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Cdftstruction de' l’épure.
a4. Ayant pris pour plan horizontal de projection, le plan «les naissances «1^ la porte, et du berctuu racheté par cette porte, on y projette les lignes suivant lesquelles la surface cylindrique de la porte, et les faces de chaque voussoir de celte ^orte, sont coupées, i* par la surface cylindrique du ber-
3ix GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
ceau ; »’ par ta face 'du mur, biaise et en talus. Chaque voussoir étant donné sur le profil, par une section droite telle que ambede, la construction de la ligne d intersection des deux cylindres se fait de la manière indiquée (art.
a 10, liv. I*'). '•». ‘ •
Oh déduira «fti jdan et du profil, le développement, i* de la surfaoe cylindrique de la porte, qui contient tous les pannes ut de douelles de cette porte ; a' des joints correspondait* à chaque douelle.
( Les panneaux de douelles et de joints sont construits {Append^ pl.l) pour quatre espèces xle portes cylindriques, qui ont même profil, et qu’on pomme :
t" Porte droite; ■ • * • ' . ,
a" Porte droite, rachetant un berceau cylindrique; . •
3° Porte biaise, rachetant un berceau; 1.
4° Porte biaise et en talus, rachetant un berceau.
On a fak tourner chaque plan de joint, autour de l’aréta de douelle' contenue dans ce plan. Quoique les panneaux de douelles et de joints soient réunis sur le même plan de développement , ou distingue néanmoins sur la figure, chaque douelle et les deux joints de voussoir adjacens à celte douelle. C’est pourquoi cet arrangement de la figure des paniieaitx, a été adopté pour toutes les épures de voûtes à surfaces cylindriques ou développables.
Application du trait sur la pierre.
a5. Prenons pour exemple le voussoir de la porte biaise, en talus, rachetant un berceau, dont la sectlondroite est le polygone de cinq côtés-ambcde. * Le p/im ABCD'et le profil dfgh ftftk connaître les dimensions d’un parallélipipède rectangle capable de contenir ce voussoir. La longueur AB ou CP de ce solide estau moins égale à la droite Ce’ de la projection horixontale a'bc'd'e' C du voussoir.
Ayant exédité le paralléllpipède (ABCD,^rft),ou rapportera sur ses deux faces verticales et parallèles AD, BC, 1 e panneau de tète ambede ; ce quidounera le moyen de le transformer en uh prisme de la longueur AB ou: DC, et de la base ou section droite {ambede).
Appliquant les panneaux de- douelle et de joints sur les faces correspondantes du nouveau solide, on aura les contours du voussoir entier de la porte n» t. Ces contours servent de directrices aux génératrices des surfaces qui terminent le voussoir.
L? plan et le profil donnent un autre prisme, qui diffère moins du voussoir de la porte, que le paralléli pipède rectangle. Ce prisme a pour section drbite le polygone rectiligne abede, et pour longueur la droite Ail ou CD. Ce prisme
APPENDICE. 3i3
étant exécuté, il est facile de voir comment on lui donnera, au moyen des panneaux de douelleet de joints de chaque voussoir, la forme de ce voussoir.
Le solide qu’on obtiendra sera terminé, i“ par quatre plans perpendiculaires au plan du profil, et désignés sur ce prolil par les droites ae, bc, cd, de ; a° par un cinquième plan, biais et en talus, qui contient la face dont la projection horizontale est a'm'b'e'tl' ; 3° par les deux surfaces cylindriques de la porte et du berceau racheté : d'où il suit que la surface entière du voussoir se compose de cinq faces planes et de deux faces courbes ; que le nombre des arêtes de ce voussoir est de quinze, dont dix sont des lignes droites, quatre des courbes planes, et la quinzième est la courbe à double courbure, intersection des deux faces courbes cylindriques.
Porte !»“ a. ( Appendice , pl. a.)
Porte en tour ronde , biaise , en talus, rachetant un berceau sphérique.
. . l)e fini lion.
a6. On nomme en coupe de pierres, j° mur en tour ronde, celui qui est terminé par deux cylindres droits concentriques, à bases circulaires; a» mur en tour ronde, en talus, celui qui est compris entre un cylindre droit et un cône droit, dont les sections horizontales sont des cercles concentriques;
3° porte en tour ronde, en talus, uneqiorte de même profil que la précédente r N” I (dpp , pl. i), pratiquée dans l'épaisseur d'un mur en tourronde, en talus, et si tuée,' par rapport ce mur, de maniéré que l’axe de la surface cylindrique, qui est horizontal, passe par l’axe vertical, commun au cylindre droit et au cône droit qui terminent le mur. Lorsque ces deux axes ne se rencontrent pas, la porte est dite en tour ronde, en talus et biaise.
On suppose que l’espace renfermé danà le cylindre droit du mur en tour ronde, en talus, est couvert par un berceau sphérique construit en moellons, dont la naissance est dans un plan horizontal donné. Ce plan coupe le cylindre droit suivant un cercle, que l’on prend pour le grand cercle de la sphère qui termine le berceau. La porte N° a [/1pp. pl. 9) ayant sa naissance dans le même plan, elle rencontre ou rachète le berceau sphérique; c’est • pourquoi on la nomme porte en tour ronde, biaise, eu talus, rachetant un berceau sphérique.
Construction de l'epure. (Appendice, pi a.) -
37. E 'épure se compose, comme pour la porte N' 1, de trois parties, le pro/il, le pion, et le développement des panneaux.
Le plau du pro/il est perpendiculaire à l’axe du cylindre de la porte; .on prend pour le plan de projections horizontales, celui des naissauces de la porte et du berceau racheté. Les lignes à projeter Sur ce dernier plan sont les intersections de la surface cylindrique de 1a porte et des faces de chaque vottssoir de cette porte, i° par la surface sphérique du berceau; a0 par la face conique du mur en tour ronde, en talus. Chaque voussoir est déterminé sur le profil par sa section droite ( ambede ). La construction des lignes d’intersections, ou des arêtes du voussoir, se fait de la maniéré indiquée (art. a 10, liv. Ier).
On déduira du plan et du profil, le développement, i° de la surface cylindrique de la porte, qui contient tous les panneaux de douellcs de cette porte; a° des joints correspondans à chaque douelle.
Les panneaux de douelles et de joints sont construits pour quatre cas différens, et donnent le moyen d’appareiller les voussoirs des portes suivantes :
1° Porte en tour ronde, biaise;
a° Porte en tour ronde, biaise, en talus ;
3" Porte en tour ronde, biaise, rachetant un berceau sphérique;
4<> Porte en tour ronde, biaise, en talus, rachetant un berceau sphérique.
Les droites qui appartiennent aux contours de ces panneaux, ou qui servent à construire les lignes courbes de ces contours, sont horizontales'; c’est pour avoir directement leurs longueurs, qu’on a pris le plan horizontal des naissances des portes 1 et a, pour l’un des plans de projection. ”
Application du trait sur la pierre.
a8. Cette application se fait comme pour la porte précédente. On exécute d’abord un parallélipipede rectangle ou un prisme droit dont la base est un polygone rectiligne de cinq côtés abede (App., pl. a); on change ce prisme en un autre qui ne diffère du premier que par une face cylindrique marquée au profil amb , qui remplace le plan ab. En appliquant sur ce prisme les panneaux de douelle et de joints relatifs à chaque voussoir, on donne à ce voussoir la figure déterminée par l’épure.
De la figure d’un voussoir de la porte N* a.
an. Le voussoir ayant pour profil le polygone ambcdelApp ., pl. a), étant de plus compris entre la surface intérieure du berceau sphérique, et la surface extérieure du mur en -tour ronde, en talus, sa forme serait entièrement déterminée. Mais il yji une modification de cette forme, qui résulte de ce que la face vertieale marquée au profil ed, au plan e'd', n'est pas prolongée jusqu’au berceau sphérique, qu’elle couperait trop obliquement. Par le point (e, d ), intersection de l’horizontale (e'd', e ) de cette face et du berceau sphérique, on mène un plan vertical marqué au plan Vé', qui est dirigé vers le centre du berceau, et qui contient la face du voussoir dont le développement est le triangle e'rf'f, formé de deux droites e'd", d" k" respectivement égales à ed, d’k', et d’un arc e’k" du grand cercle du berceau sphérique contenu dans le plan Vertical d'k\ La face verticale e'd', qu’on nomme parement, est représentée dans sa véritable grandeur,^, p. Elle se compose de deux horizontales, d’une verticale égale à ed, et d’un arc d'hyperbole y<S', intersection du cône droit du mur «n-tour ronde, en talus, et du plan vertical e'd'.
■ Nous pouvons maintenant faire l’énumération des faces et des arêtes du voussoir de la porte N” a. >
i» Cinq faces planes, dont quatre perpendiculaires au plan du profil, y sont représentées par les droites be, ed, de, ac, et la cinquième verticale a pour trace sur le plan horizontal, la droite d’k'.
a” Trois faces courbes situées, l’une sur le cône qui termine le mur extérieureuient, et les deux autres sur les cylindres de la porte et du -berceau.
3“ Dix-sept arêtes, dont sept sont des lignes droites, huit des oourbes planes, et les deux dernières, des courbes à double courbure, intersections des trois faces courbes. >
Porte n” 3. [ylpp., pl. 3.) . .
Arrière-voussure de Marseille.
Définition. a ^ .
3o. La porte qu’on nomme arrière-voussure de Marseille, se compose d’uneporte droite pratiquée dans l’épaisseur d’un mur droit, et d’une petite voûte ou voussure, destinée à couvrir l’évasement de cette porte. L’objet de l’évasement est de faciliter l'entrée des voitures, et d’empêcher qu’elles ne choquent les venteaux en bois, qui doivent fermer la porte droite en pierres.
3i6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
Le plan horizontal des naissances de la porte droite coupe le mur qui sert de pied-droit à cette porte; ta section (Jig. ■) est composée de deux parties Xabcdé\',X'a'b'cde'X', égales et symétriquement placées par rapport à l’axe *0 de la surface cylindrique de la porte droite. La portesdroite ne couvre que la partie du passage, comprise entre les deux plans verticaux XX', cc. EU* s’élargit d’une quantité bc, ou bc, pour couvrir l’espace compris entre les deux plans verticaux cc', dd, qui doit être occupé pgir les venteaux destinés à fermer la porte droite. Ces venteaux tournent sur des gonds placés dans les angles bed, b'cd de la feuillure, laquelle a pour génératrice le système des deux droites égales et rectangulaires bc, cd ou bc, cd' tournant autour de l’axe o0 de la surface cylindrique de la porte.
•3i. L’élargissement delà porte -daoite est suivi d’un évasement qui est déterminé par l'angle des deux droites cd, de, ou cd', de- U arrière-voussure couvre l’espace compris entre les deux plans verticaux dd, ce'; la section de cet espace par le plan ries naissances de la porte droite, est le trapèze dd'eé. Soit xx ( fig . a ) la trace horizontale d’nn plan vertical parallèle aux faces XX', Y Y du mur. La première surface de l’arrière-voussure a pour génératrice une ligne droite, dont chaque position est déterminée par ces trois conditions, i” de passer par le cercle vertical de la feuillure, du diamètre dd ; a" d’être coupée par le plan vertical Yec’Y', suivant un arc de cercle (ce , hl/i) {fig- i et a) , dont le. centre est sur la verticale ( a, 3* de passer par l’axe horizontal «0.
3a. L’arrière-voussure et la feuillure ont les mêmes plans de joints que la porte droite; et parce que tous les plans de joints de cette porte passent par l’axe «0, il s’ensuit qu’ils coupent la surface de l’arrière-voussure suivant des lignes droites, qui sent les arêtes de douelle de cette voussure.
Le joint normal à la surface de l’arrière-voussure suivant une arête de douelle, serait ( page a55, art. 1 74* l»v. Il ) un parabolotde; à cause de la petitesse de la voûte, on en simplifie la construction, en prenant pour joints de douelle, les prolongemens des joints de la porte droite.
Des surfaces réglées de V arrière-voussure.
33. Supposons d’abord que l’arc de cercle ( ce, h IA ), qui sert de directrice à la droite génératrice de la première surface de l’arrière-voussure, soit donné.
» Cet arc, quel que soit son rayon, sera coupé par les verticales des plans d ébrasement ( e, th ), ( e, éi ), en deux points; les plans menés par ces points et par J’axe «0 de la porte droite, coupent le cercle de la feuillure dd {fig- 1 )> en deux autres points ( s', s ), (7,7): ces quatre points déterminent la po-
sition et les longueurs des droites extrêmes ( es', hs),{ et], kq)Ac la première surface de l'arrière-voussure; d’où il suit que cette surface couvre seulement l’espace qui correspond à la partie eds’q' ( Jig. i) du trapèze eded'.
Deux autres surfaces réglées, dont les génératrices passent, comme pour la première surface, par le cercle de feuillure tld' ( Jig. t ) et par l’axe 0$ de la porte droite, couvrent les espaces correspondans aux deux triangles eds, e'd q ; elles ont pour directrices des cercles de même rayon, donnés dans les plans d’ébrasement de, d'd {Jig. 1 ). L’un de ces cercles passe par le point d, et a son centre sur la droite de; l’autre pâsse par le point d', et a son centre sur la droite d'd. Le rayon de ces cercles est au moins égal à la moitié de la largeur dti de la feuillure; s’il était plus petit, les venteaux en bois, qui sont
formésdedeux quarts dé cercle du rayon df ou d'f — et qui tournent au-
tour des verticales d, d', ne pourraient pas s'appliquer contre les plans d’ébrasement. Soit J/J' {Jig. 3) le cercle donné dans le plan de l’ébrasement d'd {fig. 1 ). Ayant porté la largeur de {Jig. 1 ) de l'ébrasement, en Je" {Jig. 3 ), la verticale «’/■' détermine l’arc de cercle o;/' de la seconde surface de l’arrièrevoussure, et par conséquent le plan tangent à cette surface au point {e't 'A ) {fig. 1,2), ou k' {Jig. 3 ) du plan de l'ébrasement. Get arc <fl\A' du plan de l'ébrasement étant connu, on en déduit celui de la première surface de l'arrière-voussure, qui est contenu dans le plan vertical Y*Y’, par la condition que les deux surfaces se raccordent suivant la droite {e'q'r, Aqd), qui leur est commune. En effet, ces deux surfaces ont déjà les mêmes plans tangens, aux deux points (r, «’ ), ( q, q) de cette droite; il suffit donc ( page 96, art. 161, liv. Ier), pour qu’elles se raccordent suivant la droite entière, qu’elles aient un plan tangent commun au troisième point ( d. A), ou A' {Jig. 3): or le plan tangent en. ce point A' de la seconde surface, passe par la tangente Am à l’arc J[\k donné dans le plan d’ébrasement de { fig. 1 ), et cette tangente coupe la verticale {d\ Jrn ) au point( d',m ); d’où il suit que Te plan tangent coupe le plan dti {fig. 1 ) du cercle de la feuillure suivant la droite {qd’, qm) {Jig. 1 et a), et par conséquent le plan parallèle YY' { Jig. 1 ) de la fàcedu mur, suivant une parallèle ( Y Y”, Am). La perpendiculaire/» à Am coupant la droite a A en un point » de la verticale («, afS), qui est le centre du cercle de l’arc ( YY', hlA ), le -rayon de cet arc est déterminé.
34. De ces deux arcs il\A' {Jig. 3), h!A{Jig. a ),qui ont un point commun A' {fig- 3 )» le premier détermine le second, et nous n’aVions d’abord supposé ( art. précédent) le second arc connu, que pour faire voir que la première surface de l’arrière-voussure, qui a pour directrice ce second arc MA, ne pouvait pas couvrir tout l’espace correspondant au trapèze dd'ee. Ces deux arcs
3i8 GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
doivent encore satisfaire à une autre condition que celle du raccordement des deux surfaces de l’arrière-voussure. Il faut que ces surfaces ne soient pas rencontrées par les venteaux de la porte, c’est-à-dire par les surfaces de révolution qui ont pour génératrices les quarts de cercle ( d'f, Sqn ), ( df \ 9sn ), tournant autour des verticales ( d',Sm\{d , 9p ).
Dans le cas où, ayant pris le rayon de l’arc il\k‘ ( fig . 3 ) égal à celui du venteau, cette rencontre aurait lieu, on augmenterait le rayon de cet arc, et l'arrière-voussure serait surmontée. Pour s'assurer qu’elle est assez surmontée, on coupe les deux surfaces de l’arrière-voussure, et la surface de révolution qui a pou* génératrice le quart de cercle des venteaux, par des plans verticaux i.a, 3.4 {fig- * ), parallèles aux faces XX’, YY" du mur; et lorsque les lignes d’intersection projetées {/‘g- a ) ne se rencontrent pas, on conclut que les trois surfaces de l’arrière-voussure et la surface de révolution ne se pénètrent pas. Ces lignes d’intersection seraient encore nécessaires, dans le cas où l’on n’exécuterait pas d’une seule pierre chaque voussoir de l’arrièrevoussure.
35. I.e mur qui sert de pieds-droits à l’arrière-voussure de Marseille, se compose de parallélipipèdes en pierre à joints verticaux, posés par assises, de manière que les joints de deux assises consécutives ne coïncident pas. I,a hauteur des pieds-droits d’une porte droite, et la largeur de cette porteront, d’après les règles usitées de l’architecture, dans le rapport des deux droites données a! S, Q<t ( Jig ■ '2 ).
Construction de l'épure. ’
36. Les panneaux de tète étant donnés dans leur véritable grandeur sur le mur vertical XX', on n’a besoin, pour l’application du trait sur la pierre, que du développement des panneaux de joints. Tous ces joints ont pour la porte droite et la feuillure, une partie commune GFEISCD {fig. 4 ); et pour l’arrière-voussure, il fout ajouter ou le système de deux droites Dx, xG, ou le système des trois droites D>, jz, cG, selon que les jilans de joint ne rencontrent que la première surface de l’arrière-voussure, ou qu’ils coupent la seconde surface et l’un des plans d’ébrasement. Dans ce second cas, la droite Dr appartient à la seconde surface de l'arrière-voussure, la droite yz au plan d’ébrasement, et- la droite zG au plan de tète Y'Y'. Dans le premier cas, les deux droites I>>-, yz sc réduisent à une seule Dx, et la droite zG devient zG.
3iq
porte rr“ 4- (F‘g- i et 2, Appendice, pi. 4-)
Biais passé ou corne de vache.
37. La porte qu’on nomme biais passé est une petite voûte destinée à couvrir un passage biais qui est pratiqué dans l’épaisseur d’un mur droit. Le plan des naissances de cette porte coupe les deux plans verticaux des pieds-droits suivant deux horizontales parallèles, et les deux faces verticales du mur droit suivant deux autres horizontales parallèles ; par le centre du parallélogramme oblique formé par ces quatre horizontales, on imagine une droite perpendiculaire aux faces du mur, et on demande «pie tous les plans de joints passent par celle droite, afin que la poussée qui s’exerce perpendiculairement aux joints soit dirigée dans le sens de la longueur du mur. Nous nommons cette droite lace des joints.
38. On (kmne sur les faces du mur deux cercles égaux, qui ont pour diamètres deux des quatre horizontales précédentes, et la surface de la porte doit passer par ces cercles. Le cylindre oblique (/ig. 1 ), dont la génératrice est parallèle aux deux autres horizontales du parallélogramme, satisfait à cet^e condition; mais il sera coupé par les plans de joints suivant des ellipses.
Pour que les arêtes de douellcs soient des droites, on prend {Jig. a ) pour la surface du biais passé, uue surface réglée qui a pour directrices, i°les deux cercles donnés dans les faces verticales du mur; 2" la droito, axe des joints. Chaque plan «le joint coupera les deux cercles en deux points, et la droite qui joindra ces deux points, sera l’arête dedouelle contenue dans ce plan.
3q. Lorsque le mur est trop épais pour quo les voussoirs s'étendent «l’une face «lu mur b l’autre, on les divise par des plans verticaux parallèles à ces faces. Ces plans coupent la surface du biais passé suivant des lignes qu’il faut construire. Dans le cas où œtte surfttce est un «^rliiKlre, les sections sont des cercles. Dans le cas où la surface est réglée, on a vu ( pag. g n, art. 1 53, 1m 1er ) comment ou trouve l’intersection de cette surface par un plan, et la tangente en un point quelconque de cette intersection.
Quelle que soit la surface du biais passé, on développera les plans de joints, en les faisant tourner antour de leur axe «immun, donné sur le plan des naissances de la porte. Ce développement contiendra lee panneaux de joints, nécessaires pour l’applicatioii du trait sur la pierre.
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§ II. DES VOUTES. (PI. Il" I-a-3-4. )
4<>. La construclion des grandes voûtes est soumise à certaines règles, dont on ne peut s’écarter que pour de petites voûtes telles que les portes, dont il a été question dans le paragraphe précédent. Lorsque des voûtes sont destinées à couvrir de grands espaces, on les nomme maltresses voûtes, ou simplement voûtes. L'appareil et l’ordonnance de ces voûtes doivent satisfaire à plusieurs conditions, d’où dépendent la stabilité et l’effet des décorations extérieures. On a déjà vu (art. i5 de cet Appendice) que la coupe des pierres a principalement pour objet la distribution des voûtes en voussoirs , et la division des surfaces de voûtes en doticllcs. Les recherches sur le meilleur mode de division, ont conduit à ces résultats : i° le joint de deux voussoirs consécutifs doit être, pour chaque point de la ligne d’intersection de la surface du joint et de la douelle commune aux deux voussoirs, perpendiculaire à cette douelle, afin que l’angle d’une douelle et du joiifl étant égal pour tous les voussoirs, ces voussoirs résistent également aux pressions qu’ils supportent; ce qui n’aurait pas lieu, si l’angle était obtus pour l’un des vousçoirs, puisqu’il serait nécessairement aigu pour l'autre» a* 11 est nécessaire, par la même raisou, que les surfaces de joints d’un voussoir et de tous ceux qui l’environnent, soient perpendiculaires entre elles. 3° Ces surfaces doivent être engendrées par le mouvement d’une ligne droite, parce quelles sont dans ce cas susceptibles d’une exécution plus parfaite, et qu’une légère incorrection dans un joint, entraîne la rupture de l’un des voussoirs auquel ce joint appartient. 4° U faut que les joints soient formés par des surfaces développables, afin que les panneaux ou développemens de ces surfaces puissent être appliqués sur les faces des voussoirs, et en donner exactement les contours.
Monge a fait voir que toutes ces conditions sont remplies, en divisant la surface d’une voûte en ses lignes de courbure. C’est à ce géomètre qu’on doit la théorie de ces lignes, et leur application à la division des voûtes en voussoirs.
Exposé sommaire des propriétés def lignes de courbure ( extrait du Journal de l’École polytechnique, second cahier, année 179b).
4i • Après avoir conçu par un point quelconque d’une surface courbe une normale à cette surface, si l’on veut passer au point infiniment voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans le même plan que la première, et la ren-
APPENWGE. ' V
contre par conséquent an un point, un. peut toujours Je faire dans deux directions; cesdeitx directions sont a angles droits sur la surface, et elles sont les seules qui donnent ce résultat, si l'on en excepte le cas particulier de la spbàie pour toute lu surface, et de quelques points remarquables pour d'an très, tels que les sbtnniet» des surfaces de râvolutiou.
Les deux points dans lesquels chaque normale est rencontrée par les deux normales inliniment voisines, sont les centres des deux courbures de la surface, dans |e point que l’on considère ; les distances de Ces deux points à celui de fa ..sngfctce, sont les rayons des deux coiuhures;et lus directions rectangulaires dans lesquelles on passe de la normale aux deux normales conpégptivw qui, la coupent, sont les, directions de ces courbures. , , ;
,, $1 l'on conçoit que Je point de la surface se meuve de manière qu'a chaque instant, des directions des deux co arbitres, il suive celle qui est daÿs un premier, sens, et qu’il continue ainsi de se mouvoir autant que- le permettra l'étendue d« la. surface, la courbe qu’il parcourra, sera celle de L’une des courbures. En.onucevant pour chaque . point une courbe parcourue de cette manière, «u aura la suite des lignes de la première courbure, qui diviseront l’aire de la Surface courbe en zones, suivant une première direction. Si l’on conçoit que le point do- la surface, au lieu do suivre dans sou mouvement la direction de la première courbure, suive au contraire constamment celle de la secoude, il parcourra une -courbe de la seconde courbhre, et cettç courbe coupera toutes celles de la première a angles droits. En Concevant pour chaque point, une courbe parcourue de cette seconde maniéré, on aura la suite des lignes de la seconde courbure, qui diviseront faire de la surface eu d’autres zones, suivant une nouvelle direction. Enfin chacune des lignes du fuite de ces deux suites étant perpendiculaire à toutes celles de l'autre suite et réciproquement, il s’ensuit que les deux suites tfe lignes de courbure diviseront l'aire de R» surface courbe en élémens, qui seront tous rectangulaires. Cela peut être rendu sensible sur les surfaces de révolution prises pour exemple.
Sur les surfaces de révolution, on ne peut passçrd’un point a un autre pour lequel tes deux normales soient dans un même plan, a moins qn on ne suive ou fa direction du méridien, ou celle du parallèle qui passe par ce poiut g suivant toute autre direction, les deux normales ne se rencontreraient pas, pnisqu’étant dans des méridiens différent,, elles, ne passeraient pas par le même point de l’axe. I-es méridiens sont donc la suite des lignes d’une des courbures, et -les parallèles la suite de celles de l'autre. Chaque courbe rie l’une de ces suites est perpendiculaire à toutes celles de l’autre, et les deux suites divisent l’aire de la surface en élémens que l’on peut regarder comme rectangulaires.
3a* GÈOMKXtllE DESCRIPTIVE.
Si In normale se meut rie maniereque, sans cesser d'ètre perpendiculaire! la surface, elle parcoure une ligne rie courbure; riens chaque ins nuit de son mouvement, ellese portera sur une ries Jeu* normales infiniment Voisines qui la coupent, et etleeogendrera une surface qui sera développable, qirf sera partout perpendiculaire à la surface courbe, et qui coupera eeHe-ei rie os une rie ses ligues rie courbure. ?.'-•*
Si, pour lernérae point, la normale parcourt la ligne del’autæ emirbure, elle engendrera rie même une seconde surface développable normale. à la surface courbe et q«ii rencontrera la première en ligne droite et à angfes droits. Si Pou conçoit donc mie semblable surface pour ctiacune des ligues de courbure de l une et de l’uutre suite, on aura deux suites rie surfaces développables normales à la surface courbe, -et telles que chacune- de celles d’une des suites rencontrera toutes celles de l’autre siute en.Jignes droites etîi angles droits. Toutes ccs surfaces développables nocmgb» diviseront l’espace en élémens indéfinis dans le sens de la longueur de la normale, fitfitfiracnt étroits dans les sens des deux courbures, et terminés par quatre plans' rectangulaires entre eux, el par quatre arêtes indéfitoiea e» en lignes droites.
* « <, • ■ * i. * 1 . tli\ , ■.«■. ' » •' v • 'V - , . • . ’
De l' mage des lignes de courbure dans la division des voûtes en vous soirs.
• !\i. Kn divisant la surface de la voûte par les lignes des deux courbures ,
espacées entre elle* d’une quantité dépendante de la nature des matériaux, les joints seront formés par les surfaces développables normales à la surface de la voûte Si les joint» sont npparens sur la surface rie là voûte. Ils y traceront de* court*» tontes rectangulaires entre elles, et qni dépendant de. la nature même de fa surface, eti rendront k» génération plqs prononcée. Enfin ces courbe» diviseront fa surface de la voûte en comparbroens < ectanguiarrea, susceptible* d’xme décoration propre à fa surface. - * ■<
C’est ver» cette solution générale que lés artistes s-ét aient toujours dirigés ; ils ne l’avaient atteinte que pour les cas faciles «fa* surfaces cylindrique», des su rfaces conique» et rie colles rie révolution. Quant aux autre» surfaces courbes dont ils ne connaissaient pas les lignes de courbure, il» le» excluaient presque généralement de la compositMM des voûtes, fa*s même que tes circonstances le* exigeaient itrtpértensement; et c’est à cela principalement qu’on doit attrihner le mauvais effet que produisent en général dans farebitectur*, tes morceaux de trait» de coupe îles pierre», parce que pour rendre no »rafa*xécutable, Ott «e choisit pas toujours la surface «le la voûte fa plui convenable.
. ■ , n‘. : ’!r, ..ir: t | ■ '.•itj. • - ’*!■ • .'v.,-, Ir,*.i ! . - „
AÇPEND1CE.
p VOCfe» flEMUfitS EAJk EBE SURFACE ÜJC1QUE. N”' I, 2, '1pp., [il. ') et 6.
.. •: Voûte sphérique. N'1l,^/i.vpl,5. ,
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43. Cette voûte est destinée à couvrir une salle circulaire; elle a pour pieddroit, un mur en tour ronde, terminé intérieurement par un cylindre droit.
La section de ce cylindre par le plan horizontal des naissances de la voûte, est uu cercle, qu’on prend pour-le grand cercle de la surface sphérique de la voûté., LJ 11 plan vertical quelconque, passant par le centre de cette' surface, la coupe suivant un demi-cercle, qu'on divise en parties égales de nombre impair. La figure génératrice de la voûte contenue dans ce plan, ne diffère pas de la section droite de. la porte droite N” i [App., pL i). Elle tourne autour de l'axe vertical du ipur en tour ronde, et il résulté de ce mouvement,
que les arêtes «le ilonelles de la vente sont «les cercles horizontaux ; a° que les joints normaux suivant ces arêtes sont «lt» 'cimes droits qui ont leurs sommets sur l’axe du mur en tour ronde ; 3* que ehaque assise de la voûte’ a pour faces extérieures un cylindre droit vertical, un plan horizontal, et pour arêtes, des circonférences de cercles.
Pour partager les assises de la voûte en voussoirs, on divise le cercle de la naissance de la voûte en parties égales ; les plans menés par les points de divisions et par l’axe vertical du mur en tour ronde, partagent la première assise en voussoirs. tfn second système de plans verticaux menés par le même axe, et qui partage en «leux parties égales les angles des plans du premier système, divise la seconde assise en voussoirs.
Toutes les assises ont leurs joints verticaux dans l’un ou l’autre de ces «leux systèmes de plans, de manière queles joints de deux assises consécutives ue soient pas dans le même plan vfrticâl.
Le cercle générateur de la voûte sphérique ayant été divisé en uir nombre impair de parties égales, l’arc placé au milieu du demi-cercle, engendre la* doueliedu voussoir qu'on nomme la clef de la voûte. *
4 ■ Construction de l’épure. «
44- On prend pour p’Ian horizontal de projection, le plan des naissances de la voûte sphérique. I-a projection horizontale d’un vonssoir de la voûte sphérique, et la figure génératrice «I» ce voussoir, donnée dans un plan vertical, déterminent les dimensions du parallélipipéde rectangle capable de le contenir. L’une des faeçs «le ce parallélipipéde coupe la surface «le la voûte
3a* * GÉOMÉTRIE IXESÇjW PTl A'E.
suivant un cercle, dont on détermine ie centre .et le rtivon. On rapporte ce cercle sur la face, et au moyen i l'une cherche ou panneau décon positivant le grand cercle de la sphère, on exécute 1 'écuelle, ou la surface intérieure du voussoir, $ur laquelle on rapporte le contour de la doueHe tic ce voussoir. Les surfaces coniques, cylindriques, pianos du même voussoir, s’exécutent par les procédés qu'on a déjà indiqués,
... • > • t..%'VoâUi el/ipscfïde. N* ». Çdpp., pi $.)• • • • t * . • t
4 S: La.voùte ellipsoïde est terminée par la surface du second degré, qu'ou a nommée' ellipsoïde (art. 1 34, liv. I,r). L’ellipsoïde a pour axes priheipaux les trois droites rectangulaires Alt, Cl), oiF.K ; en supposant les doux premiers axes AB, CD dans le plan horizontal de l’ellipse ABCD, le troisième axe est vertical. Tout plan passant par ce troisième axe coujte l'ellipsoïde suivant une ellipse qui a pour axes principaux la droite aKE e't tin diamètre de l’ellipse ABCD. ïà surface ellipsoïde a pour lignes de courbure, lies courbes à double, coilrbuiy, dont les projections sur Les plans de scs trois sections principales, sont des Courbes' du second dcgTé. Soit AliCD la section principale, qui passe pitrle pliis grand axeAfi et par le moyen nxcCÔ; CDE la denii-sectioji principale, qui passe par le moyen axe, et par le plus petit axe, double de la droite EK. La première série de lignes de courbure se projette sur Je plan de l’ellipse ABCD,' suivant tin système d’ellipses, dont' les sommets approchent continuellement de deux points O, O’, sans pouvoir les^atteindre.
La seconde série se projette sur le même plan, suivait un système d’hyperboles, dont les sommets ont pour limité# les mêmes points O, O'.
Les verticales élevées par ces points, coupent la surface de l'ellipsoïde en deux points, que Monge a nommés ombilics. '
Les ellipses et les hyperboles, projections dés deux séries de lignes de courbure, se construisent au moyen d’un quart d’ellipse OLG et <Tmie portion OID d’hyperbole, qui oiït même centre K, et^leux axes communs KO, KG.
Construction géométrique des points O et 0.’
46. L’ellipsoïde ayant pour axes principaux les trois droites AB, CD, aEK, et pour centre le point K, soient F,/, f, les foyers respectifs des trois section» principales, construites sur les couples d’axe» ( Alb CD), (CD, aEK ), ( a£’K — *EK, AB ). • • ‘ . -r--
Pour construire le poiut O, on porte Kf et KF snr l'axe CKD prolongé, de K eu f et eu. K-, en tire la droite f 'B, et sa parallèle FIJI qui. Coitpe’lHrsé. AB an
poiut.O. ■ ■/ ■ ■ ■ • j 1 •*’
* ' «” APPENDICE. ' i --' ■■ 3i5
■ Pour construire b point G, on- porte sur RB Lt droite R/' = K/; omuetté la droit»/"!!, et- sa parallèle K),: qui coupe l’aae KD prolongé, au point G; ce-qué détermine las droites rectangulaires KO, KG, distapces des joints O,- G au. centre K de IV.Ilipsoide. «■
Construction d’une ellipse telle qucRyUH ,ou d'une hyperbole RPR , prcçecùon d’une ligne de courbure de l’ellipsoïde.
47. On trace sur les droites KG^ ftO comme axes principaux, l’ellipse OLG, et l'hyperbole, OUI. D’un point quelconljue'H de l’hyperbole, 011 abaisse les perpendrciijaires ITM, FIN sur lës'axës ttcTeflipsoïdê Kl)', KH; les pieds M, N de ces perpendiculaires sont les sommets de l’ellipse NMN\
* D’un point quelconque L de l'ellipse OLG,on abaisse les perpendiculaires LP, LQ sur le» axes de l'ellipsoïde Kli, KJ); les pieds P et de ces perpendiculaires sont les sommets de l’hyperbole aux branches RPR', SP’S'. ' .
Des trois points H, M, N,*ou L, P, (), un étant donné, il fest évident que les deux autres son! connus, tes points tels que M, pourraient être détermihés jtar'là condition qué les lignes de courbure diviseraient l’ellipse CDE en arçs sous-tendant la même cOrdfe. Oh effectuerait (l’abord celte division sur Tellîpse, et oii abaisserait par les points de division des perpendiculaires sur Itixe GD; les pieds de ces perpendiculaires seraient les sommets M, M’,... des ellipses, projections d’un Système de lignes de Courbure. A chaque point M ainsi détermine,' correspondraient deux points II et N, l'un sur l'hyperbole auiifi.lire GUI, et l'antre sur l’axe AD. , • ■
r • De la vmtte ellipsoïde, surmontée et surbaissée.
■ - 48. Les trois axes principaux de la surface de la voûte ellipsoïde, étant Inégaux, l’axe vertical peut être ou plus grand ou plys petit que les deux autres.- dam -lé premier cas, la voûte est surmontée ; 'Atns le second, elle est surbaissée. . '• - • - . .
. La voûte- surmontée ( Mémoire cité de Monge , page aÿ8 ) attrait en général plus de hardiesse et de dignité, et*t la naissance était eUe-méiûe à une grande hauteur, quelle que fût d’ailleurs la destination de L’emplacement, ce serait la voûte surmontée qu’il fendrait employer, parce, que Sa grande élévation, qtii ferait paraître ses dimensions verticales plu» petites qu’elles ne seraient réellement, écraserait trop uue voûte qui serait d’une autre espèce. La voûte surbaissée, en diminuant le volume de l’air compris dans 1’emplece-, ment, serait plus favorable à la voix d’un orateur. Si L’emplacement devait être éclairé par deux lustres suspendus à la voûte, il faudrait que cette voûté
3a6 GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
fut surmontée ou surbaissée, parce que dan» ces deux cas, sa surface aurait deux ombUks , placés symétriquement au-dessus du grand axe de l'ellipse horizontale, et que ces ombilics, rendu» trés-apparens par las compartimens qui se distribueraient autour d'eux, seraient les points naturels de suspension ; alors on pourrait disposer du rapport entre les trois aies, pour que ces points fussent espacés d'une manière convenables
Des amphithéâtres.
4g. Les emplacement dont on a pu disposer pour les salles (les assemblées délibérantes, ont souveut forcé de donner à l'amphithéâtre moins de profurv denr en face tle l'orateur que sur les côtés; mais l’expérience ayant prouvé que la voix se porte à une plus grande distance eu face, il parait que c'est nue disposition toute contraire qu’on devait adopter. Dé toutes les formes qu’on pourrait donner à l’amphithéâtre, il n'y en a aucune dont la loi soit plus simple et plus gracieuse que l’ellipse; il faudrait donc que hi salle fût elliptique, et qu’elle fut couverte par une voûte. En plaçant le bureau à l'un des sommets de l’ellipse, ou pourrait lui conserver un espace snfïtsant pour la commodité du service, et l’orateur se trouverait naturellement placé sous un des ombilics de la voûte; l’amphithéâtre n’occuperait que ta partie qui serait en avant. Une galerie qui ferait le tour entier de la salle, et qui serait assez i>levée pour être très-distincte de l’amphithéâtre, fournirait des places au public. La salle, qui n’aurait ni tribune ni aucune espèce d’irrégularité, pourrait éjre décorée par des colonnes, à chacune desquelles correspondrait une nervure de ht voûte, pliée suivant la ligne de courbure a-cendante. Toutes ces nervures, verticales â leur naissance, se courberaient autour de l’un ou l'atitrevambilic, 'redescendraient ensuite à plomb sur les colonnes opposées, et elles seraient croisées perpendiculairement par d'autres nervures pliées suivant le» lignes de l’antre courbure. Les intervalles de ces nervures pourraient être à jour, soit pour éclairer la salle, soit pour donner des issues à l’air, et formeraient un vitrage moins fantastique que les roses de nos églises gothiques. Enfin deux lustres suspendus aux ombilics de k voûte, «t à la suspension desquels la voûte entière semblerait concourir, serviraient » éclairer la salle pendant la nuit/ .
Nous n'entrerons pas ( continue Monge) dans de plus grands détails à cet égard; il nous suffit d’avoir indiqué aux artistes un objet simple, et dont la décoration, quoique très-riche, pourrait n’avoir rien d’arbitraire, puisqu'elle consisterait principalement à dévoiler â tous les yeux my» ordonnance irèsgracieuse, qui est dans la nature inéma de cet objet. - .
V »T7 rs TIMI1ÙI PA* DOIT SUXFACIS qui if. ptaVranr. > •
N“3et4(>//yi.,pL7*«).
... . Voûte d'arête barlorigue. N° 3. (4pp., pL 7.) .
5a. Les voûtes N* f êt ai f 4pp., pl. 5 et (*) sont terminées chacune par une surface unique. I.es voits^irs des voûtes rï" 3 et 4, appartiennent à deux voûtes qui m' rachètent , ou dont les surfaces se pénètrent. Chacun de ces voussoirs a deux dou elles, quatre. arêtes de douelfes, et quatre, joints normaux suivant ces arêtes.
-«* . • iV* • . . ,
Les grandes voûtes qui se rachètent ont mêmes naissantes et sout égales en'numVéè, c’est-à-dire "qu'elles ont leurs naissâncés dans le même plan horizontal, et même plan tangp«t ail point le plus élevé de la ligne d’intersection des surfaces qui les terminent. Les quatre arêtes de douelles d’un voussoir des voûtes N “.3 et 2} , sont situées deux à deux dans un même plan liorizontal.
nè/initiorl des voûtes d'arête barlongue, et en arc de cloître. N“3. (4pp., pl. 7).
5t . Ces voûtes sont destinées à couvrir l’espace, renfermé entre quatre plans verticaux parallèle* deux à deux. La section de ces quatre plans par un plan horizontal est un parallélogramme; selon que ce parallélogramme est rectangle ou oblique, la voûte est droite ou biaise. Les plans verticaux qui passent par les eûtes de ce parallelograxpme, ou sculemeut par les prolongemens de ces cotés, terminent les mura qui servent de pieds-droits à la voûte; dans le cas où ils passent seulement par les prolongemens, les murs font entre eux un angle saillant dans l’intérieur de l’espace voûté, et ne s'étendent pas audelà dos verticales, intersections des quatre plans verticaux des pieds-droits. La voûte d’arête se nomme, dans ce cas, barlongue. Lorsque les laces verticales des pieds-droits sont de inétue longueur que les eûtes du parallélogramme pon prolongés, la voûte prend le nom d’arc de cloître. «
Les murs des pieds-droits d'un arc de cloître font entre eux un angle rentrant vers l’intérieur de l'espace voûté. 1-a voûte d’aréte barlongue couvre l’espace vers lequel viennent aboutir quatre berfteaux cylindriques, qui sont deux à deux les prolongemens l’un de l’autre. Il n’y a que les quatre premiers voussoirs de cette voûte, placés aux angles saillans des pieds-droits, qui posent surccs pieds-droits; toute la première assise de l’arc de cloître a sa naissance sur les pieds-droits de cet arc. . •
Pour l’une et l’autre voûte N" 3, la section des pieds-droits par le plan ho-
3a8' GÉOMÉTRIE DKSGRlPTIVb.
rizoïital des naissances, est un parallélogramme rectangle, dont les côtés appartiennent aux deux surfaces CTtindnques de ces voûtes, famine Je ces surfaces a pour base un cefele/et on détermine la base de l’autre surface, par la condition qu'elles aient poHr lignes d'intersection, tles deux -cotirbes planes qu’on obtieat'en coupant la première surface jrar deux pfans*verticaûx, dont le^ traces horizontales sont les diagonales du pac^lléfogjraroine rectangle (page 1 1 8, art. apa, liy. lrr). Ces courbp* forment Tarçtè de là voûte, ou rintersection des deux surfaces cylindriquft , lesquelles .font yn angle saillant surfa voutç but-longue, et un angle rentrant sur Lare de clqître. - La base delà première surface cylindrique étant un cercle, l'arête se compose de deux ellipses égales qui ont pour axe commun vertical, une droite égale au rayon de ce cercle, et pour axes horizontaux, les diagonalés du parallélogramme des pieds-droits. La seconde surface cylindrique dç l'arc de cloître ést surhaussée ou surbaissée, selon que la première,, qui a pour hase un cercle, passe par les plus petits ou par les plus grands cotés du même parallélogramme; le même effet a lieu pour la voûte d’arête barlongue, en supposant les surfaces cylindriques prolongées.
Construction de l’épure. , .
5a; On considère d’abord le berceau terminé par la Mtrfiièe cyhndeiqne k base circulaire. La sectiôn droite de ce berceau ne diffère pas de celle de lu porte droite .N" i Apo.f pl. i ; cette section contient les panneaux de tète dos voussoirs du premier berceau, etdéteriqine pour chaque voussoir fa doueile . et les joints normaux. Lee arêtes «le doueile# des doux beroeatix étant. peur chaque vouasoir dans le même plan horizontal, et se rencontrant en un point de la (igné d'intersection des surfaces des deux berceaux, les arêtes de douches du second berceau «t les joints normaux suivant ces » relas sont déterminés. * .\ -a. .y, • : '
' Chaque vouaaprr de la «voûte a une doueile qui appartient ait premier berceau, et deux joints normaux adjacens à cette doueile ; ou déduit de fa projection horizontale, et de la section droite du berceau à base circulaire, le développement de cette doueile et des deux joints. Ce. développement et les deux panneaux de tête de cbfcque voussoir, donnent tont ce qui est nécessaire pour l’application du trait sue la pierre, et pour fa construction du vouasoir entier. <;>■■►» y .*■
le plan de l’épure H® 3, jtpp., pl. .7, est divisé en deux parties égales, relatives l’une à la voûte d’arête barlongtic, et l’autre à Tant’ de ciokre.
Foûte d'aréle en tour ronde. N" 4, -4 PP- pl. 8. .
53. La voûte d'aréte en tour ronde, se compose de voussoirs, qui appartiennent en même temps n deux voûtes, terminées l’une par une surface annulaire, et l’autre par une surface conoide. {y oyez la déüuition de ces surfaces, art. 118 ert i5a, liv. 1er.)
La voûte annulaire s’emploie pour couvrir l'espace renfermé entre deux cylindres verticaux qui ont pour sections droites, des cercles concentriques. L’aire comprise entre ces cercles est la projection horizontale de l’espace qui est couvert par la voûte. On se sert delà voûte conoide pour couvrir l’espace compris dans l'arfgle de deux plans verticaux.
La voûte annulaire a pour pieds-droits deux murs en tour ronde concentriques. La section méridienne de cette voûte ne diffère pas de la section de la porte droite N* I , -4pp., pl. i ; elle se construit comme la voûte sphérique N" i , -4pp., pl. 5. Qu’on imagine par l’axe vertical des pieds-droits, lieux plans qui coupent ces pieds-droits, et entre lesquels se fait le passage de l’intérieur à l’extérieur de la voûte annulaire. On couvre ce passage par une voûte conoide. La surface de cette voûte est engendrée par une droite horizontale, qui passe constamment par l’axe vertical des murs èii tour ronde, èt par une courbe donnée sur l'une des faces cylindriques du mur du plus grand diamètre.
Ayant pris pour cette courbe, celle dont la transformée est sur le développement du cylindre qui la contient, une ellipse dont l’axe vertical est égal au rayon du cercle générateur de la. surface annulaire, les surfaces des deux voûtes sont égales en montée. Le second axe de l’ellipse est égal en longueur à un arc iju cercle, base du cylindre sur lequel on enveloppe l’ellipse. Les plans verticaux des pieds-droits de la voûte conoide coupent cet àrc en lieux points, et en déterminent la longueur.
Construction de l’épure.
54. Les deux surfaces annulaire et conoide étant définies, et connaissant eurs paramètres, on construit la projection horizontale de leur ligne d’intersection, qui est une courbe à double courbure. Les arêtes de douelles circulaires de la voûte annulaire coupent l’arête de la voûte en des points, par lesquels on mène lçs arêtes de douelles rectilignes de la voûte conoide. Les joints normaux suivant ces arêtes sont des cônes droits pour la première Voûte, et des paraboloïdcs pour la seconde. On a vu (art. 15a, lir. Ier) com-
33o GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
ment on détermine les plans tangens , et les normales au eonoïde qui (orme nt le paraboloïde normal.
Chaque voussoir commun au* deux voûtes est compris, i” entre deux plans verticaux passant par l’axe du conoide et de la surface annulaire ; a* entre deux surfaces cylindriques verticales concentriques aux pieds-droits. On développe ces deux surfaces, et on trace sur ce développement les lignes d’intersection de ces surfaces par la douclle conoide, par les joints de cette douelle et par les faces adjacentes, en sorte qu’on puisse donner au voussoir la forme qu’il aurait, s’il n’appartenait qu'à la voûte conoide. Les faces de ce voussoir étant exécutées, on v rapporte par points, et par la méthode indiquée (art. 7 - > 4) de cet Appendice (page Ho 1 ), les arêtes, intersections des deux doueHes et des quatre joints normaux, ce qui déterminera le contour des faces appartenant à la voûte annulaire."
§ 111. Bli BESCEKTÏS. (Jpp-, pl. 9, JO, 1 l, I*.)
45. Les descentes sout de petites voûtes cylindriques, destinées à couvrir uu terrain eu pente, tel qu’une rampe d’escalier, un abat-jour de cave ou souterrain, etc. La jurface des naissances d’une descente est parallèle à la surface du terrain couvert par cette descente. Il y a beaucoup d’analogie entre les portes et les descentes; terminées les. unes et les autres par des surfaces cylindriques, elles diffèrent seulement entre, elles par l’inclinaison des droites génératrices de ces surfaces : ces droites sont horizontales sur les portes,, et inclinées à l'horizon sur les descentes. Ou pratique des descentes dans l’épaisseur de murs, ou droits ou en talus : un plan vertical, perpendiculaire à la face antérieure du mur, qui sert de pied-droit à la descente, est parallèle ou incliné par rapport à la droite génératrice du cylindre de cette descente: la surface de la descente est comprise entre les deux laces apposées d’un mur, où, après avoir traversé ce mur, elle est rencontrée par un berceau. Ces diverses circonstances font varier les formes des descentes, et on distingue ces voûteÿ, comme les portes, par les noms de descente droite, descente droite et biaise, descente rachetant un berceau, descente en tour ronde , etc. ' ,
Descente droite, en talus, rachetant un berceau. N” !, .1pp., }>l. 9.
Descente biaise, rachetant un berceau. H“ a et a bis, App., pt. io et 1 1,
Définitions.
56. La descente N* r, App., pi. 9, est construite dans l’épaisseur d’un mur terminé d’un côté par un plan vertical ou en talus, et de l’autre par un berceau cylindrique-qui a ce mur pour pied-droit. Kl le est destinée à couvrir le passage qui «induit au berceau souterrain ; k largeur de ce passage est déterminée par la distance de deux plans verticaux, perpendiculaires à la face antérieure 'du mur, et à la droite génératrice du berceau racheté par la descente.
Le plan des naissances du berceau est horizontal; le plan des naissances de la voûte, qu’on nomme plan des coussinets, est incliné : ce second plan passe par l’horizontale du berceau, intersection du premier plan, et de la face*verticalc du mur, tangente à la surface du berceau; Sa pente est égale à celle du chemin qui conduit an berceau.
Construction des épines. (App., jü/. 9 et 10.)
57. On prend pour plans de projection, t"le plan horizontal des naissances du berceau raeheté; a* le plan vertical parallèle aux droites du cylindre oblique des descentes N" 1 et a, App., pl, 9 et 10, et perpendiculaire auxdroites du berceau cylindrique, racheté par la descente.
I.a section de là descente N”'i, pl. 9, par la face du mur en dehors du berceau, ne diffère pas de la section de la porte N’ l,App., pl. t. Cette ligure détermine les arêtes de doucllos de la descente, et parce que cette descente est unfe petite voûte, les joints ne sont pas nécessairement normaux au cylfhdre oblique qui la termine; ils passent tous par l’axe de ce cylindre.
En regardant la section de la descente par la face extérieure du mur, comme la base d'une surface cylindrique unique, on pourrait construire l’intersection de cette surface par la surface cylindrique du berceau, ou coupant les deux surfaces par une suite de plans parallèles à leurs génératrices, ainsi qu’on l’a expliqué ( art. 175, liv. I”). On a préféré, dans ce cas particulier, les couper par une suite de plans verticaux parallèles aux droites de la première surface; ce qui simplifie cette seconde construction, c’est que les sections planes et parallèles du berceau sont égales.
On déduit des projections horizontale et verticale, l'arc droit- ou la section droite de k <(esecute, les dévcloppemens des panneaux de douelles et de joints,
33a GEOMETRIE DESCRIPTIVE.
et l’application du trait sut la pierre se fait comme pour les portes N“ i et 2,- ,4pp., pl. I et à. .
58. Le plau des coussinets de la descente N" t, 4pp., pl. 9, -est coupe par la face du mur en dehors du berceau, suivant une droite horizontale ; on prend la portion de cette droite qui est comprise entre les deux plans verticaux des pieds :droits de. la descente, pour le diamètre du cercle, base du cylindre oblique qui termine la descente ; ce diamètre, deux perpendiculaires à ce diamètre, menées par ses extrémités, et l’Iiori/.ontalc, intersection île la surface du berceau par le pian des coussinets, forment sur ce plan un parallélogramme rectangle. Si ce parallélogramme était obliqifc, les autres données restant les mêmes, la descente' serait biaise, rachetant un berceau , On a traité
•ce second cas dans les deux épures suivantes, N“a et 2 bis, 4pp., pl. lotit 1 1.
59. La projection verticale sur un plan parallèle aux droites du oyliml re de la descente, peut sc. faire de deux manières; elle ‘est ou orthogonale ou oblique. L'épure N" a bis est construite par. le second mode.de projectioüvque j’ai expliqué ( ai t. 217, liv. I" ). Les développemens de l’arc droit et des panneaux, ne diffèrent pas pour les mêmes données, de ceux qu’on trouve fi” 1, 4pp., pl. y, par la projection orthogonale.
Descente biaise, en tour rqnde. rachetant un berceau annulaire.
N* 3, 4pp.,’\A. 12.
* Défini lion. - **.*.' *’
60. Cette descentc'est construite dans l’épaisseur d’un mur, terminé d’un côté par une surface cylindrique verticale, de l’autre par pne surface annulaire. Elle est destinée, k couvrir le passage qui conduit à ni» berceau angulaire souterrain. La largeur de ce- passage est donnée; il est compris entre deux plans verticaux P et P', qui coupent les surfaces cylindriques, extérieure et intérieure du mur en- tour- ronde, suivant quatre droites verticales, et k surface annulaire suivant deux courbes. Ce$ deux courbes sont égales, lorsque la descente est droite, et inégales, lorsqu'elle est biaise. Les plans verticaux P et P' terminent les pieds-droits de la descente.
On prend, comme précédemment, pour l’un des plans de projection, un plan vertical parallèle k l’un des plans P, P’, etqrour l’autre plan de projection, le plan horizontal des naissances du berceau annulaire.
De la surface cylindrique de la descente.
Gi . I,a droite génératrice de cette surface est parallèle aux, plans P et P- des pieds-droits de la descente; son inclinaison par rapport au plan horizontal
étant donnée, la surface cylindrique de la descente sera déterminée, lorsqu'on aura la base de cette surface. On prend pour cette base un demi-cercle qui est enveloppé sur la face extérieure du mur en tour ronde, dont la section horizontale est un cercle donné. I .es' deux plans P et P coupent ce dernier cercle en deiix points; ort rectifie l’arc compris entre ces deux pôintsret on décrit sur la droite de même longueur que l’arc, le demi-cercle qui forme sur le cylindre vertical du mur en tour ronde, la base de la surface cylindrique de la descente. La coupe de la descente par ce cylindre vertical étant développée, elle ne diffère pas de la section droite des portes N“ i et a, App., pl. i et a : cette coupe étant donnée, on l’énvèloppe sur la face extérieure du mur en tour ronde; toutes les droites de son contour, en exceptant les verticales, deviennent des cercles- ou des hélices. Considérant ces lignes comine des ltases de surfaces cylindriques, qui ont pour arêtes des parallèles à la génératrice de la surface de la descente, les têtes des voussoirs île cette descente et toutes les surfaces de douelles et de joints sont déterminées.
Les douelles et les joints ont pour contours sur la face extérieure du mur en tour ronde, ‘des lignes dont les transformées sont des arcs de cercle, cl des lignés droites. La surface des coussinets, formée de droites parallèles à la génératrice de la surface de la descente, fiasse par l’arc de cercle de la face du mur en tour ronde, qu’on a rectifié' pour tracer la coupe verticale et cylindrique de ladescente ; d’où il suit que la figure des voussoirs ne dépend plus que de la position qu’on assigne à cette coupe sur la face extérieure du mur en tour ronde, entre les deux plans verticaux qui la comprennent, et qui sont parallèles aux plans P et P". On a déterminé cette position snr l’épure descente N- 3, App., pl, ta, par la considération que la descente et tous ses voussoirs soient au-dessus du plan horizontal des naissances du bercean annulaire. Pour satisfaire à cette condition, la droite qui termine le lit du voussoir le plus éloigné de Taxe du berceau racheté, et qui appartient à la surface des coussinets; passe par un point du cercle de la surface annulaire, situé dans le. plan des naissances du berceau; on mène par ce point une parallèle à la génératrice de la surface cylindrique de la descente; elle coupe la face extérieure en tour ronde, au point dn cercle horizontal de cette face, sur lequol le diamètre de la coupe cylindrique développée, doit s’envelopper. La hauteur de ce point et la coupe cylindrique de la descente étant Connues, on construit en projection verticale l’intersection des sur faces cylindriques qui ont pour bases les lignes de cette coupe, par la surface annulaire. En appliquant la méthode générale qu’on a exposée (art. irjfi, liv. Ier), on trouve chaque point de cette intersection, par la rencontre d’une droite, et d'une courbe de la surface annulaire.
Construction de l'épure et application du trait sur la pierre.
6a. Ayant déduit des projections horizontale et verticale, l’arc droit de la descente, et les développemens des panneaux de douelles et do joints, chaque voussoir de la descente s’exécute par les procédés indiqués pour les portes.
Les joints des voussoirs de la descente en tour ronde, sont des cylindre^ qui ont pour bases des hélices : s’ils étaient plans et normaux aux douelles, en des points déterminés de chaque arête de douelle,le développement de la coupe cylindrique verticale de la descente, serait modifié; les droites, transformées des hélices, deviendraient des transformées d’ellipses.
$ IV. bes trompes. ( PI. n“ i-a-3-’4,) *-
63. Les portes, les voûtes, les descentes entrent comme, élémens nécessaires dans la composition de monumens et édifices qui satisfont à toutes les conditions de régularité et de symétrie; il n’en est pas de même des voûtes qji’on appelle trompes, et qu’on n’emploie le plus souvent que po.ur remédier aux inconvéuiens qui proviennent de l’irrégularité du terrain sur lequel on construit, ou pour étendre certaines parties d'édifices dans les étages supérieurs, ou pour changer dans ces étages quelques distributions intérieures. Cependant de petites trompes peuvent servir à couvrir des enfoncement réguliers, qu’on pratique dans l’épaisseur des murs, pour, recevoir des vases, des statues ou d’antres objets de décoration ; celles-là diffèrent des trompes destinées à soutenir des saillies, qui sont des hort-d'œuvrçs, que le bon goût en architecture exclut, et qu’on n’admet que lorsqu’on y est forcé par quelques circonstances.
Les trompes sont de petites voûtes terminées par des surfaaes coniques. . Étant destinées à soutenir des murs en saillie, elles supportent de grandes pressions, et par cette raison on les divise çn voussoirs comme les grandes voûtes, par des plans normaux à leurs, surfaces. Ces voussoirs ont pour arêtes de douelles, des droites qui concourent vers les sommets des cônes. On a aussi donné le nom de trompes à des voûtes terminées par des surfaces sphériques, cylindriques et autres; parce qu’elles sont appareillées comme les trompes, de manière que les courbes, arêtes dp douelles, partent d’un point apparent de la naissance de la voûte. La partie de la voûte voisine de ce point est formée d'une seule pierre, qu'on nomme trompillon.- Connaissant le cintre
de ce trompillon, la surface réglée normale qui passe par ce cintre, est déterminée; les voussdtrs de la trompe sont compris entre le cintre extérieur de cette trompe, et le joint normal du trompillon.
Trompe dans lanf’le, biaise, en talus. N° r, App., pi. i3.
Définition.
* 64- Soit AE.A'E' la section horizontale d’un mur de bâtiment prolongé dans les deux sens BA et DE, et interrompu sur la longueur BD, base du triangle BCD. L’espace en coin qui se projette horizontalement suivant te triangle, doit rester libre sur une hauteur donnée, à partir du niveau supérieur du terrain; on satisfait à cette condition, en changeant les directions des faces verticales et parallèles du mur principal; la section horizontale de ce mur devient alors ABCDE.A B'C'D’E'. Cependant le bâtiment a, dans les étages supérieurs, la forme qu’il aurait, si le mur n’était pas interrompu; il s’ensuit qu’une j>ar’tie de ce bâtiment est en saillie par rapport aux murs BC.B'C', CD.C'D', et pour la soutenir, on élève sur ces murs, comme pieds-droits; une voûte dont le plan des naissances est horizontal. Ce plan coupe les faces verticales BC, CD des pieds-droits et la lace du mur principal suivant le triangle ECD. On prendpour la surface de la voûte, un cône droit dont le sommet est' en C, et qui a pour côtés les droites CB, CD. La face ABDE du mur principal coupe ce cône suivant une ellipse. Ayant divisé cette ellipse en arcs dont les cordes sont égales, et le nombre de ces arcs étant égal à cgjui des voussoirs, on conçoit P*r le* points de divisions et par l’axe du cône un premier système de plans normaux. Une section circulaire du cône est aussi divisée en autant de parties égales qu’il y a de voussoirs, et un second système de ptans normaux au cône passe par ces nouvelles divisions; lés plans normaux qui divisent en deux parties égales les angles dièdres formés par les plans des deux premiers systèmes de même rang, comprennent les joints des voussoirs.
Lorsque la face AE du mur principal est en talus, otl dit que la trompe est en talus ; elle est de plus biaise, lorsque les arétesrfle douelles BC, CD du plan des naissances ne sont pas de même longueur. XY étant la trace horizontale d’un plan vertical, perpendiculaire à la droite AE, l’angle AXZ sur ce plan mesure le talus du mûi* principal.
Lè cintre du trompillon est parallèle au plan qui a pour traces horizontale et verticale, les droites ERX, XZ. Le joint du trompillon est une surface réglée dont làdroile génératrice, normale au cône de la trompe, passe par une ellipse semblable â êellc qui forme le cititrè apparent de cette trompe.
La surface conique de la trompe étant seulement assujétic à passer par les droites CR, CD, il y a une iufmité de surfaces qui satisfont ji cette condition. Les auteurs des anciens traités de coupe de pierres ont varié sur le choix de celte surface. L’idée très-simple d’employer le cône droit à base circulaire, est de M. Girard; alors la surface réglée, joint du trompillon, est engendrée par une droite qui a pour directrice l’axe du cône droit de la trompe.
. . De la construction de l' épure.
65. On prend pour pjans de projection, le plan horizontal des naissances. de la trompe, et le plan vertical XV perpendiculaire aux faces du mur principal. On déduit de ces deux projections, tout ce qui'ost nécessaire pour .l’application du trait surja pierre. Cette application se jait pour le trompillon, par la méthode d’équarrissement, 'et pour ies voussoirs de la trompe, parla méthode des beveaux. C'est pourquoi il faut, i” construire l’intersection de la surface de joint du trompillon par les faces du parallélipipède rectangle capable de ce ■trompillon; 2° résoudre pour chaque voussoir les deux pyramides triangulaires (page 1 37, art. 8, liv. II), formées chacune par les plans du cintre de la trompe, de l’un des deux joints, et par un troisième plan mené par les deux arêtes de douelles, plan qui contient la douelle plate. ( La douelle plate est le quadrilatère formé par les deux arêtes de la douelle d’un voussoir et par les droites qui joignent les extrémités de ces arêtes.)
Les deux pyramides ont leurs sommets sur le cintre, aux extrémités des arêtes de douelles; elles ont pour arête commune, la corde dit cintre qui joint ces extrémités. Chaque joint contient deux autres arêtes des pyramides, dont l’une est aussi arête de douelle; l’autre est la droite intersection du plan de joint et du plan de tête qui contient le cintre; Ayant contruit les angles que les trois arêtes de chaque pyramide font entre elles, on détermine les angles dièdres ou beveaux, par la méthode exposée ( page 139, art. t a).
Trompe, sur le coin. N° i^App., pl. il\, .
Définition. .... , ^
66. Soient AF.AT’, FE.F’E' les sections horizontales de deux murs d’un bâtiment, qui se rencontreraient à angle droit, s’ils étaient prolongés jusqu’au plan vertical FF', mais qui sont interrompus sur les longueurs RF, DF, côtés du carré BCDF. L’espace qui se projette horizontalement suivant ce carré, doit l'ester libre sur une hauteur donnée, à partir du niveau supérieur du terrain.
Il est nécessaire, pouf satisfaire à cette condition, d’infléebir le? murs principaux suivant les côtés BC, DC du carré BCDF; ep sortç que la section horizontale des murs du bâtiment devient ABCDE.A'B'C'DE’. Cependant le bâtiment doit donser ver dans les étalés supérieurs la forme qu’il attrait, si les murs principaux AB.A'B', DED'E' n’él aient pas interrompus; il s'ensuit que ht partie supérieure du bâtiment, correspondant au carré BCDF, sera en saillie sur les quatre murs terminés par les plans verticaux AB, BC, CD, DE > c’est pour la soutenir qu’on élève sur ces murs, comme pieds-droits, une voûte co-> nique. Le plan horizontal des naissances de cette voûte, coupe les faces extérieures des murs suivant le carré BCDF, dont les côtés CB, CD sont les arêtes de doucHès des premiers voussoirs de la trompe dite sur le coin. Ayant pris pour la surface de cette trompe le cône droit dont le sommet est en C, et dont le côté CB ou CD faitavec l’axe CF l’angle DGF o:t FCD de 4 V, le cintre extérieur de’ la trompe est formé des deux sections du -cône par les plans verticaux BF, FD;ct parce que ces plans sont parallèles anx plans tangetis du cône incués par les. droites CB, C.D, il s’ensuit (art. Si , liv. I*r, page 48 ) que le cintre est formé de deux paraboles Gmb, C ml, comprises entre les deux droites rectangulaires F d, FG, et Yb, FG, respectivement égalés atix droites ED et FIL ‘
Cette trompe a, comme là première, un trompillon d'une seule pierre, dont le cintre est formé des portions des mêmes paraboles CTrnb, G rul, qni ont pour projections, horizontales les droites é/i tlf, respectivement parallèles aux droites BF, DF.
Les joints, qui. divisent la trompe sur le coin en voussoirs, Sont aussi, comme. pour la précédente n® 1, dans des plans qu’on déterminé, en égalisant autant tpie possible les épaisseurs des voussoirs; et les cordes des douelles de . ces voussoirs sur le cintre apparent. •
Construction de l’épure.
67- °A prend pour plans de projection, i° le plan des naissances de la trompe pour plan horizontal; a” les plans verticaux BF et FD, qu’on t^mène dans le plan vertical HSH’ perpendiculaire à l’axe CF, en les faisant tourner autotir de la verticale F, ou FG.
On déduit de ces deux projections, t * les angles dièdres des douelles plates et du cintre; a* les dévélôppemens des douelles plates.
On remarquera que la douelle plate de la clef est un quadrilatère, divisé en deux triangles isocèles par l’horizontale ni ri, qui joint les extrémités des arêtes de douelles passant par les points rn et n des deux paraboles du cintre.
Le plan de cette douelle plate coupe la' verticale FG au poiift g, qu’on détermine en menant la parallèle CL à m'ri, et en portant la droite' FL dirigée suivant FD en Fi; la droite in prolongée’ coupe la verticale FG au point g; ce qui donne les côtés égaux gm, gn du petit triangle isocèle de la douelle plate de la clefc ? ,
L’application du trait sur la pierre, tant pour ce trompillon que pour les voussoirs de la trompe, se fait par les procédés indiqués dans la notice sur la trompe précédente N’ i> App., pl. 1 3.
Trompe cylindrique. N* 3, App., pl. 1 5.
DtlinUioo.
68. Cette trompe est destinée à soutenir un mur en tour ronde, en saillie sur un mur droit On voit, rue Garancière, église Saint-Sulpice de Paris, une trompe de cette espèce, qqi soutient une chaj>ellc circulaire. La section du mur droit par le plan horizontal des naissances de la trompe, est terminée par deux droites parallèles AB, CD. Le même plan couperait la face extérieure du mur en tour ronde prolongée, suivant le cercle du centre E et du rayon £F; U contient Taxe GH de la surface cylindrique de la trompe. Cette surface est un cylindre droit, qui«a pour axe la droite GH parallèle à CD; un plan vertical A CG la coiipe suivant un cercle du centre G et du rayon GC.
Le cintre apparent de la trompe est une courbe à double courbure, iutersectionde deux cylindres droits, l’un horizontal, qui termine la trompe, l'autre vertical, qui termine le mur en tour roude. Cette courbe a pour projection horizontale, Tare de cercle IFK du rayon EF. Les plans de joints qui divisent la trompe en voussoirs passent par la droite EF perpendiculaire sur le milieu de la corde IK de l’arc IFK, et divisent le demi-cercle vertical du diamètre 1K, en un nombre impair d'arcs égaux.
Le trompillon a pour cintre la ligne d'intersection du cylindre droit horizontal de la trompe et du cylindre droit vertical, dont la section horizontale ijk est concentrique à l’arc IFK. Lojoint du trompillon est une surface réglée normale à sa douelle; les faces adjacentes sont planes. La projection horizontale du trompillon est comprise entre les droites il, km, parallèles à la droite ÉF; il a pour section par le plan vertical AB, le rectangle Imno.
• Construction de T épure.
69. Ayant pris pour plan horizontal, celui des naissances de la trompe cylin-
drique, et pour plau vertical la face verticale AB du mur droit, on y projette, 1* les cintres de la trompe et du trompillon; a° les arêtes de douelles de la trompe. . .
On déduit de ces deux projections, i* les intersections du joint du trompillon,-par les faces horizontales et verticales de ce trompillon; a0 le développement des douelles dcsvoussoirsde la trompe; 3° le développement des joints plans de ces votissoirs, en observant que chacun de ces plans coupe le cylindre droit vertical du mur en tour ronde, le cylindre droit horizontal de la trompe, et la surface réglée du joint du trompillon : ce qui donne trois courbes planes, pour le Contour d’un joint; les autres lignes de ce contour sont trois’ droites qui appartiennent, respectivement à la face horizontale no du trompillon, à la face verticale AB du mur droit, et à la face verticale du parement de chaque voussoir.
N' 4- Trompe sphérique, en nic/ie.
• D finition.
70. Cettre trompe couvre un espace circulaire, pris dans l’épaisseur d’un mur en tour ronde. Le plan horizontal des naissances de cette trompe coupe les faces extérieure et intérieure du mur en tour ronde, dont le centre est en O, suivant les cereles concentriques ABC, A B C', et la surface sphérique de la trompe suivant le grand cercle FEG du rayon DE; d’où il suit mie la section horizontale de la niche est comprise entre les deux arcs de ccrcres FEG, FB'G, qui se ooupent aux points F. "et G. On mèuc la droite FG, qui joint ces deux points, et on décrit sur cette droite, comme diamètre, un demi-cercle vertical qu’on divise en un nombre impair de parties égales : les plans menés par les points de division et par la droite BDO, qui joint les centres O et D des arcs FB’G, FEG, divisent la trompe en voussoirs.
Le cintre extérieur de la trompe est une courbe à double courbure, intersection de la portion du cylindre droit vertical, qui passe par l’arc FB'G, et de la sphère du rayon DE, dont le centre est D. Le trompillon a pour cintre un cercle vertical. d'un diamètre/", parallèle h la droite FG. Le joint du trompillon et des voussoirs de la trompe, est un cône droit, dont le sommet est en D, et qui a pour base le cintre ( fg J'ig ).
IjCs joints des voussoirs de la.trompe, qui passent tous par l’horizontale DB</, ont pour traces sur le plan vertical XY, des droites qui divisent en parties égales le cercle/- cjj ; deux de ces droites, telles que dj, dG, sont les limites de la projection verticale de l’un des voussoirs.
34o * GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
La doucllc de ce voussoir est une portion de surface sphérique dont le contour est formé, 1* d’un arc vertical 3’4 du petit ccrclej f'ig, cintre du trompïïïùn; V de deux arcs de grands cercles, dont les prolongemens passeraient par le point É du plan horizontal; 3* d’une portion de la courbe à donbic courbure, intersection de la douelle sphérique cl du çjlipdré vertical FfTG.
Ce contour a pour projections horizontale et verticale, les quadrilatères
Construction de l'épure et application du trait sur la pierre.
7 1 . Les plans de projection sont, i° le plan horizontal des naissances de fa trompe ^sphérique deux plans verticaux XY, XY, l’un pcqiendiculairc et •
l'autre parallèle à la droite 01)1)11] du plan des naissances, qui passe par l’axe vertical O du mur en tour ronde, et par le centre D de la surface sphérique de là trompe. ■'
. Ayant pris pour le solide capable du trompillon, le parallélipipède ( hnnh, l'tnn'h’., LMN1I ), 011 construit les intersections du joint conique de cetrompillon, par les faces du parallélipipède.
L’application du trait sur la pierre capable d’un vbusfsorr, se fait mi moyen des deux joints développés de ce voussoir et du contour de la tête sur le cylindre vertical FI) G. En développant ce cylindre, on a poirr la tête du voussoir compris entre les joints <Y. 5, «Y-G", la figure «, dans laquelle la courbe 1.3 est le développement de 1# portion de Courbe à double courlntre, qui se projette horizoutalenflPnt en t.a.
Pour développer les joints, on suppose que les plans qui les contiennent tournent ailtour de la droite horizontale BIT, pour s’appliquer sur le plan horizontal. •.'■■■' ' - .
Le premier joint ( BB’, r/‘.3'.5), développé Jtg.j, a pour contour une figure composée 1° d’un arc de grand cercle de la surface sphérique de la trompe; a" d’une droite du joint du trompillon; 3° de deox cltipses, intersections des cylindres verticaux du mur en tour ronde par le plan de joint ; 4* d'one horizontalc du parement vertical, parallèle à la "droite BB’. '
Le contour du second joint ( BB’, rf'j'.C ), développé fig.j'i diffère du contour précédent, parce que le plan de ce jirint ne rencontre pas seulement le joint conique du trompillon, mais encorela face horizontale supérieure ( hnnh , m'n ) de ce trompillon. A la place d’une droite-unique gp (jig-j)à tl premier contour, Qn a ( Jtg.j ) les deux droites gq, </r, qui appartiennent, l’une au joint conique du trompillon, et l’autre à h face horizontale supérieure de ce trompillou.
$ V. sacvLiJUt». ( N" i -a-3-4, App., pl. 1 7- ao. )
•)<x. Là partie d’un bâtiment ou d'un édifice, occupée par un escalier, se nomme la ctrge dé cet escalier. On distingue deux espèces d’escaliers, les uns à marches parallèles, les «titres à marchas tournantes. ]>-s premiers conviennent aux grand» édifices, dont ils sont le principal ornement; leurs marches sont égales en hauteur et IntgetiP: le rapport de ces deux dimensions est ordinairement celui de 1 à 3. O11 pose les marches sur un massif rampant, de manière que les deux faces apparentes do chacune d’elles, qu'on appelle, en charpente, marche et conire-marrhe, soient l’une horizontale et l’autre verticale. Le massif ést tontenn par les murs de la cage et par d’autres murs parallèles, distans des premiers de la longueur des marches. La construction de ces rtmrs, et le tracé des marches parallèles, ne présentent aucune difficulté de stéréotomie. Il îl’en- est pas de même des escaliers à marches tournantes, dont les emplàcemens sont le plus souvent très-irréguliers, mal éclairés, et qui ne deviennent praticables que par dés combinaisons de lignes et de surfaces qui se raccordent.
Les escaliers à marches tournantes sont ou à noyau plein ou à jour. Nous allons donner des exemples de ces deux variétés.
psctdiers à noyau plein. N“ 1 et 1 bis, App., pl. 17.
73. Ces deux escaliers se construisent dans les tours; le noyau est un cylindre vertical à base circulaire du ‘rayon 1 , App., pl. 17). L’en-
ecinfe de la cage est un mur en tour ronde, qui a pour épaisseur DD', différence des 'deux rayons AD' et AD. Soit .1. F la distance à laquelle 011 se tient de- la face intérieure i.a.3.4 du mur Cn tour ronde, pour s'ap-
puyer commodément sur une rampe fixée contre eu mur. Ou décrit du point A, comme centre, avec le rayon donné AF, un eerçle qu’on divise en arcs éganx, tels que FF. I.a corde de ces arcs ne peut pas être moindre que la longueur du pied. Les hauteurs des marches et leurs largeurs, mesurées sur le cercle du rayon AF, sont constant&s; les rayons AF, AF’,..,, menés par les points de division, sont les projections des arêtes horizontales des marches. Ces arêtes coupent le cylindre vertical, qui a pour base le cercle du -rnydti Al, en des points d’une hélice, dont le pos(p. i56, art. 3ü ) est détermiuc par le rapport du la largeur d'une marche et de sa^iauteur; d'où il suit que ces mêmes arêtes appartiennent à une surface réglée, dont la génératrice,
34a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
constamment horizontale, a pour directrices-!» verticale A, axe du noyau, et
l'hélice dont la projection horizontale est le cercle t. 9.3.4..-,
En développant le cylindre vertical qui a ce cercle pour base, sur le plan vertical XY {Jîg. a ), perpendiculaire à la droite A3 {Jîg. i ), l’hélice directrice de la surface réglée des marches devient une droite Int, dont l'inclinaison, à l'égard de l'horizontale XY,.est déterminée par le rapport de la largeur mn d'une marche, mesurée sur le cercle i.a,3.4.—, et de sa hauteur hn. On aurait pu terminer le dessous des marahes par une surface continue, égale à celle qui passerait par les arêtes supérieures de ces marches, et qui serait coupée par le cylindre vertical i.a.34 {Jîg. t )» suivant une hélice qui aurait pour développement {Jîg. a ) une droite l'iri parallèle à lut. On a simplifié la construction de chaque marche, eu supposant que sa seation par le cylindre vertical, i.a.3.4, est sur le développement {Jîg. a ) le polygone abctie. ta côté ab de ce polygone est égal à la hauteur d'une marche; le côté bc mesure la quantité dont une marc he avance sur l'autre; ad est la somme de cette quantité et de la largeur de la marche mesurée sur le cercle 1. 4.3.4; 1* côté ed est une verticale parallèle à ab, dont la hauteur est donnée.
Enveloppant le cylindre vertical t.a.3.4 parce polygone, le côté ce devient une portion d'hélice, et la face courbe de la marche qui passe par cette hélice, est engendrée par une droite horizontale qui s'appuie sur Taxe vertical A {Jîg. I ). ta cylindre vertical du noyau, qui a pour base Te cercle du rayon AB, • coupe la marche suivant une figure qui devient sur le développement (Jîg. 3 ), un polygone abede, du même nombre de côtés que le polygone donné do la Jîg. a, et marqué des mêmes lettres.
Nous n’avons considéré jnsqu’à présent que la partie de chaque marche comprise entre le noyau et le mur en tout ronde do la cage; mais cette marche a un noyau, qui fait partie- du noyau plein de l’escalier, et qui est compris entre les deux plans horizontaux ad, bc {Jîg. a et 3 ). C'est pourquoi le développement {Jîg- 3) de la marche comprend le parallélogramme aa’cc' ( qui se prolonge au-delà du cadre de la planche ). dont le côté ad, ou ce est égal à la circonférence dn rayon AB {Jîg. t ). La projection horizontale de cette marche EE’B3'.3.E, est marquée [Jîg. i) d'un trait plein. Toutes les marches étant égales, elles ont des projections ou des sections égales, sur chacun des trois plans, ftg. i, a, 3.
Les marches font plusieurs révolutions autour du noyau. Uoe figure telle que EE'B3'.3, est la- projection horizontale do toutes les marchés, dont les arêtes horizontales sont dans le même plan Vertical 3.3'. ta distance verticale de deux de ces marches doit être d’environ deux métrés, pour qu’en montant l’escalier, on ne soit point obligé de s’incliner. Si la cage entière corn-
Di
prend vingt marches pour une révolution (ce qui a lieu sur la fig. I ), chaque marche aura en hauteur un décimètre. En montant l’escalier, on voit le dessous des marches d'une révolution supérieure, efon aperçoit la discontinuité qui résulte d’un système de faces courbes hélicoïdes, adjacentes k de petites faces planes verticales. C’est pour éviterjeette apparence, qu’on a construit (N*. I bis,App., pl. »7) l’escalier circulaire à noyau plein, en terminant le dessous des marches par une surface réglée continue.
Explication des figures i, a, 3. N® i bis, App., pl. 1 7.
74. I.c noyau, la cage, les arctes horizontales des marches étant les mêmes que sous la figure N° 1, on conçoit la sirrface continue qui passe par ces arêtes, et dont la section cylindrique développée (fi g. 2 ) est la droite tm. Ayant mené sur ce développement une parallèle lin à cette droite, on plie la ftg. a' sur le cylindre vertical 1.2. 3.4, et la droite lin devient une hélice directrice:de la surface du dessous des marches. Le mouvement de la génératrice de cette surface est déterminé pat deux autres conditions, d’être constamment horizontale, et tangente k la surface extérieure du noyau plein.
On donne ( fig . a ), i°. la hauteur ab d’une marche; a" la quantité pb donc une marche avance sur l’inférieure; 3® la longueur d'une verticale cpk comprise entre les deux parallèles lm,tm‘ ; ce qui détermine sur la droite Im, le point c, et la distance cp de ce point k l'horizontale bp.
La droite de la surface du dessous des marches, qui passe par le point c (fig. a ), est, en projection horizontale ( Jig . 1 ), une tangente CC’ au cercle du rayon AG. Cette droite est une arête de douelle de la voûto dont la marche est un voussoir. On prend pour le joint de ce voussoir, un plan passant par l’arête de douelle, et normal à la douelle au point milieu de l’arête. Ce joint conpe le plan horizontal bp (ftg. a ), suivant une horizontale qui passe par le point/, et le cylindre vertical i.a.3.4, suivant une portion d’ellipse dont la transformée est (fig. 2 •) la courbée/.
Le second joint de la marche doit être égal au premier : c’est pourquoi il faut que la seconde arête de douelle de cette marche passe par le point c Çjig. a), distant de l’horizontale adp de la hauteur verticale e'p' = cp; ce qhi détermine le point é de la droite Tm', et les projections horizontales (EE‘ ( fig. 1), EEV<T') de la seconde arête de douelle, et d’un joiut passant par cette arête. La droite EE' est tangente au cercle du rayon AG, puisqu’elle est la projection d’une droite de la surface inférieure des marches.
La section entière de la marche développée (Jig. a ), est formée de’ quatre droites ab, by, ce, da, et de deux courbes égales cy, ed. Développant le cyün-
dre «lu noyau plein (Jig. 3 ), le contour de la section tle la sp arche par ce cylindre est abyctùl ; il est aussi formé de quatre droites et .de deux courbes égales cy, e’d. Les verticales marquées des mêmes lettres (Jig. a et 3) sont de même longueur. • ... . • .. . ...
Chaque marche do l’escalier N° i bis porte, comme la marche de l'escàber N* i, une assise du noyau, dont la hauteur est déterminée par la distance verticale des points u etc (Jig . 3 ); c’est pourquoi il faut ajouter au développement dirnoyau (Jig . 3 ), le parallélogramme ( prolongé au-delà du cadre de la planche) ad b'c, qui a pour côtés la droite aL> =.cq (Jig. a ), et la droite ad égale à la circonférence dtl rayon AB (Jig. i ) du noyau.
Les marches des deux escaliers N"1 1 et i bit, étant engagées dans l’épaisseur du mur de cage, a;Ues sônt soutenues d'un bout parce mur, et de l’autre par le noyau plein dont elles font •partie.
Escaliers à jour. N“.a et 3, -4pp., pl. 1 8 et iq..
ris à jour. N* a, App., pl. 18.. ; “
DcûuilioB.
75. La vis à four est un escalier composé de marches qui s’appuient seulement par une extrémité sur l’un des murs de la cage. Ces marches forment une voûte; elles sont terminées en dessons par une snriace réglée : chaque marche est un veussoir, qui a pour douelle une portion de cette surface.
les murs de cage étant droits, les- intersections des faces intérieures de ces murs, par tin jitau horizontal, forment'tin polygone; on trace unecoorbe tangente aux côtés de ce polygone, et on se sert de-cette courbe pour diviser la cage de l’escalier en deux parties, destinées Tune pour les marches, et l’autre pour le jour. L’emplacement qu’on appelle jour est terminé par une surface cylindrique verticale, qui a pour base une courbe équidistànte de celle qui est tangente aux côtés du polygone de la cage. Les marches occupent l’espace compris entre Je jour et les murs de la cage. Dans les deux exemples -précédons, K" 1 et 1 bis, App., pl. 17,1a cage et le jour sont terminés par des surfaces cylindriques verticales, qui ont pour bases des cercles concentriques. . * La face horizontale de chaque marche porte à l'une de ses extrémité» {celle qui est du côté du jour), un balustre vertical qui supporte une rampe. La (listahce à laquelle on se tient de cette rampe en montant l'escalier, étant donnée, on s’en sert pour tracer sur le plan de la section horizontale du jour, une ciîurbe équidistante du contour de cette section. De chaque point <le ce contour carnau- centre, avec la distance donnée, pour rayon, on décrit ihi
arc de. cercle, et la ligne tangente à tous les arcs de cercle ainsi décrits, termine la courbe équidistante, sur laquelle ou mesure la largeur des marches. Cette cotn-be étant divisée en arcs de même longueur, ou mène par les points de division* des droites que l’on considéré’ coin me les projections horizontales des arêtes horizontales des marchés, ou des intersections des plans des faces de cesmarches, faces dites en charpente marche e t contre-marche, lui condition de passer parles points de division de la courbe éq.uidistantedu jour, ne détermine pas les projections de ces arêtes; ce n’est que par un tâtonnement qu’on parvient à fixer'la position la plus convenable de ces droites. Ce tâtonnement, .qu'on appelle balancement des marches, a pour objet de donner à ces marches des dimensions à peu près égales, et d’évitei; des changemcns brusques de courbure, soit dans la surface du dessous des marches, ou sur les ligues apparentes de cette surface.
On est dirigé dans cAle opération, plus mécanique que géométrique, par la considération Que les projections horizontales des arêtes des marches, doivent diviser le contour de la section horizontale du jour, en parties qui augmentent et diminuent progressivement par degrés insensibles, Sur deux portions consécutives de ce contour,
Explication des figures 1 , a, 3, Àpp. pl. 1 8. Escalier N” a (Vis à jour).
70.- Soient \fig. 1) abc. ..h et i.a.3.4...8, les lignes du plan horizontal, qui représentent le jour de l’escalier et la ligne qu’on suit en montant cet escalier. On divise cette dernière ligne en parties égales i.a, a.3,..„7.8. ... '
L’opération du balancement détermine les droites i.«, a .b, 3.c,.. 8.A, qui sont les projections horizontales des arêtes des marches. Cesdroites prolongées forment un polygone, limite d une courbe continue x/iy...a, tangente aux côtés de ce polygone. Ayant' tracé cette courbe, la surface du dessous des marches est déterminée.
De la surface du dessous des marches.
77. Le cy lindre vertical qui a pour base la courbe i.a.3... (fig. 1), coupe les arêtes horizontales des marches en des points, qui appartiennent évidemment à une hélice, puisque leS bailleurs verticales des marches sont égales. On prend cette hélice pour la directrice d’une surface réglée dont la génératrice, constamment horizcmtalc, se meut en touchant le cylindre vertical qui a pour base la courbe a0y...» , et pour déduire de cette surface, celle qui terf mine le dessous des marches, on suppose que les droites génératrices des deux
surfaces, sont pour chaque position, parallèles entre elles dans le même plan vertical, et que leur distance verticale ne change pas.
Il résulte de cette hypothèse, i° que tout plan vertical passant 'par l'une des droites a. t ,A.a, c.3...., contient l'arête horizontale de la marche dont cette droite est la projection, et une génératrice de la surface du dessous des marches; a° que la distance verticale de l'arête et de la génératrice est constante.
Construction d’une marche (fig. i, a et 3).
78. Soient 1.9, 9.3 (/ig. t),les largeurs des deux marches Consécutives.. 1a' marche supérieure recouvre une partie de la marche inférieure, et ce recouvrement étant donné, nous supposerons que sa largeur, mesurée sur la ligne 1.9.3..., soit égaleàR.aouR’3. On mène parles points R, R' les tangentes Rr«, R’r’fl, à la courbe «£/'-•«*» et ces droites sont les projections horizontales des arêtes de douelle de la marche. La plus courte distancetle ces deux arêtes est égale eq longueur, à la hauteur d’une marche.
les marcEcs étant comprises entre la cage LM NO et le jour ahc..Ji, les projections horizontales des arêtes de douelles ont les mêmes limites. Ayant divise ces projections en deux parties égales aux points rn et m, on conçoit par les points correspondais des arêtes, des normales aux douelles; chaque arête de douelle et sa normale déterminent un plan de joint de la marche. La distance de l’arête de douelle à la face horizontale de la marche supérieure ou inférieure étant connue, on en déduit les parallèles St, SV aux droites Rr, R'r, qui îerminent les projections horizontales des joints.
■ . De la normale à la surface du dessous des marches.
• 79. Les arêtes de douelles sont tangentes au cylindre vertical qui a pour base la courbe a3y...w, et passent l'une par l’arête verticale «, l’autre par l’arête verticale £. On substitue aux élcraens de la surface du dessous dgs marches, et suivant ces arêtes, des paraboloïdes tangens,qui ont pour génératrices une droite horizontale, dont le mouvement est déterminé par la condition de passer par l'hélice i.a.3...8 et par l'une des verticales a, g. Les normales à ces paraboloïdes, ou les perpendiculaires aux plans tangens qu’on a déterminés (art 1 5a , liv. 1er), fixent la position des plans de joints de la marche.
De V application du trait sur la pierre.
80. Chaque marche est engagée clans l’épaisseur du mur de cage, et en considérant celle dont la projection horizontale {fg. 1 ) est ar'pq, et qui se termine au plan vertical p<j, parallèle à la face verticale MNPQ du mur de cage, on construira (/ ig . a) l’intersection de cette marche par le plan pq. On connaît dans cette figure la hauteur a.a' de la maçche, la distance Kr ou RV de l'arête de douelle an plan horizontal s.i ou a'.3‘, et la différence R’k des horizontales menées par les points R, R’, laquelle est égale à la hauteur a.a’ d’une marche.
On ajoutera a la section plane {fig. a) de la marche, le développement ( fig. 3) du cylindre vertical abc. ..h {J! g. 1 ). Ayant d’abord exécuté le solide dont la • projection horizontale est égale à celle de la marche, et qui est compris entre deux plans horizontaux distans entre eux de la quantité kr {/ig. a ), on passera de ce solide à la forme de la marche, au moyen des deûx panneaux
{fg- a el 3 )-
Escalier a jour N° 3, ^4pp., pl. 19. — Courbe rampante.
81. Les marches en pierre d’une vis à jour, dont les extrémités sont engagées dans l’épaisseur du mur de cage, n’ont de points d’appui que sur ce mur; quoiqu’elles y soient fixées pardes barres dé fer qui les traversent, elles ne peuvent supporter que de faibles pressions, et on doit éviter l’emploi de cet escalier pour transporter de lourds fardeaux. Le poids d’une charge tend à rompre la marche qui la supporte vers l’extrémité engagée dans le mur; et l’effort est d'autant plus grand, que la ligne qu’on suit en montant l’escalier est plus éloignée du mur de cage, ou moins éloignée du jour. On pourrait augmenter la résistance, en diminuant la longueur de la marche; mais ce moyen n’est praticable que lorsque l’espace occupé par la charge, ou le nombre de personnes qui montent l’escalier de front, n’est pas déterminé. Une autre espèce d’escaliers à jour, capables de supporter de grandes pressions et même tles chocs, se compose de marches comprises entre le mur de cagef et une voûte particulière qu’on nomme courbe rampante.
Définition de la courbe rampante, App.,/>/. 19.
8a. Les murs de la cage étant donnés, on détermine, comme pour la vis à jour ( Escalier N* a, -dj’p., pi. 18), i° la ligne alcd...,h du jour, équidistante de la courbe tangente aux côtés LM, MN, NO du polygone formé par la section horizontale des murs de la cage; a° la projection horizontale i.a.3...8 de la ligne qu'on suit en montant l’escalier; 3" la courbe a£y...u, qu'on obtient par l'opération du balancement ( art. ^4i |>- 3 1 1 ), courbe à laquelle les projections des arêtes horizontales des marches, i.a, a .b, 3 c, 8.A, sont tangentes; t\ la surface continue des arêtes horizontales des marches, engendrée par une droite horizontale dont le mouvement est déterminé par ces deux conditions, .de passer par l’hélice dont la projection horizontale est la ligne j .a.3.,.8, et d’étre tangente au cylindre vertical, qui a pour.base la courbe u&y... u.
Cela posé, la courbe rampante esrun solide compris entre deux cylindres verticaux, qui ont pour bases la ligne du jour abed^.h, et une ligne équidistante de celle-là, a'...d...K ; les faces supérieure et inférieure de ce solide, appartiennent à des surfaces réglées, dont la génération se déduit de celle de la surface continue qui est le lieu géométrique des air-les horizontales des marches.
Des surfaces supérieure et inférieure de la courbe rampante.
83. Un plan vertical quelconque, tangent au cylindre vertical qui a pour base la courbe contient une horizontale de la surface continue des
arêtes des marches, et deux autres horizontales parallèles, dont l’une appartient à la surface supérieure de la courbe rampante, et l'autre à la surface inférieure. Les distances respectives de ces trois horizontales étant domftes, les surfaces réglées qui sont les lieux géométriques de ces droites, sont déterminées. Chacune d'elles a pour directrice, une hélice tracée sur le cylindre vertical i. a. 3. ..8, et sa génératrice mobile est tangeute au cylindre vertical
• 'De la surface moyenne delà courbe rampante.
8.j. Un plan vertical quelconque, tangent au cylindre vertical a0y...u, contient les deux droites horizontales et équidistantes des surfaces supérieure et inférieure de la courbe rampante; une troisième droite horizontale, à égale • distance des deux premières, appartient à la surface moyennç de la courbe rampante.
Le cylindre vertical dont la base est équidistante des lignes<2...<A../j,
et qui divise en deux parties égales l’espace compris entre les deux cylindres verticaux qui ont ces lignes pour bases, co|^ie la surface moyenne de la courbe rampante, suivant une ligne qu’on appelle la ligne moyenne de ce solide; les plans de joint des voussoirs de la courbe rampante, passent par des points déterminés de- cette ligne, et sont normaux à la surface moyenne.
. Des joints de la courbe rampante.
■ 85, La grandeur des voussoirs de la courbe rampante est déterminée par les dimensions des pierres destinées à la construction de cesasolides. Ces dimensions étant connues, on divise en plusieurs parties la ligne moyenne de la courbe rampante, dont la projection horizontale est A.'..D...II, et on suppose que les joints de#Un des voussoirs doivent passer par les points de cette ligue moyenne, qui se projettent horizontalement en E et en F.
Chacun de ces joints est déterminé par deux conditions, la première d’être normal à la surface moyenne, la seconde de passer par une droite de cette surface. Ayant mené les droites Et, FS, tangentes à la courbe sa/3-/..., aux points t,/3, ces tangentes seront les projections des droites de la surface moyenne, par lesquelles on doit mener les plans de joint.
La seconde tangente F/8 prolongée, coupc la ligné I.2.3...8 au point <p : considérant cette ligne comme la projection d’une hélice de la surface moyenne, la tangente à cette hélice au point . dont $ est la projection horizontale, et la verticale passant par le point de contact /3, sont les deux directrices d’un jxi- ' raboloîde qui sera tangent à la surface moyenne, en supposant que ces deux surfaces aient pour génératrice mobile, une droite horizontale: or l’on sait (art. i5a, liv. 1" ) mener une normale à ce paraboloïdç; donc les deux droites . qui déterminent le joint passant parle point de la surfacemoyenne, dont F est la projection horizontale, sont connues. Le second joint, passant par le point dont E est la projection horizontale, se construira de la même manière.
Construction de l’épure, App., pl. 19.
86. Le premier plan de projection {fi g. 1 ) étant parallèle aux faces horizontales des marches de l’escalier, on prend deux autres plans {fi g. 1 c(3) de projections verticales, respectivement perpendiculaires aux droites horizontales eEV, et par conséquent nux plans de joint. Soit xy ( fig . 1 ) la trace horizontale du premier plan vertical, le plan de joint y sera projeté suivant la droite pq. On projette sur ce même plan les quatre arêtes de la courbe
CÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, rampante, ou les lignes d’intersections dés quatre surfaces courbes qui terminent ce solide; on ajoute aux projections verticales (Jig. a et 3) de ces arêtes, celles des lign^ de la surface supérieure et inférieure de la courbe rampante, qui se projettent sur le plan horizontal en AEDFIil. Ces projections (Jig. a ) sont coupées par la droite pfq en des points qui ont leurs correspondans sur \bjig. i; d'où il suit que les projections du contour du premier joint sont déterminées sur les Jig. t et a.
On déterminera de la mémemanière (Jig. i et 3 ) les projections du contour du joint, dont le plan passe par le point (E, e) de la surface moyenne. Ayant ( Jig . i ) la projection horizontale du voussoic entier, on connaît les faces verticales .XY, Z dïui parallélipipède capable du voussoir. Pour déterminer les faces inclinées de ce parallélipipède, on emploie un troisième plan vertical XT (Jig. l\ ), parallèle à la droite XY (fig. i ), et on projette le voussoir entier sur ce plan. Cette projection ( fig. 4 ) du voussoir e.^la limite des parallèles RS, TV, projections verticales des faces inclinées du parallélipipède,
Application du trait sur la pie/re.
87. Cette application a pour objet de donner au parallélipipède ( XYZ, RSTV),fig. 1 et 4, la forme du voussoir de la courbe rampante. .
Les cylindres verticaux a...d...h, a' ...d ...Il {Jig. 1 ), qui comprennent la courbe rampante, sont coupés par les faces inclinées RS, TV (fig. 4 ) du para 11 êli pi pède, suivant des courbes; on développe en K' (Jig* 5 ) ces courbes, et on y ajoute les droites, intersections des plans de joint et des laces inclinées RS, TV (Jig. 4).
Les joints ( pq, fig- a ), (p'q'ifig- 3) doivent aussi être développés, et les figures a, K' montrent ces joints dans leur véritable grandeur. Le contour de chacun de ces joints est formé de quatre courbes, intersections de ce joint et des quatre surfaces de la courbe rampante. On a ajouté k ce contour le parallélogramme qui résulte de l’intersection du plan de joint et du parallélipipède capable du voussoir.
Les lignes d’intersection du joint et des faces cylindriques du voussoir, sont prolongées jusqu’aux côtés du parallélogramme.
Au moyen des trois panneaux K, K’, K.” (Jig. a, 3,5), on substituera d’abord aux faces planes verticales XY, Z (fig. 1 ) du parallélipipède, les portions de surfaces cylindriques, qui comprennent la courbe rampante, et ensuite on tracera sur le solide ainsi modifié, le contour du voussoir de la courbe rampante, dont on a les projections (Jig. I et 4).
La courbe rampante, considérée comme w • voûte, a pour pied-droit le sol,
APPENDICE. • 3.u
et on la soutient dans sa partie supérieure par des pilastres ou colonnes. Les marches de l’escalier, placées entre cette courbe rampante et les murs d'enceinte de la cage, y sont engagées par leurs extrémités, et deviennent, par la résistance de ces poiuts d’appui, capables de supporter de grandes pressions. Dans le cas où les marches devraient être terminées par une surface de même genre que celle qui forme la face supérieure ou inférieure de la courbe rampante, on traiterait chacune de ces marches comme si elle appartenait à une vis à jour N" i,App.t pl. i8.
Les deux premiers escaliers N“ i et i bis, App., pl. 17.se construisent seulement en pierre ! il n’en est pas de même des escaliers à jour N“ a et j, App., pl. t8 et 19; on les exécute plus souvent en bois qu’en pierre. La construction en bois n’apporte que de légères modifications dans la forme des marches de la vis ji jour et des voussoirs de la courbe rampante.
Escalier N* 4* App., pl. ao, in-folio. — Fis Saint ■ Gilles.
88. La vis Saint-Gilles est une voûte destinée à supporter les marches d'un escalier tournant. Elle a pour pieds-dtoits, 1“ un hoyau plein de la forme d’un cylindre droit à base circulaire; a° un mur eu tour ronde de même axe que le noyau. L’espace compris entre la face extérieure du noyau plein, et la face intérieure du mur en tour ronde, forme ta cage do l’escalier.
Soit (/ig. 1, App., pl. ao) un plan vertical passant par l’axe kl du noyau plciii, dont la trace horizontale A$ contient le rayon AB de ce noyau, et la largeur "BC de la cage. Sur BC comme diamètre, on décrit le demi-cercle BCDE, qu’on divise eu arcs égaux CF, FE..., DB,‘de nombre impair. Ayant achevé les deux figures A BD/ et CDEF.<f4HKGrL, il. faut concevoir les surfaces héliçoie/cs (note II, page 289) qui ont pour génératrices, les dignes mobiles BD, DL de la première figure, toutes les lignes droites ou circulaires de la seconde, et pou* axe commun la verticale kl. Le mouvement se fait dans le sens indiqué par la flèche sur le plan hoy^ptal (/ig. 2 ).
L’horizontale BC ( /?g. I ) engendrera la surface des naissances de la voûte, et le demi-cercle BCDEF engendrera la surface de la voûte. Le solide engentfré par la figure triangulaire BDL, fait partie du noyau plein, et se décompose, comme ce noyau, par tranches horizontales. 1a section horizontale (/ig. * ) de ce noyau et du solide liéliçoide a pour contour, i° la circonférence du rayon AB, moins l'arc B’L’ ; au les deux courbes B’ü’, D'L’ intersections du plan horizontal et lies surfaces héliçoides engendrées par l’arc BD et par la droite DL. I.a voûte secomposc de solides héliçoîdes qui ont pour génératrices des figures de cinq côtés tels que EJ1F, EG, FBI, Glv, UK. Ce dernier côté en-
35a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
gendre un cylindre droit; les autres côtés engendrent des surfaces héliroïdes. Chaque solide héliçoïde se décompose en voussoirs par des plans de joint perpendiculaires a l’hélice décrite par lomilieu M de l’arc tle cercle EMF. Cette hélice a pour projection horizontale le cercle NN'/j'n”, décrit (Jig. a ) du point A comme centre avec le rayon ATS ; on la nomme hélice moyenne.
Soit AN' (Jig. a ) le rayon de ce cercle, perpendiculaire à l'horizontale AC. On projette chaque voussoir de la voûte sur tm plan vertical (Jig. 3 ), perpendiculaire à ce rayon; la tangente à l'hélice moyenne au point (N', p), y étant projetée parallèlement, le plan de joint perpendiculaire à celle tangente, y est représenté par sa trace «J. On projette sur le plan horizontal le contour du joiut N° i, et on remarque que, quel que soit le point de l’hélice moyenne par lequel on mène un autre plan de joiut normal à cette hélice, le contour du joint et sa projection horizontale ne changent pa^, C’est pourquoi l’on a transporté la projection du joint N" i, sur les projections N" a et 3, en ayant soin que les contours de ces trois projections soient respectivement placés de la même manière, |var rapport aux droites AN', An', An".
Ayant les projections horizontales (Jig. a ) des joints extrêmes d’un voussoir de la voûte, on connaît les dimensions d’un [larallélipipède rectangle, capable de ce voussoir, et dont les faces sont parallèles ou perpendiculaires au plan vertical (fig. 3 ); on développe ( fig. l\ ) les faces de ce solide qui lui sont perpendiculaires, et on trace sur ce développement les intersections des plans de ces faces et des cylindres droits engendrés par les côtés verticaux "/i, K/' (fig. t ) du rectangle ghYLÀ circonscrit à la ligure EMFGHK.. Enfin on développe (Jig. 5 ) le joint perpendiculaire à l’hélice moyenne, qui a pour trace (Jig. 3 ) la droite IjjJ. On rapporte sur ce développement (Jig. 5 ), t* les droites, intersections des plans de joints du voussoir et des faces du parallélipipède capable de ^re voussoir; a” les courbes intersections des memes plans et des deux solides héliroïdes, qui ont pour génératrices le rectangle gh K/î, et la figure EMF1IK.G \jig. i ). •
Au moyen des figures i, a|fltf £, on dopne au parallélipipède capable d’un voussoir, la figure de ce voussoir, déterminée par les projections sur les [dans figures a et 3.
8i). En considérant l’un des vmissoirs, dont la tète est visible, et qui a fti naissance sur un plan vertical AC l (Jig. t ), ou sur tout autre plan vertical An' (fig. a ), ce dernier plan A n coupe le parallélipipède capable du voussoir, suivant un parallélogramme qu’on a rapporté en (fig. i ), tel qu'il doit être placé sur la figure EFIIKG, considérée comme la seefton du voussoir par le même plan A n (fig. a ).
Du tracé des épures à l’usage des apoa reilleurs.
90. Les appareilleurs tracent les épures de coupe des pierres sur deu^plaus, l’un horizontal et l’autre vertical. Les dimensions parallèles à ces plans y sont représentées dans leur grandeur naturelle. Les aires sur lesquelles on trace ces épures doivent être parfaitement dressées. On obtient facilement des surfaces lisses et planes, au moyen du plâtre gâché, qu'on emploie dans un état de mollesse, et qui prend, au bout de quelques minutes, la dureté convenable. Le tracé des lignes droites sur les aires, ou plans de projection , se fait au moyen d’un cordeau qu’on tend par les deux bouts. Une pointe dirigée suivant le cordeau, forme l'empreinte d’une ligne droite; autrement on frotte le cordeau avec de la pierre tendre, et en le cinglant dansun plan perpendiculaire à l 'aire, on y trace une droite de la couleur de la pierre.
9 1 . Nous n’avons considéré dans l’appendice qui précède, que la partie géométrique de l’appareil des ouvrages de pierres. Si l’ou veut connaître les dimensions des voûtes, les rapports de grandeurs^ntre les parties qui les composent, on consultera les livres qui traitent spécialement de l’art de bâtir, et notamment ceux du savant AI. Rondelet, architecte du Panthéon. Nous terminerons cet appendice par un article qui est extrait de son Traité théorique et pratique de l'Art de bâtir, tome 3, page 81.
Sur les qualités les plus essentielles des pierres relativement à leur emploi dans la construction des édifices.
99. M. Rondelet a fait, sur cent quarante-cinq espèces de pierres, plus de huit cents expériences, d'où il a tiré les conclusions suivantes:
i° Dans toutes sortes de pierres, la pesanteur, la force, la dureté, la nature du grain, la contexture plus ou moins serrée, sont des qualités qui semblent se déduire les unes des autres. Ainsi, dans les pierres de même espèce, les plus pesantes sont ordinairement les plus fortes, les plus dures, celles dont le grain est plus fin, la texture la plus compacte.
a° Les pierres dcnfcla couleur tire sur le noir ou le bleu, sont plus dures que les grises, et celles-ci que les blanches ou rousses; et en général celles qui ont les couleurs les plus claires, sont ordinairement moins fortes et moins pesantes.
3“ Les pierres dont le grain est homogène et la texture uniforme, sont plus fortes que celles dont le grain est mélangé, quoique ces dernières soient quelquefois plus dures et plus pesantes.
4° Les qualités des pierres influent aussi sur la manière dont elles s’écrasent : celles qui ont le grain fin, la texture homogène et compacte, et qui
rendent un son clair lorsqu’on les frappe, se divisent en lames ou en aiguilles; les plus fières se brisent tout-à-coup et avec bruit, et se réduisent en poudty;.
5° Les pierres dont le grain est moins fin, qui ont leur texture moins compacte, et qui ne résonnent que peu ou point, se décomposent en pyramides, ayant pour bases les surfaces du solide, de manière que les pointes se réunissent au centre; ou la pierre se réduit en poussière; les deux pyramides opposées, ayant pour bases le dessus et le dessous du solide, chassent celles du tour; ces dernières se divisent par fentes verticales.
6° Toutes les espèces de pierres éprouvées ont diminué sensiblement de hauteur avant de s’écarter et même de se fendre. Cette diminution a été plus considérable dans les pierres qui se décomposent en pyramides.
7“ Lorsque les pierres avaient en hauteur plus de deux fois la largeur de leur base, les parties comprises entre les pyramides formées, se fendaient verticalement, en se divisant en lames ou en aiguilles.
8° On a éprouvé encore qu’il faut moins de force pour faire fendre les pierres vives que pour les écraser, tandis que les pierres molles s’écrasent plutôt qu’elles ne se fendent.
9° L’indication la plus importante est celle qui fait apercevoir que la force des pierres de même genre est à peu près comme le cube de leur pesanteur spécifique.
XOXS DES PIERRES.
Grés blancs
Cliquard de Meudon. .
Liais de Bagncux. . .
Blanc franc de Montrouge.
Roche d’Arcucil. . . . .
Roche dure de Ch âlillon.
Pierre de Saint-Cloud. .
Pierre de Saint-Leu. .
Pierre ponce
Lave du Vésuve. . .
Porphyre.
Granité de Normandie. , Marbre noir de Flaudrc. .
Marbre blanc. .
Gipse, ou pierre h plâtre. .
POIDS u’tIX UÈVEE CUBE EX EIIOCBAMMES.
*354 *3o3 «94 ai 57 67 5 *643 a66a
a3oo
POIDS POÜ» ECRASEE tlX CUBE DE CIXQ CEXTIlf ÈTEES UE CClTÀ.
• io53
16881 üooai i;555
(Voyci les Traités sur ta résistance des bois et det matériaux employés dans les constructions, par MSI. Girard, Navier, Trcgold, etc.)
