; donc si l'on mène les tangentes i.j', a. a’, etc., aux deux bases, on aura les traces horizontales des plans tangens au cône C et au cône qui a pour base l'hélice décrite par le point ( C, C ). •

La première tangente i.i’ touche le cercle du rayon OM au point 1', et le plan tangent à la surface du filet, qui a pour trace horizontale celte tangente, touche le cône droit C suivant une droite dont lu projection horizontale est O I*. Ce plan coupe le cône droit qui a pour base le cercle du rayon OL, suivant une droite dont la projection hosizontale est 0,3, qu’on détermine en faisant l’angle i '0^3 égal à l’angle MOL. Menant par le centre A du cercle CFEF' le rayon AQ parallèle à OS, l’cxtrémitc Q de ce rayon est la projection horizontale du point cherché ( Q, q) sur l’hélice décrite par le point ( C, C ).

168. La droite ÜQ prolongée coupe la courbe spirale au point de contact 1 de cette courbe et de la droite horizontale t.i', trace du plan qui est tangent à la surface du filet, au point ( Q, q ) de cette surface. L’intersection de ce plan tangent et de l’axe ( A, aà), est le point ( A, 4) qu’on détermine en menant le plan vertical 0<f, parallèle au plan vertical de projection. La section du plan tangent par le plan vertical 0«é, est une droite dont la projection verticale est or. Par le point (•/,/) de cette droite, situé dans le plan vertical A-/ parallèle à la droite i.i’/, on mène l’horizontale (Ay, /4) d*1 plan tangent; la parallèle -/4 à XY, coupe la droite aà au point 4- La droite génératrice du filet dans sa première position (CB, C'ô), coupe l’axe (A, a.\a' ) au point ( A, à ); quand elle coupe l’axe au point ( À, 4 )> chacun de ses points s’est élevé de la hauteur <j4 dont on connaît le rapport avec la hauteur du pas de l’tyélice décrite par le point (C, C’). Prenant un arc CFQ du rayon AC, qui soit à la circonférence entière dans le même rapport, l’extrémité Q de cet arc sera la projection horizontale du point cherché (Q, q) de l’hélice décrite par le poiut (C, C’), et qu’on a déjà trouvé par une autre considération.

On construira de la même manière le point ( R, /•}, sur l’hélice décrite par le point (B, é), et quant aux points intermédiaires compris entre les deux plans verticaux AS, AR, on les trouverait ou par la même méthode, ou par la considération du pa^aboloïdc tangent (art. ifia).

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a5i

168. Le second plan tangent à la surface du filet dont la trace horizontale est a. a', touche cette surface au-point ( Q , q ), situé sur le tour du filet qui suit immédiatement celui sur lequel on a trouvé le point (Q, q ). Le cône langent, dont Je sommet est au point donné (O, o ), touche les tours successifs du filet suivant les courbes (QR, qr), (QR’, qr ), et ainsi dç suite à l’in-

fini. Dans le cas où le cône tangent devient un cylindre, tons les points tels que q, q , etc., ou r, r etc , sont situés sur une parallèle à la projection verticale ak'à de l’axe du noyau.

Les courbes de contact de la surface de la vas et du cône tangent à celle surface, qu'on n’a tracées que sur le dessus des filets, se construiraient de la même manière pour le dessous.

Quant aux ombres portées sur les filets de la vis, on peut consulter la légende de l’épure, que nous avons publiée en 181 3 (tome II de la Correspondance, n° Y, page 4/l7 )• Cette épure comprend le dessin complet de la vis avec sa tête et son écrou, qui était le sujet de l’une de mes leçons à l’École polytechnique.

§ VI. DES POIICTS Bltü-LASS DES SURFACES.

Pc la largeur de la pénombre, dans l ’hjr/sot/ièse où le corps lumineux et le corps opaque sont des sphères. ( PI. 8 O, réunie à la planche 10 P. )

1G9. On a vu (art. 10 a) que les surfaces du corps lumineux et du corps opaque étant données, la surface développable circonscrite à ces deux surfaces est déterminée; qu’elle est l'enveloppe de l’espace qu’un plan mobile parcourrait en touchant continuellement les surfaces des deux corps; enfin, que les portions de l’espace, comprises entre les nappes de cette surface enveloppe, sont dans l’ombre ou dans la pénombre. Prenons pour exemple la terre éclairée par le soleil, et supposons que chacun de ces corps, fou opaque, l’autre lumineux, soient des sphères; en joignant leurs centres par une droite, un plan quelconque mené par cette droite contient les cAtrcs S, T ( pl . 8 O, fig. 1 ) du soleil et de la terre, et les grands cercles ABDE, aide de ces deux globes. I,a surface développable, circonscrite aux deux sphères des centres S et T, se compose de deux cônes droits qui ont pour axe commun la droite ST des centres, et pour sommets, l’un le point 1 de l’axe situé entre les centres, l'autre un point situé au-delà des centres. Le premier cône est tangent aux sphères suivant les cercles des diamètres AB et ab, et le second cône suivant les cercles des diamètres DE, de; l’ombre totale de la sphère du centre T, est comprise entre ce dernier cercle et le second cône droit, prolongé indéfini-

a>j GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

ment au-delà du centre T. La pénombre est la partie de l’espace comprise entre la zone sphérique qui est terminée par les cercles des diamètres ab, de, et les deux cônes droits prolongés indéfiniment au-delà de ces cercles. En coupant les deux cônes par un plan XY perpendiculaire à la droite ST des centres, la section de l’ombre totale est un cercle du diamètre PQ, et celle de la pénombre est un disque compris entre les cercles des rayons R p, RP. Les plans tangens à la sphère T, menés par les deux points m, ni de la pénombre Qq, étant prolongés indéfiniment en M et M', ils séparent la sphère lumineuse S en deux parties inégales, dont une seulement éclaire le point m ou le point m ; ce dernier point, plus éloigné de l’ombre totale que le premier, est aussi plus éclairé.

Lorsque la distance ST des centres des deux sphères est très-grande, les droites Ee, A la des cônes circonscrits à ces sphères, se coupent en un point c, très-rapproché de la sphère du centre T. Les points S, T étant considérés comme les centres du soleil et de la terre, cette distance est de 23578 rayons terrestres; alors le point c ne s’écarte pas sensiblement de la surface de la terre, et l’angle d’un demi-degré, sous lequel on voit le soleil d’un point quelconque de la terre, diffère peu de celui que les cftux côtés cA, çE ou leurs pro-

longemens cq, cQ font entre eux. Il en résulte que le rapport ^ de la largeur Qq de la pénombre sur le plan XY, à la droite cQ, distance du point c à l’ombre Q de ce point, a pour valeur très-approchée, le rapport inverse du rayon, à la tangente d’un angle de demi-degré, c’est-à-dire 77,. Si le plan d'ombre Qq était incliné par rapport au plan XY, la nouvelle pénomhre Qq' serait à très-peu près égale à la première Qq multipliée par le sinus de l’angle Q qq du plan Qq' et du rayon de lumière cqq. En supposant cet angle de 45 degrés, on aurait Qq ~ Qq a, et par conséquent le rapport de la pénombre Qq' à la droite cQ, distance du point c à son ombre Q, serait produit de par 2. ,

La zone sphérique, comprise entre les cercles des diamètres ab, de, appartient à la pénombre^ et parce que les rayons T b, T d perpendiculaires aux côtés des cônes B bp, AdP font entre eux un angle égal à celui de ces côtés, c’est-à-dire d’un demi-degré, il s’ensuit que la largeur bd, ou ae, de la pénombre sur la sphère terrestre, est à très-peu près la 1 1 5e partie du rayon de cette sphère.

Du rapport des clartés réelles et apparentes , dans l’hypothèse d'un corps lumineux à dimensions finies. — Des points brilluns des surfaces polies.

170. Nous avons déterminé les ombres linéaires, en supposant que chaque point de l’espace n’est éclairé que par un seul rayon, parallèle à une droite donnée, ou partant d’un point lumineux. Dans cette hypothèse, etsi les rayons de lumière sont parallèles entre eux, tous les points isolés de l’espace sont également éclairés, et la clarté d’un élément de surface courbe est proportionnelle au sinus de l'angle que le plan de cet élément fait avec le rayon de lumière. Lorsque les rayons partent d’un, point, la clarté d'un point isolé de l’espace est en raison inverse du carré de sa distance au point lumineux; celle d’un élément de surface est en raison inverse du carré de la distance de cet élément au point lumineux, et en raison directe du sinus de l’angle, formé par le plan de l’élément et par le rayon de lumière incident; le rapport île la clarté réelle d'un point isolé de l'espace, à sa clarté apparente, ne dépend que de la distance de ce point à l’œil du spectateur, et ce rapport, pour un élémeut de surface, dépend d’abord de cette distance, et ensuite de l’angle que le rayon visuel, dirigé vers l’œil, fait avec le plan de l’élément. I*a détermination des clartés réelles et apparentes devient beaucoup plus compliquée dans l’hypothèse où la lumière émane d’un corps à dimensions finies, tel que le soleil : alors, la clarté d’un point isolé de l’espace est déterminée par le cône lumineux qui a son sommet en ce point, et qui est circonscrit à la surface du corps lumineux. Un point dont le cône lumineux n’est atteint par aucun corps opaque, est totalement éclairé ( art 97 ),; les points totalement éclairés ne le sont également, que lorsque les cônes lumineux qui les éclairent sont égaux.

Après avoir construit les lignes qui forment sur la surface d'un corps donné, la séparation d’ombre et de lumière et le contour apparent qui correspond à une position déterminée de l’œil d’un spectateur, la partie de la surface comprise entre ces lignes, est visible en totalité, et cependant elle ne le serait qu’en partie, si le corps était parfaitement poli. En effet, considérons un point éclairé de ce corps, placé dans l’intérieur du contour apparent. Ce point, dans l'hypothèse d’un corps lumineux à dimensions Unies, est le sommet du cône de lumière dont la surface est circonscrite à celle du corps lumineux; or, on conçoit qu’aucuu des rayons de lumière appartenant au oône de lumière, ne puisse être réfléchi vers l’œil du spectateur : donc il peut arriver que le point de l’intérieur du contour apparent sur le corps opaque donné, 11e soit pas visible si ce corps était parfaitement poli. Mais tous les

aS.'i GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

points éclairés de l’intérieur du contour apparent d’un corps opaque, sont effectivement visibles. Il résulte de cette observation qu’il n’y a aucun corps qui soit d’un poli parfait. La surface de tous les corps est ondidée; chaque molécule de cette surface s’étend dans divers sens, et présente au corps lumineux une facette, qui réfléchit la lumière vers l’oeil du spectateur,

J -a partie d’un corps qui serait la seule visible dans l’hypothèse d’un poli parfait, en serait encore la partie brillante dans l’hypothèse contraire, et l’on pourrait proposer d’en déterminer le contour, qui dépendrait delà forme du corps opaque et du corps lumineux, et de leurs positions par rapport au spectateur. Nous allons résoudre ce problème pour le cas particulier où le corps lumineux se réduit à un point. Alors les seuls points visibles d'un corps dans l’hypothèse d’un poli parfait, sont encore les points brillons de ce corps, en admettant l’imperfection du poli des surfaces.

Du point brillant sur ime surface courbe quelconque.

171. Quelle que soit la surface du corps donné, on conçoit un ellipsoïde «le révolution tangent à cette surface et qui a pour foyers le point lumineux et l’œil du spectateur. Le point de contact de la surface proposée et de l'ellipsoïde, détermine le point brillant. La normale en ce point divise en deux parties égales le rayon de lumière incident et le rayon réfléchi vers l’œil du spectateur; de plus, elle passe par l’axe de révolution de l’ellipsoïde, qui joint le point lumineux et l’œil du spectateur. Lorsque les rayons de lumière sont parallèles entre eux, l’ellipsoïde tangent se change en un paraboloïdc de révolution, qui a pour axe la parallèle au rayon de lumière menée par l'œil du spectateur. La normale au point de contact de la surface du corps et du paraboloïde, divise en deux parties égales l’angle formé par le rayon incident en ce point et par le rayon réfléchi vers l’œil; elle passe aussi par l’axe du paraboloïde.

Construction du point brillant. (Pl. 8. 0,fg. a.) i° Dans l’hypothèse d’un point lumineux.

17a. On joint l'œil du spectateur et le point lumineux par une droite, et par tous les points de cette droite, on mène des normales à la surface proposée. I.es pieds de ces normales sur la surface, forment une courbe qui est évidemment le lieu géométriipie du point brillant. Mais il y a sur chaque normale un point que l’on peut regartler comme le sommet d’un angle dont les côtés passent par le point lumineux et par l’œil du spectateur, et qui est divisé en deux parties égales par la normale; ce point qui appartient à une

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a 55

courbe de la surface réglée des normales, serait le point brillant demandé, s'il était le pied de la normale; d'où il suit que cette courbe est un lieu géométrique du point brillant. Mais la courbe des pieds des normales sur la sur- • face proposée est un autre lieu géométrique du même point; donc l'intersection de ces deux courbes détermine le point brillant.

a^)ans l’hypothèse des rayons lumineux parallèles.

On mène par l’oeil une parallèle aux rayons lumineux; de tous les points de cette droite, on abaisse des normales sur la surface proposée. I.a courbe d«s pieds des normales, et celle des sommets des angles égaux formés de part et d’autre de chaque normale par un rayon incident et un rayon réfléchi, déterminent le point brillant.

Explication de la Jig. a, pi. 8. O.

173. Soient L le point lumineux, ce l’œil du spectateur, NO une normale à la surface, menée par un point quelconque N de la droite La- qui joint l’œil et le point lumineux. On abaisse la perpendiculaire a-Qœ’ sur NO, et on porte la distance Qœ en Q oc . La .droite l.œ prolongée coupe la normale au point P, qui serait le point brillant de la surface, si ce point coïncidait avec le pied de la normale sur la surface.

Lorsque les rayons de lumière sont parallèles à la droite doiuiée p, 011 mène par l’œil œ la parallèle a?N’ au rayon donné p, et par un point N' de cette parallèle, la normale à la surface. Ayant abaissé la perpendiculaire œœ’ sur celte normale , on porte la distance œQ’ en QV; la parallèle a/P à la droite p coupe la normale au.point P', qui serait le point brillant de la surface, si ce point coïncidait avec le pied de la normale sur la surface.

Ces deux constructions font voir comment, dans l'hypothèse d’un point lumineux ou des rayons parallèles, 'on détermine sur chacune des normales d’une surface, qui est dans le plan de l’œil et d'un rayon lumineux, un point tel que P ou P' d’une courbe, qui est un lieu géométrique du point brillant de la surface.

Construction du point brillant sur quelques sut jures particulières.

1 74- La méthode générale que nous venons d’exposer se simplifie pour quelques cas particuliers que nous allons examiner.

Supposons i° que la surface donnée soit telle qu’elle ait pour surface normale le long d une ligne connue, un plan; chacun de ces plans normal)* coupera la ligne droite qui joint l’œil du spectateur et le point lumineux, ou la parallèle aux rayons de lumière menée par l’œil ; si du point d’intersection.on •

a56 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

abaisse une normale sur la ligne contenue dans le plan normal, elle sera aussi normale à la»surface : le pied de cette normale, et le sommet de l’angle qu’on trouve sur cette normale comme pour le ca3 général, appartiennent à deux courbes, dont l’intersection détermine le point brillant.

Les surfaces développables et les surfaces de révolution sont dans ce cas particulier, car elles ont pour surfaces normales des plans qui coupent les premières suivant des droites, et les dernièrçs suivant des courbes méridiennes.

a® La surface proposée peut avoir pour surfaces normales suivant des lignes connues, ou des cylindres ou des cônes qui ont ces lignes pour bases. Dans le premier cas, on mène un plan par la droite qui joint le point lumineux et l’oeil du spectateur, et par une parallèle à la génératrice de l’un des cylindres normaux; si ce plan coupe le cylindre, il contiendra une normale sur laquelle on aura, comme précédemment, les points de deux courbes dont l’intersection détermine le point brillant. Dans le second cas, on mène le plan par la droite qui joint le point lumineux et l’œil du spectateur, et par le sommet de l’un des cônes normaux; l’intersection du plan et du cône normal, détermine une normale à la surface proposée, qui rencontre, comme la précédente, la droite menée par l’œil et par le point lumineux, ou la parallèle aux rayons lumineux qui passe par l'œil, lorsque le point lumineux est à l'infini.

On a vu (art. 192, liv. Ier) que les surfaces de révolution ont pour surfaces normales suivant des cercles, des cônes droits qui ont pour bases ces cercles, et pour sommets, des points de l’axe de révolution; on pourra donc employer les cônes normaux pour la recherche des points brillans. La détermination de ces points sera encore plus facile que par la méthode précédente, qui suppose qu’on sache abaisser d’un point hors d’une courbe méridienne, une normale sur cette courbe.

3“ La surface proposée est réglée, c’est-à-dire, qu'elle a pour génératrice une ligne droite. Toute surface réglée a pour surface tangente, suivant une droite , une infinité de plans gauches ou paraboloïdes hyperboliques (art. t5o, pag. 88). Or, l’un de ces paraboloïdes tangens a pour directrices, trois droites perpendiculaires à la droite de la surface réglée; donc si l’on fait tourner ce paraboloïde autour de la droite de contact, il deviendra, après un quart de révolution, normal à la surface réglée. Il n’y a donc aucune droite de cette surface par laquelle on ne puisse concevoir un plan gauche qui lui soit normal. La droite qui joint le point lumineux et l’œil dit spectateur, ou la parallèle aux rayon* de lumière menée par l’œil, rencontre ce paraboloïde normal en un point. Le plan conduit par ce point et par lit

droite de lu surface régira, contient, comme dans l.vsohifion génét-ale, une normale Mil- laquelle «e trouvent les points des deux courbe*, dont l'intersection détermine le jieint brillant. • ••■s .t'v ■’ -• •*

-j<y mj'ijn * «p* as* a

Des points brifttins à'itue d'oiseau, -c'est-à-dire ddns' Chypothèse oit' le spectateur est a ùuc dùuafce xla oùfatt- vis.ibky,. telle que tous les mXous visuels peuvent étrï, cynfa/éiés comme pandlcies à une droite dpnmlq? ..4 »

• >+■*•*■ < *<<'ifatfaÈËËËÊ)tt r., jo.j v. »•

1-5. Le point brillant d'une surface est. dans cette hypothèse, 1 iiilci seeUun

de d»tu* droites, qui 5qut parallèles,- lune aux .avons lumineux, et batilre aux rayons yisoeb.pu l’hrterseclion d'une parallèle aux rayons visuel'» « d’une droite qui pasSe par le |H>int lumineux. Dans les deux cas, la dijwtwq^ de la normale pïbsant par le point brillant sera déterminée, pui^pjVUc divine 1 11 deux angles égaux, l’angle île-, rayons incidens et réfléchis de eepnint^Ja rechft'i'che élu poiqt l.i ill.inL dépend donc de la sululion de ce problème •

Étant donnée une surfa# courbe, lufjruutar une normale parallèle à une

droite donnée? Ou de cehii-ei :

.-top a*»*

'Étant donnée une surfii&'edùtbd, lui mener un pfun kmgéftl y>c?pénMid taire à une droite donnée ? ‘ * ' !"• 1

Ce dernier problème Résout (art. 1 10) eu enveloppant la surface proposée de deux surfaces cylindriques^loiit les génératrices. çont parallèles ’t deux droites menées dans, la plan perpendiculaire à la droipj donnée ; le»* deux courbes do contact se rencontrent An point brillant. . . .

Sf la surface -proposée est île révolu tipti, on mènera d’abord ein pfaq méridien parâUcfe Ma droite. donnée, qui contiendra uné courbé fnérldiehnév,. 1? uorptaie à-’ cette çpuVté, parallèfe a la droite donnée, coupe la surfaco de révolution *njH>iulbrtou,t*c cette surface.

Dans le ças où b surface dé rovojnhpn-ost une sphère, on moue par le rentre do celte. : sphère une parallèle aux rayons visuels, et par ce mèmeçentr* un 'rayon lurmncux; le diamètre Je la sphère qui divisé en deux parti*» égales l’anglfi, de fa parallèle aux ro>ons visuels et du rayon, lumineux, coupe la sphère au point brillant fa. 3 et pl. 8, O). . , l^-etr^déÈl

1 7^’Étfn a déterminerait-. t3 n,pl. a, O) la lighe dft réparation d’ombre et de lumreresur nue sphère, daps l’hvpOthese où les rayons de lumière seraient parallèles à une droite donne* (JCi» et 4. J>h 8. Q.. Cette figne e?t un

grând cercle de la splierc y qui. a pour p;!<yec lions les ellipses (ÈFC.TÏ, àrs 'J. Pour trouver le point brillant. par rapport à, un spectateur placé a^ine <U>tance infinie du plàn’horizufitnl de projection {jig. 3), 011 conçoit' le plan

vertical AM paralicTe à la droite L, et dans ce plan le rayon de lumière AN et la verticale AG passant par le centre de la sphère; U droite A/iqjii divise en deux parties égales l’angle GATf, coupe le grand cercle BCG H au -point p, qui est le point brillant demandé} ce point p est en projection horizontale/)'.

On trouve de la même manière le point brillant pour im'apcc tateur placé ’ à une distance infinie du plan vertical. Le plan ab' [fg- b), perpendiculaire à ce plan vertical, et parallèle à la droite /, contient 1e rayon de lumière am et l’iiorizontale ak, passant par le centre a ale la sphère. La droite aq, qui divise en deux parties égales l'angle hnm , coupe le grand cercle bcii gu* point q; ce point est un autre point brillant, qui a pour projection verticale . • te point <(. ‘

1 7 j. "Nous terminerons ce chapitre des ombres, par les légendes des trois planches cotées i5, ifi et 17, qui offrent d’autres exemples de l'application de la géométrie descriptive au tracé des ombres linéaires; lès deux premiers exemples sont pris dans les ordres d'architecturale troisième dans la gnom unique. ' . . :

. fit base at tique (pl. 1 5, O), se compose de hait solides de révolution et d’qO parollélipipède rectangle. * •

Ombres d’une base attique. PI. i5. O.)

’SOMK DBS PASTI IBS DONT SE COMPOSE LA SA. SK ÀTT1QUE.

DÉSIGNATION DBS OMBnES LINÉAIRES A CONSTRUIRE.

Petit tore.

Fût de la colonne. , . ..... . , j, Séparation d’ombre et de 'lumière.

• • * . . . , „ (1* Séparation d’ombre et de lumière.

**' | Ombre portée par le fût de la colonne.

Premier filet au-dessous du congé. J Séparation d’ombre et de lumière.

t* Ombre' portée par le -premier filet, qui se' compose des ombres portées par une droite et parmi cercle. V * a* Séparation d’ombre êt de lumière.

Deuxièmefllet au-dessous du petit (’ , .

tore ’ • • " « i Ombre portée par le tore. •• £

j* Ombre portée par le cercle inférieur du deuxième Tilet;

{ ar° Ombre portée par le tore. •

Séparation d'ombre et tle lumière.

Scotie. '. .

Troisième -filet au-dessous de la scotie i

aüf)