OMBRES ET PERSPECTIVE

§ ltr. — Introduction.

g5 j,v théorie géométrique des ombres et cle la perspective est fondée sur plusieurs hypothèses que les physiciens ont admises, pour expliquer les phénomènes de la vision. On sait que tous les corps sont ou lumineux, ou opaques, ou transparens; un point quelconque d’un corps lumineux est considéré comme le centre d’une infinité de rayons blancs, qui se propagent en lignes droites dans tous les sens, hors du corps lumineux. Ces rayons ne conservent leur blancheur et leur direction primitive, que lorsqu'ils traversent un milieu l*>raogène. La lumière se comporte comme un fluide compoîé de molécules parfaitement élastiques; elle est soumise aux forces attractives ou répulsives des molécules des corps qu’elle traverse, ou dont elle s'approche à des distances imperceptibles. La loi suivant laquelle ces attractions moléculaires s’exercent, détermine le mouvement de cliaque rayon lumineux dans des milieux donnés, ou vers les bords des corps éclairés.

-.96. On suppose, dans la théorie géométrique des ombres, que la lumière se meut toujours en ligne droite, soit au contact des corps dont elle rase les bords, soit dans le milieu qu’elle traverse et que l’on regarde comme homogène. On fait abstraction, dans cette théorie, des forces qui produisent les phénomènes de l’inflexion, de la réfraction, et de la décomposition de la lumière blanche en rayons colorés. On admet que chaque point de la surface visible d’un corps non lumineux par lui-méme, devient le centre d’une infinité de rayons réfléchis, qui se propagent eu faisceaux comme les rayons directs d’un corps lumineux; ce point est visible dans la direction de l’axe du faisceau dirigé vers l’œil du spectateur.

On suppose encore, dans la théorie géométrique de la perspective, que l’œil est un point unique vers lequel viennent concourir tous les rayons de lumière, qui portent sur la rétine l’image des objets visibles.

97. Ces hypothèses admises, nous ne considérerons d’abord dans l’espace qu’un seul corps lumineux, et des points pris en dehors de ce corps. Chaque

JOO

GEOMETRIE DESCRIPTIVE, point du corps lumineux sera le centre d’une infinité de rayons, qui se propageront en lignes droites dans toüs les sens, en dehors du plan tangent à la surface du corps lumineux mené par ce point.

Chaque point pris en dehors du corps lumineux sera éclairé, et la quantité de lumière qu il recevra sera déterminée par le cône qui a ce point pour sommet, et qui est circonscrit au corps lumineux; tous ces points seront totalcment éclairés; mais leurs clartés seront inégales, puisqu’elles ont pour mesures les volumes variables des cônes lumineux compris entre les points éclairés, et les lignes de contact du corps lumineux et des cônes qui l’enveloppent.

g8. Plaçons maintenant en dehors du corps lumineux, un corps opaque, et considérons un point quelconque de l’espace, comme le sommet de deux cônes solides, dont les surfaces sont circonscrites, l’une à la surface du corps lumineux, l'autre à celle du corps opaque. Lorsque ces deux cônes n’ont de commun que leur sommet, le pointée l’espace est totalement éclairé. lorsque le premier cône est. eh totalité dans Antérieur du second, le point est totalement privé de lumière ; mais si le second cône est en totalité ou partiellement dans le premier, le point est privé d’une portion dé la lumière qu’il aurait reçue, si le Corps opaque «'existait pgs ; d’où il Suit que, dans l’hypothèse d’un espace qui ne contient qu’un seul corps lumineux, et un seul corps opaque, cet espace se divise en trois autres espaces : le premier totalement éclairé, qui est le jour; lé second totalement privé de lumière, qu'on nomme l 'ombre; enfin le troisième partiellement éclairé, qn’on appelle pénombre. La surface du corps opaque se divise, comme l’espace, en trois surfaces qui appartiennent, la première au jour , la seconde à l 'ombre, la troisième à la pénombre. Pour le démontrer, on mènera par un j oint quelconque de la surface du corps opaque, uq plan tangent à cette surface. En considérant ce plan com tue nne .plaque mince opaque, ou il interceptera les rayons de lumière qui, partant du corps lumineux, sont dirigés vers le corps opaque, 'ou placé au-delà de ce second corps, il n’interceptera aucun des rayons qui l’éclairent; ce qui présente plusieurs casque nous allons examine» successivement.

1° Le plan tangent à la surface du corps opaque, ne rencontre pas la surface du corps lumineux, et il est placé entre les surfaces de ces deux corps. Dans ce cas, le point de contact est totalement éclairé; il reçoit toute la lumière comprise dans le cône qui a ce point pour sommet, et qui est circonscrit à la surface du corps' lumineux.

a*- Le plan tangent à la surface du corps opaque ne rencontre pas la surlace du corps lumineux, mais il est placé de manière que le corps opaque et le corps lumineux sont du même côté par rapport à ce plan. Dans ce cas, Te point de contact sur le corps opaque est totalement privé de lumière. Le corps

opaque intercepte toute la lumière comprise dans le cône qui aurait ce point pour sommet, et qui serait circonscrit au corpsdumineux. »

3° Le plan tangent à la surface du corps opaque rencontre la surface du corps lumineux, et la coupe suivant une ligne courbe; dans ce cas, le point de contact n’est que partiellement éclairé, car le cône dont ce point est le sommet, et qui est circonscrit au corps lumineux, touche la surface de ce corps, suivant une autre ligne courbe; la portion de cette surface comprise entre* la courbe de contact et la ligne d’intersection par le plan tangent au corps opaque, détermine la quantité de lumière qui peut arriver du corps lumineux au point de contact du corps opaque : or cette lumière n’occupe qu’une portion du cône qui a pour sommet le- point de contact, et qui est circonscrit au corps lumineux; donc le point de contact 11'qpt que partiellement éclairé. • •

4* Le plan tangent à la surface du corps opaque est aussi tangent à la surface du corps lumineux. En supposant que le plan ait tuic épaisseur, les deux points de contact sont du même côté de ce plan ou de côtés différens. Considérons d’abord le premier cas ; alors le point de contact est éclairé par un seul rayon de lumière; le cône lumineux qui a ce point pour sommct,se réduit à la ligne droite menée pâr les deux points de contact. Si l’on conçoit la surface développable engendrée par un plan mobile, qui touche constamment du même côté de ce plan les deitx surfaces du corps opaque et du corps lumineux, chaque point de la ligné de contact de cette surface développable et du corps opaque ne sera de même éclairé que par un seul rayon de lumière.

5° Le plan tangent k la surface du corps opaque est aussi tangent à la surface du corps lumineux; mais les deux points de contact sont placés de côtés différens, par rapport au plan tangent qui aurait une épaisseur sensible. Dans ce cas, le point de contact est totalement éclairé, car il peut recevoir toute la lumière comprise dans le cône qui a ce point pour sommet, et qui est circonscrit au corps lumineux. Le plan mobile qui, dans chaque position, est tangent aux deux surfaces du corps opaque et du corps lumineux, de manière que les deux points de contact soient sur les deux faces opposées du plan tangent, ehgcndre une autre nappe de la surface développable du cas précédent, et tous les points de la courbe de contact de cette nappe et du corps opaque sont totalement éclairés. Pour distinguer ces deux nappes, qui sont les limites l’une de l’ombre, et l’autre de la pénombre, nous appellerons la première nappe de l'ombre , et la seconde, nappe de la pénombre. La partie de la surface du corps opaque qui appartient à la pénombre est comprise entre deux courbes; chaque point de la première courbe n’est éclairé que par un seul rayon de lumière, et chaque point de la seconde reçoit toute la lumière corn-

GEOMETRIE DESCRIPTIVE, prise dans le cône qui a ce poîut pour sommet, et qui est circonscrit au corps lumineux. «

. 99. Pour éclaircir cette théorie par un exemple, on peut supposer que le corps lumineux et le corps opaque sont des sphères; dans ce cas, les deux nappes de la surface développable circonscrite aux deux sphères se séparent, et chacune d’elles est une surface conique droite. La nappe de l'ombre devient •un cône droit, dont le sommet, situé sur la ligne qui joint les centres des deux sphères, est au-delà de ces sphères. La nappe de la pénombre est un second cône droit, dont le sommet est encore situé sur la ligne des centres, mais entre les sphères.

' Les lignes qui séparent sur la sphère opaque la zone éclairée de la pénombre, et la pénombre de l’ombre, sont deux petits cercles de cette sphère, situés dans des plans perpendiculaires à la droite qui joint les centres des deux sphères.

100. Ayant déterminé la surface de l’ombre et de la pénombre, dans l’hypothèse d’un seul corps lumineux, qui éclaire un seul corps opaque, ajoutons-y un second corps opaque, qui aura, comme le premier, son ombre et sa pénombre;^ partie éclairée du second corps opaque réfléchira la lumière qu’il reçoit du corps lumineux; alors les deux corps opaques sc comporteront l’un à l’égard de l’autre, comme le corps lumineux par rapport à chacun d’eux. Un point pris dans l'ombre de l’un des corps opaques, sera en partie éclairé par l’autre corps opaque. Dans cette hypothèse, il n’y aura plus d’ombre totale. Les points de l’espace seront néanmoins très-inégalement éclairés; c’est cette inégalité de clarté qui produit ce qu’on appelle ordinairement l 'ombre d’un corps. L’ombre prise dans ce sens, est un espace moins éclairé qu’un autre espace contigu.

Ainsi lorsque des objets sont éclairés par le soleil, l’ombre de ces objets n’est pas un espace totalement privé de lumière.

L’atmosphère, et tous les corps qui environnent les objets éclairés, réfléchissent la lumière dans tous les sens, et toutes les parties de l’espace, reçoivent plus ou moins de la lumière réfléchie. O11 fait voir dans les cours d’optique le contraste d’on espace éclairé et d’une ombre totale. L’observateur est dans l’intérieur d’une chambre obscure, dont les parois sont peintes en noir. Une ouverture à circulaire faite à l’une de ces parois permet à la lumière solaire d’y pénétrer : on reçoit cette lumière sur un tableau blanc vertical. La partie de ce tableau frappée par la lumière, est parfaitement éclairée; le jeeste du tableau est complètement privé de lumière sensible. L’image blanche du soleil se détache sur un fond noir; d’ou résulte un contraste qui nous trompe sur l’intensité de la couleur. Une disposition naturelle de l’organe de

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ao3

la vue nous porte à juger le blanc qui est en contact avec le noir, plus blanc qu’il n’est réellement, et réciproquement le noir voisin du blanc, plus noir qu’il n’est effectivement.

101. Lorsque le foyer de lumière cesse d'être un corps étendu aux trois dimensions, et qu’il se réduit à une ligne courbe lumineuse, un point quelconque de l’espace qui est totalement éclairé, reçoit le cône de lumière dont ce point est le sommet, et qui a pour base la courbe lumineuse. Interceptant par un corps opaque une partie de la lumière dirigée vers un point, ce point est dans la partie d# l’espace que nous avons nommée (art. 08) pénombre. II y aurait encore pénombre, dans l'hypothèse où la courbe lumineuse serait plane. Un point situé dans le plan de cette courbe pourrait ne recevoir qu’une partie de la lumière comprise dans l’angle dont le point serait le sommet, et qui dYfrait pour côtés, des tangentes à la courbe plane lumineuse; mais si l’on suppose le foyer de lumière réduit à un point, alors un autre point quelconque de l’espace n’est éclairé que par un seul rayon de lumière dirigé suivant la droite qui joint ces deux points; d'ou il résulte que dans cette dernière hypothèse, il n’y a aucun point de l’espace qui soit partiellement éclairé, autrement, qu’il n'y a pas de pénombre possible. La surface dc’veloppable de. l’ombre devient une surface conique qui a pour sommet le point lumineux, et-qui est circonscrite à la surface du corps opaque. Lorsque le point lumineux est à une distance infinie du corps opaque, la surface co- » nique de l’ombre se transforme en une surface cylindrique, également circonscrite au corps opaque, et dont la génératrice est parallèle aux rayons de lumière.

Conclusions.

10a. L’ombre et la pénombre d’un corps opaque ont pour limites les deux nappes de la surface développable, engendrée par un plan mobile constamment tangent à la surface du corps opaque et à celle du corps lumineux. Os nappes tangentes à la surface du corps opaque divisent cette surface en trois zones :1a première de ces zones est totalement éclairée, la seconde totalement dans l’ombre; la troisième est partiellement éclairée, ou dans la pénombre.Celte dernière zone est comprise entre les deux courbes de contact de la surface du corps opaque et des deux nappes de l’ombre et de la pénombre. Un point quelconque de la première courbe ne reçoit du corps Ituniueux qu’un seul rayon de lumière; un point quelconque çle la seconde courbe est complètement éclairé, c’est-à-dire qu’il reçoit tout le cône de lumière dont il est le. sommet, et qui est circonscrit au cône lumineux.

La zone du corps opaque, renfermée dans la courbe de contact de la sur-

ao/, GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

face de ce corps et de la nappe de l'ombre, est totalement privée de lumière. La zone, renfermée dans la seconde courbe de contact, qui appartient à la nappe dé la pénombre, est totalement éclairée. .

Enfin la zone du corps opaque, comprise entre les deux courbes de contact avec les deux nappes, est sur ce corps la limite de la pénombre ; chacun des points de cette courbe n’est que partiellement éclairé par le corps lumineux.

Lorsque le foyer de lumière est réduit à un point unique, ce qui comprend te cas où les rayons de lumière sont parallèles entre eux, tous les points de l’espace sont totalement éclairés ou totalement dans l'ombre ; il n’y a plus de pénombre. La surface de l’ombre d’un corps opaque est un cône ou un cylindre circonscrit à la surface de ce corps.

§ IL DES OMBRES ET DF. LA BEBSPKCTtVK I.1XÉAIRES. • >

io3.0n sait que l’application la plus immédiate de la géométrie descriptive est la représentation des corps sur deux plans de projection- (art. 1 ", liv. Ier). Chacun des points pris à la surface de ces corps étant détermine par ses projections sur deux plans rectangulaires, la combinaison des. lignes droites ou courbes tracées sur les plans, fera connaître la forme, les dimensions et la position respective des objets représentés. Pour compléter cette description, on conçoit que les corps sent dans un milieu éclairé; qu’ils sont eux-mêmes en partie éclairés, en partie dans l’ombre; que leur ombre se projette sur d’autres corps environnans, ou sur les plans de projections. Les lignes de séparation d’ombre et de lumière, les contours d’ombres portées, en un mot tout ce qui résulte de l’hypothèse qu’on a faite sur la manière dont les corps sont éclairés, sert de base aux jugemens que nous portons sur la forme et la position respective des objets. Les lignes déterminées d’après cette hypothèse ont aussi leurs projections, et la construction de ces lignes est, dans un grand nombre de cas, un complément nécessaire de la description géométrique des corps. La construction de ces lignes n’est d’aucune utilité pour l’artiste qui se propose d’exécuter en relief un objet dont il a les deux projections; mais elle est d’un grand secours à l’ingénieur chargé de l’examen d’un projet qu’il ne connaît que par des dessins et par des mémoires joints & ces dessins.

> jo4- Il était nécessaire pour atteindre le but qu’on s’est proposé en déterminant les lignes de séparation d’ombre et de lumière, et Jes contours d’ombres portées, de faire sur la manière dont les corps sont éclairés, une liypo-

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thèse simple dont on -pouvait prévoir facilement toute les conséquences. Il était encore important que celle hypothèse ne s'écartât pas beaucoup de ce qui se passe continuellement sous nos yeux. On satisfait à ces conditions, en supposant que les corps sont éclairés ou par des rayons de lumière parallèles entre eux, ou par un seul point lumineux dont la position est donnée; , c’est ainsi que pour chaque instant de jotir, tous les objets sont éclairés par le soleil. A la distance dont cet astre est de la terre, les rayons solaires, quelle que soit leur direction, nous semblent toujours parallèles entre eux, qu^aue néanmoins ils convergent sensiblement vers la terre.

L’ombre des corps éclairés par la lumière d'une bougie ou d’un quinquet, diffère d autant moins de celle qui résulterait d’un point lumineux unique, que les dimensions de la flamme sont plus petites, et dans tous les cas, le centre de cette flamme peut être considéré comme le point lumineux.

Des ombres dans l'hypothèse oà les corps sont éclairés par des rayons de lumière parallèles, ou par un seul point lumineux.

105. Chaque rayon de lumière doit être considéré comme ptie droite qui traverse tous les milieux transparais, et s’approche indéfiniment des corps opaques en conservant toujours sa direction primitive. Les rayons tangens à la surface de chaque corps opaque forment on une surface conique ou une surface cylindrique tangente à la surface de ce corps, et il est évident que la ligne de contact de ces fieux surfaces est sur le corps opaque la ligne de séparation d'ombre et de lumière. Cette ligne est en général une courbe à double courbure, et dans quelques cas particuliers une courbe plane. Chaque point de cette ligne est sur la surface du corps opaque, le point de contact de cette surface et d’un plan tangent qui passerait par le point lumineux, ou qui serait parallèle à des rayons de lumière dont la direction est donnée.

La limite de l'ombre d’un corps opaque quelconque est ou nue surface conique, ou une surface cylindrique, selon que la lumière part d’un point à une distance finie ou infinie des corps éclairés. La ligne de séparation d'ombre et de lumière sur un corps opaque, peut être considérée comme la ligne de contact de la surface de ce corps et delà surface de l’ombre.

106. Lorsque le corps opaque est un polyèdre à faces planes, les arêtes intersections des faces éclairées et de celles qui ne le sont pas, forment sur chaque polyèdre un polygone dont en général les côtés ne sont pas dans le même plan ; la pyramide qui a pour base ce polygone et pour sommet le point lumineux, détermine l’ombre du polyèdre; cette ombre se prolonge indéfiniment au-delà du polyèdre, à partir du polygone qui est la séparation d’ombre

Dîgîtized J»y Googl

aoC GEOMETRIE DESCRIPTIVE,

et de lumière. Lorsque les rayons de lumière sont parallèles entre eux, la pyramide devient un prisme qui a de même pour base le polygone dont rbaque côté est l'intersection de deux faces, l’une éclairée, et l’autre qui ne l’est pas; les arêtes du prisme sont parallèles aux rayons de lumière.

9 107. L'ombre d’un corps opaque ayant pour limite la partie de la surface

conique ou cylindrique circonscrite à la surface de ce corps, qu'on prolonge indéfiniment au-delà de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, tous les^Jijels placés dans cette ombre sont totalement privés de lumière; mais si l'oirconçoit un autre corps opaque ou transparent, dont la surface est pénétrée par celle de l’ombre, l'intersection de ces deux surfaces sera une ligne qu’on appelle aussi ombre du premier corps opaque, quoiqu’elle 11e soit que le contour de l'ombre portée par le premier corps sur le second. Appelant ombres linéaires les contours d’ombres portées par les corps opaques sur d’autres corps, et les lignes de séparation d'ombre et de lumière, qu’on a définies (art. to5), la détermination de ces ombres sera l'objet du paragraphe suivant; elle comprendra la perspective linéaire que nous allons définir.

m De I a perspective linéaire.

108. Chaque point d'un corps éclairé n’est visible que par le rayon, ou par le petit faisceau de rayons de lumière, dont l’axe est dirigé vers l'œil d’un spectateur. Pour définir la science qu’on nomme perspective , nous supposerons qu’on ait placé entre l’œil du spectateur et les corps qu’il aperçoit, une toile ou un tableau parfaitement transparent, de même couleur que le milieu dans lequel il est placé. Quelle que soit la surface de ce tableau, plane ou courbe, nous concevrons que chaque rayon visuel qui le traverse, y laisse l’impression de la direction de la lumière, de son intensité et de tous les accidens qui déterminent les effets d’une vision parfaite : il est évident que ce tableau devra produire sur l’œil du spectateur la même sensation que les objets eux-mêmes; que supprimant les objets, le spectateur n’en sera point averti, tant que l'image sera sous ses yeux. Cette image, peinte sur le tableau, est une perspective complète, qui comprend deux parties très-distinctes, qu’on nomme perspective linéaire, et perspective aérienne. Elle se réduit à la première partie lorsque les rayons visuels, en traversant le tableau, n’y ont laissé que l'impression de leur direction. La perspective aérienne est un art dont les règles servent de complément à la perspective linéaire : elle a pour objet de mettre sur chaque point du tableau la teinte et la couleur du rayon visuel qui passe par ce point; les grands tableaux des peintres anciens et modernes prouvent assez que cette science est arrivée à un haut degré de

Jt»r4

GEOMÉTRIB DESCRIPTIVE, perfection : cependant elle n'a jamais été écrite; on ne l'apprend que dam, les ateliers de peinture. Un géomètre qui serait à la fois peintre et physicien, et qui considérerait la lumière sous le rapport de l’art, ferait un travail d'une grande utilité, et qui manque presque entièrement (*).

109. D’après la définition de la perspective linéaire, la perspective d’un point de I espace est sur un tableau donné de forme et de position, le |>oint d intersection de la snrfacede ce tableau et de la droite menée par ce point et par l’œil du spectateur considéré comme un autre point (art. 9G).

La perspective d’une ligne courbe est l’intersection de la surface conique qui a pour sommet l'œil du spectateur, et pour base la ligne courbe visible. -

La perspective d’une surface a pour limite la courbe traoée sur le tableau, qui est la perspective d’une autre courbe de la surface qu’on nomme contour apparent : eette seconde courbe est la ligne de contact de la surface visible et d’un cône qui a pour sommet l’œil du spectateur.

La détermination des ombres linéaires , et la pêrspèctive linéaire, ne comprennent que ces deux problèmes de géométrie :

1° Trouver l’intersection d’une surface conique dont on connaît le sountiet et la base, et d'une autre surface donnée.

Ce problème comprend le cas où la surface conique devient une surface cylindrique dont on connaît la base, et qui a pour génératrice une droite doqt la direction est donnée.

a" Trouver la courbe de contact d'une surface donnée, et dTtn cône dont on connaît seulement le sommet.

Ce second problème comprend le cas où le cône circonscrit à la surface proposée devient un cylindre dont les arêtes sont parallèles à une droite donnée.

La solution de ce dernier problème sert de base aux constructions graphiques, relatives aux ombres et a la perspective linéaires.

(’) Monge s'était beaucoup occupé tlo plusieurs questions relatives à la perspective aérienne On a trouvé dans ses papiers une rédaction de la .leçon qu'il avait d'abord donnée aux Écoles 1101 males de 179!, et postérieurement à l'École polytechnique. Le talent de Monge, comme proiesscur, brillait dans tout son éclat, lorsqu’il parlait de peinture ou dtrchilcclurc. On a rappelé des souvenirs très-agréables aux élèves qui ont eu le bonheur de l’entendre, en publfaut ses Keeherches sur le dessin au lavis, avec sa Géométrie descriptive, réimprimée en 1820 J>ar les soins de il. Brisson-Huart. *

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aoB GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

J III. CONSTRUCTIONS GRAPHIQUES RELATIVES AUX OMBRES ET A LA PERSPECTIVE

LINÉAIRES. v

v Du cône ou du cy lindre tangent à une surface.

no. Lorsqu’un cône ou un cylindre est tangent à une surface donnée, un plan quelconque mené par une droite du cône ou du cylindre, coupe la surface suivant une courbe qui a pour tangente la droite ; le point de contact sur cette droite appartient à la ligne de contact du cône ou du cylindre, et de la • surface proposée.

La surface étant définie, des plans verticaux menés par le sommet du cône tangent, on parallèlement aux droites du cylindre tangent, coupent la surface suivant des lignes qu’e l’on construit par la méthode exposée ( livre Ier, art. G6).

Les tangentes à ces lignes menées par le sommet du cône, ou parallèlement à la génératrice du cylindre, sont des droites du cône ou du cylindre tangent, et les points de contact sur les lignes de la surface proposée appartiennent à la courbe de contact de cette surface et du cône ou du cylindre. La construction de cette courbe est ramenée à la solution de cette question de géométrie plane : par un point donné hors d’une courbe plane, mener une tangente à cette courbe, ou lui mener une tangente qui soit parallèle à une droite dtïnnée ?

Cette méthode, pour déterminer le cône ou le cylindre tangent aux surfaces, s’applique à toute surface dont on connaît la génération, et pour laquelle on peut assigner la génératrice qui passe par un point quelconque de cette surface. Si l’on demandait la section du cône ou du cylindre tangent par un plan donné, on pourrait l'obtenir avec une exactitude suffisante pour la pratique, sans être obligé de construire par points la ligne de contact du cône ou du cylindre tangent et de la surface proposée. Il suffirait de projeter sur le plan donné la ligne génératrice de la surface proposée, par des droites concourantes vers le sommet du cône, ou par des droites parallèles à celles du cylindre : les projections de cette ligne, considérée dans toutes ses positions, seraient touchées paç une courbe unique, qui serait la section demandée du cône ou du cylindre tangent; connaissant la section plane d’un cône et son sommet, ce cône est déterminé.

Un cône ou un cylindre peut être inscrit ou circonscrit à une surface; dans les deux cas, nous les désignons par cône tangent , cylindre tangent. La détermination d’un cône tangent comprend celle d’un cylindre tangentdont la droite

génératrice est donnée en direction, car le cylindre est un cône dont le sommet est à l’infini sur» une droite dont la direction est connue.

1 1 1. Le contour apparent d’une surlace étant(art. 109 ) la base d’un cône tangent à cette surface, on déterminera ce cône par la méthode générale qui vient d’étre exposée. Si Tou regarde le sommet du cône comme un point lumineux, le contour apparent devient la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface. Cette ligne, dans l'hypothèse des rayons lumineux parallèles, appartient au cylindre tangent, dout la droite génératrice est aussi parallèle à ces rayons. I

Des deux méthodes ( art. no) par lesquelles on détermine le cône où le cylindre tangent, il est à remarquer que la première seulement donne lè contour apparent, ou la courbe de contact du cône et de la surface proposée. Jji seconde donne seulement une section du cône tangent; néanmoins ce cône ayant pour sommet l’oeil du spectateur, la sectiqn sera la perspective du contour apparent, en prenant le plan de la section pour le tableau.

Des surfaces développables et de leurs enveloppes.

1 ta. Lorsqu'une surface conique est tangente à une autre surface, un plau tangent à la première surface est aussi tangent à la seconde; le contact du plan et du cône se fait suivant une arête de ce cône; l’intersection de cette arête, et de la ligne commune au cône et à la surface détermine le point de contact de cette surface et du plan; il suit de cette considération que la courbe de contact d'une surface et d’un cône tangent à cette surface, est le lieu géométrique des points de contact de la surface, et des plans tangens à la surface menés par le sommet du cône. Dans le cas où la surface proposée est développable, le cône ou le cylindre tangent se réduit à un plan, et pour déterminer ce plan, il suffit de mener par le sommet du cône, un plan quelconque qui coupe la surface développable suivant une courbe; la droite tangente à cette courbe menée par le sommet, et la droite de la surface développable qui passe par le point de contact, déterminent le plan tangent. Si ce plan devait être parallèle à une droite donnée, on couperait la surface développable par un plan parallèle à cette droite’, et on mènerait une tangente à la section, parallèle à la même droite; cette droite tangente, et la droite de la surface développable menée par le point de contact, détermineraient le plan tangent. Le nombre de plans tangens qu’on peut mener à la surface dévqjoppable, est égal au nombre de tangentes qu’on peut mener par un point donné, ou parallèlement à une droite donnée, à une section de la surface dont le plan passe par ce point, ou est parallèle à la droite donnée.

1 i'3. De quelque manière qu’une surface développable se meuve, les courbes qyi résultent de ses intersections successives forment une seconde surface, qui est l’enveloppe de l’espace que parcourt la première ( art. l\i, liv. Ifr V lies courbes étant connues, la ligne de contact de la surface enveloppe et d’un cône dont on donne le sommet, sera déterminée. Eu effet, la surface mobile considérée dans une position quelconque est coupée par deux surfaces adjacentes suivant deux courbes; et l'élément de surÇjce développable terminé par ces courbes, appartient à la surface enveloppe : or le plan tangent à la sifrface mobile, mené par le point donné, touche cette surface suivant une droite, et l’élément de -la surface enveloppe suivant une portion de cette droite; donc le point d'intersection de la courbe qui termine cet élément, et de la droite de la surface développable, à laquelle appartient ce même élément, est sur la ligue de contact de la surface enveloppe de la surface développable mobile, et du cône.qui a son sommet au point donné.

Du cône ou du cylindre tangent à une surface enveloppe.

'■ ti 4- Nous déterminerons le cône tangent aux surfaces dites enveloppes ( art. 47, liv. 1er ), par une méthode particulière plus simple, plus exacte que la méthode générale précédemment exposée ( art. 1 to ). -

Pour, comprendre le principe sur lequel celte méthode est fondée, il faut considérer sur une enveloppée mobile deux ligues, savoir, la caractéristique de l’enveloppe, qui est ( art. 47, liv. Ier ) l’intersection de l’enveloppée mobile avec elle-même, et b courbe de contact avec un cône de même sommet que le cône tangent à l’enveloppe. Lorsque ces deux lignes se coupent, le point d'intersection appartient n la courbe de contact de l'enveloppe et du cône demandé ; car l’enveloppe et l’enveloppée ayant en ce point même plan tangent, ce plan passe par le point donné, sommet du cône tangent à l’enveloppe.

Nous allons prendre pour exemples les surfaces de révolution et les surfaces réglées ; elles sont comprises dans la famille des surfaces enveloppes , car les premières ont pour enveloppées des cônes droits, des sphères, ou des cylindres droits, qui ont pour bases les sections méridiennes : elles ont pour caractéristiques «les cercles; les surfaces réglées ont pour enveloppées des hyperboloïdes à une nappe, ou des paraboloides hyperboliques, et pour caractéristique des ligues droites. L'application de la méthode est facile pour ces deux genres d’enveloppes, parce qu’on trouve directement sur chaque caractéristique, le point de contact de l’enveloppe, et d’un plan passant par le sommet du cône tangent à cette enveloppe.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. au

Du cône ou du cylindre circonscrit aux surfaces de révolution et à leurs enve- •V loppes. — De la sphère et de ses envelop/res.

1 1 5. La sphère est une surface de révolution, qui a pour axe l’uu de scs diamètres, et pour section méridienne le grand cercle dont le planquasse par ce diamètre, la courbe de contact de la sphère et d’un cylindre est un grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite génératrice du cylindre tangent. Un cène touche la sphère suivant le petit cercle d’intersection de cette sphère et d’une seconde sphère qui a pour diamètre la distance du sommet du cône au centre Ue la première.

I)e quelque manière qu'une sphère constante ou variable de rayon semeuve, les intersections successives de la sphère mobile sont des cercles, parce que deux sphères qui se pénétrent ont pour ligne d’intèrsection un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint leurs centres (art. ao3, liv. Ier ). La sphère mobile considérée dans une position quelconque, étant coupée par les deux sphères adjacentes suivant deux cercles, la zone sphérique comprise entre ces deux cercles est un élémenlde la surface enveloppe, lieu des intersections successives de la sphère mobile. Lorsque le cercle qui termine cet élément est rencontré par le cercle de contact de la sphère mobile et du cône dont on connaît le sommet, les points de rencontre appartiennent à la ligne de contact de la surface enveloppe, et du cône tangent à eette surface; car les plans tangens à l’enveloppe, menés par ces points, passeraient par le sommet du cône ( art. 1 14 ).

Si la surface enveloppe de la surface mobile sc monvait elle-même suivant une loi donnée , elle engendrerait une nouvelle surface enveloppe. Connaissant pour chaque position de la première enveloppe sa caractéristique ( art. 1 1 4 ), et la ligne de contact de cette enveloppe mobile avec le cône qui lui est tangent , l’intersection de ces deux lignes serait un point de la ligne de contact de la seconde enveloppe, et du cône tangent à cette en\eloppe. Il en serait de même de toutes les enveloppes successives, qui dériveraient de la même surface primitive, poftr lesquelles on déterminerait, par des procédés analogues, leurs lignes de contact avec un cône dont

le sommet serait donné.

Du cône tangent à Une surface de révolution.

j * ^ ne surface de révolution peut être considérée comme l’enveloppe ou

>1 un cône, ou d une sphère, ou d’un cylindre mobile; d’où l’on déduit trois

a i a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

méthodes pour déterminer la courbe de contact de cette surface, et d'un cône qui lui est tangent. * . v‘ v

Qu’on imagine par un point quelconque d’nne surface de révolùtion deux plans, l’un perpendiculaire à l’axe, et l’autre passant. par l'axe; la section du premier plan est un cercle, et La section du second plan une courbe méridienne. La tangente à cette courbe menée par le point de rencontre des deux sections, rencontre l’axe de révolution en un point, et ce point est le sommet d’un cône droit tangent à la surface, qui a pour base la section circulaire. Il n’y a aucun cercle de la stirface de révolution, qu’on ne puisse regarder comme la courbe de contact de cette surface, et d’un cône droit qui aurait son sonjmet sur l’axe de révolution; d’où il suit qu’une stfrface de révolution • est l’enveloppe de l’espace que parcourt un cône droit, qui varie de manière que sa base étant un cercle de la surface de révolution, sa génératrice est une tangente à la section méridienne, menée par le point où cette section coupe la base circulaire; le sommet dircpne mobile étant constamment sur l'axe de révolution, ses intersections successives sont des cercles de la surface de révolution. Considérant le cône droit dans une position quelconque, et menant par le sommet du cône qui doit être tangent à la surface de révolution, un plan tangent au cône droit, l’aréte de contact sur Ce cône et sa base circulaire se couperont en un point; ce point appartient à la ligne de contact de la surface de révolution et du cône tangent à cette surface, dont le sommet est donné hors la surface; car le plan tangent à la surface de révolution, ^mené par le point ainsi déterminé, passerait par le sommet du cône inscrit ou circonscrit.

1 17. Une sphère mobile qui aurait successivement pour rayons, les parties de normales à la section méridienne d’une surface de révolution, comprises entre la section et l’axe de révolution, et de plus pour centres les points de rencontre des normales et de l’axe, engendrerait la surface de révolution. 11 y a pour chaque position de la sphère mobile ( art. 1 15*), la caractéristique de son enveloppe, qui est un cercle de la surface de révolution; ce cercle est coupé par le cercle de contact de la mémo sphère mobile. et du cône dont le sommet est donné; l'intersection de ces deux cercles appartient à la ligne de contact de la surface de révolution et du cône tangent à cette surface.

11 8. Chaque section méridienne d’une surface de révolution étant considérée comme la base d’un cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de la section, ce cylindre est tangent à la surface; faisant mouvoir ce cylindre de manière que sa base se trouve successivement dans les différens plaus méridiens, ses intersections successives seront les sections méridiennes : or il y a pour chaque position du cylindre mobile, la caractéristique qui est

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ai 3

une section méridienne de la surface, et sur chaque cylindre, une ^rète de contact avec le plan tangentà ce cylindre, mené par le sommet donné du cône; Tintérsection de l’arête et de la section détermine un point de la courbe de contact de la surface dé révolution et du cône inscrit ou circonscrit à cette surface. «- '

1 19. Ces trois méfhodes ne s’appliquent pas seulement à la recherche de la courbe de contact d’une surface de révolution et d’un cône dont le sommet est donné ; elles serviraient aussi à trouver cette courbe dans le cas où le sommet du cône étant à l’infini, le cône tangent deviendrait un cylindre tangent. La surface mobile génératrice de la surface de révolution étant un cône ou un cylindre, on mènerait un plan tangent à cette surface parallèle à la droite génératrice du cylindre, et ce plan tangent serait substitué à celui qu’on aurait mené par un sommet donné. Regardant la sphère comme la génératrice delà surface de révolution, on construirait pour chaque position de la sphère mobile, le grand cercle suivant lequel cette sphère est touchée par un cylindre dont les arêtes sont parallèles à celles du cylindre tangent à la surface de révolution; l’intersection de ee grand cercle, et du petit cercle commun à la sphère et à la surface de révolution, déterminerait un point de la ligne de .contact de la surface de révolution et du cylindre tangent.

On ferait pour les enveloppes successives d’une surface de révolution quelconque, les mêmes raisonnemens que pour les enveloppes successives de la sphère (art. 1 15 ); la caractéristique d’une enveloppe quelconque, et la ligne de contact d’un cône avec la surface mobile qui contient cette caractéristique, déterminent par leur intersection, un point de la ligne de contact de lasurface enveloppe et d’un cône tangent à cette surface.

Du cône tangent à une surface réglée.

1 ao. Avant de construire la courbe de contact d’un cône ou d’un cylindre et d’une surface réglée, rappelons ce qui a été dit (art. tGo, liv. 1er) sur le plan tangent à cette surface. On a fait voir que ce plan à la fois tangent et sécant, coupe la surface réglée suivant une courbe qui contient le point de contact; et comme ce point est aussi sur la droite de la surface par laquelle on a mené le plan tangent, l’intersection de cette droite et de la courbe détermine sa position. .

La surface réglée la plus générale, est engendrée par une droite mobile qui s’appuie sur trois courbes données.

Soient AB, A B’, A'B' trois courbes quëlconques d’une surface réglée (pisuppl. S,fig. 8 ); la droite mobile prend successivement les positions AA'A”,

ai 4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Ulî'U". lai droite A AA rencontre les trois courbes données aux points A, A’, A", et si l’on rnene par ces points les tangentes A/, A i, A "A, la surface engendrée par mie droite mobile qui s'appuie sur ces trois tangentes aux courbes données, est tangente (art. t4y, liv. Ier) à la surface réglée générale suivant la droite AA'.Vqtti leur est commune. Les deux surfaces sé touchent suivant cette droite, parce quelles ont mi élément gauebe commun. A A'A'aua". Nous avons démontré (art. i/|4? liv. Ier) qu’un plan passant par la droite AA’A', et tournant autour de cette droite, était dans toutes ses positions tangent à la surface réglée particulière, qui a pour directrices les trois droites AA, Ai, A 7 1; d’où il suit que ce plan est aussi tangent dans toutes ses positions à la surface réglée générale, et pour chacune de ses positions, Je point de contact est le même pour les deux surfaces. Ainsi, ayant déterminé ce point sur la surface réglée particulière que nous avons noinméç (ari. j 34, liv. 1er) hyperhuloide à une nappe, il l’est aussi sur la surface réglée générale.

I.’hyperholoïde, tangent a la surface réglée- devient (art/ i5o, liv. Ier ) un paraboloïde, lorsque les trois droites directrices de la première surface sont parallèles^ un même plan.- . ’ - .

i a i . Connaissant pour chaque position de La droite mobile génératrice d’une surface ré-glée, l’hyperboloïde ou le paraboloïde tangent, le plan mené par cette droite et par le sommet du cône tangent à la surface, touchera l’hyper-boloide ou le paraboloïde en un point qui sera déterminé; ce point appartient à la courbe de contact du cône et de la surface réglée générale. Lorsque le plan mené par la droite de la surface est parallèle à la droite génératrice du cylindre tangent, il touchera l’hyperboloïde ou le paraboloïde en un point, qui sera sur la courbe de contact du cylindre et de la surface réglée. La courbe de contact du cône ou du cylindre tangent sera donc déterminée. Dans le cas où l'on né connaît mie surface réglée que par la loi du mouvement de sa droite génératrice, et eu supposant que les tangentes ù celte surface qui déterminent les liy pcrboloïdus ou paraboloïdes tangens ne sont pas données, ou peut encore construire La^tourbe de contact, en remarquant que le plaît mené par le sommet du cône tangent et par la droite de la surface réglée, est tangent u cette surface. Eu effet ce- pian, quoique tangent, coupe toutes les droites de la surface réglée, placées de chaque côté de, la droite par laquelle ou l’a mené; or les points d'intersection (art. 160, liv. Ier) forment sur la surface une ligne dont la tangente est dans le plan de la courbe; donc ce plan est tangent au poiut de lu surface où la courbe et la droite de celte surface se rencontrent; puisqu’il contient une tangente à cette courbe, et une droite de lu surlace qui est sa propre tangente ; le point de contact du plaît tangent est à l'intersection de la cout be et de la droite de la surlace. D’apres cette consi-

CÉOMLTRIE DESCRIPTIVE. 21 5

dération, on déterminera chaque point de la courbe de contact d’un cône ou d'un cylindre tangent à une surface réglée, par l’intersection d'une droite etd’hnc courbe construite par points. La détermination de cette courbe, au moyen de- l'byperboloïde ou du paraboloïde tangent, est bien préférable, puisqu’on trouve chaque point de la courbe de contact' par l'intersection de deux droites. .

Si l’on demandait, le donc tangent à la surface enveloppe de l’espace que parcourt une surface réglée, on déterminerait pour chaque position de la surface réglée mobile, la caractéristique de l’enveloppe, et le cône de même seîmn&ifUe le cône demandé, tangent à cette surface réglée mobile; la courbe 8* coittact de ce cône et de la surface mobile rencontrerait la caractéristique de l’enveloppe, en un point de la ligne de contact dé cette enveloppe et du cône qui lui est tangent. *

Des points limites de la courbe de contact d'une surface donnée at d'un cône ou d’un cylindre tangent à cette surface. *

13a. Le mode de génération des surfaces en détermine la forme, et lorsqu’on demande un cône ou un cylindre tangent à ces surfaces, on les suppose prolongées indéfiniment, de manière que la courbe de contact ait toute l’étendue dont elle eat susceptible. Cette hypothèse convient aux généralités de la géopétrie ; mais les corps éclairés et pour lesquels on demande les lignes de séparation d’ombre et de lumière, sont terminés par des surfaces qui ont pour limites les arêtes ou les lignes communes aux surfaces adjacentes, et ou ferait un travailgraphique inutile, si l'on construisait les contours des ombres portées, on les lignes de séparation d’ombre et de lumière, hors de ces limites. Pour éviter ce travail, o» considérera chaque arête de la surface d’un corps de deux manières, d’abord comme la base d’un cône qui aurait son sommet au point lumineux, ensuite comme la ligne de contact de la surface du corps, et d’une surface développable qui serait le lieu des intersections successives des plans tangens au corps menés par les points de l’arête.

La surface du cône lumineux qui a pour base l'arête du corps, rencontrera les lignes qui portent ombre sur ce corps en des points; et les rayons de lumière menés parces points, couperont k surface du corps en d'autres points qui seront, sur l’arête de ce corps, des points limites du contour des ombres portées* ‘

Ayant mené par le point lumineux un plan tangent à la surface développable qui passe par l’arête du’ corps, la droite de contact coupera cette arête en un point qui sera une limite de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sue le corps.

ai6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Si le point lumineux est à l’infini, le cône lumineux qui a pour base l'aréte du corps proposé, se change en un cylindre dont la droite génératrice est parallèle au rayon de lumière, et le plan tangent à la surface développable est aussi parallèle à ces rayons.

Nous ferons l’application de ces propositions à la détermination de l'ombre d’une vis triangulaire.

Ces préliminaires posés, nous allons d'abord considérer les lignes de séparation d’ombre et de lumière sur les corps simples de la géométrie, tels que • le polyèdre à laces planes, la sphère, le cylindre et le cône droit, et déterminer les ombres portées par des droites ou par des cercles donnés, sur quelquesunes de ces surfaces.