TA — TB
La différence <b — <b ' entre les angles que la sécante A B fait avec les j deux tangentes AT et TB, v ii — <!/ = KO2.
L'angle 'b que la tangente en un point d'inflexion fait avec la sécante, * = KO2.
L'angle w que la tangente en un point \ d'inflexion l'ait avec la tangente intiui- I niment voisine,
to = K 02.
3e oruhe
Fi g. 503
La différence entre l'arc et la corde, Arc A B — corde A B = K 03.
La différence entre la somme des ' tangentes et l'are (ou la corde), ( AT+ TB— arc AB= KO3.
La différence entre l'arc (ou la corde' et sa projection orthogonale sur la tangente,
Arc A B — A C, — K 83.
Nota. — S'il y a iuflexiou, cette différence est du 4° ordre.
Fig. 504
La distance d'uu point k la tangente lorsqu'il y a inflexion,
La différence entre les ordouuées de deux courbes osculatrices, B C = K63.
La différence entre les longueurs de deux normales infiniment voisines, A 0 — B 0 = K 63 .
Nota. — Pour le calcul exact des coefficients, K, qui entrent dans les complément.
s, 414. — De la courbure et du rayon de courbure.
(«) Courbure totale d'un arc. — C'est l'angle w, dit angle de contingence, que font entre elles les tangentes aux extrémités de l'arc.
Si l'arc est infiniment petit, cet angle est aussi infiniment petit et, eu général, du premier ordre (tableau, 4°).
La courbure moyenne de l'arc AB, est le quotient de la courbure totale
par la longueur de l'arc, c'est — .
La courbure, en un point, est la limite vers laquelle tend la courbure moyenne lorsque l'arc tend vers zéro.
c désignant la limite de la courbure moyenne, on aura :
c — lim.
expressions précédentes, voirie théorème de M. Ossiau-Bonuet donné k la fin du
Bans ces expressions de cou de p, les quantités qui entrent au numérateur et au dénominateur sont, eu général, du premier ordre.
Nota. — 1° A la place de l'arc 0, on peut prendre la corde qui n'eu diffère que d'uu infiniment petit du troisième ordre. (Tableau 16°.)
2° A la place de l'angle u>, on peut prendre le double de l'angle <l que font entre elles la tangente et la corde. En effet (voir tableau 13°), ou a to =z 'l -|- Y . Mais — <b' à un infiniment petit près du deuxième ordre. Donc on peut écrire :
co ~2i. On aura :
arc 0
((/) Hayon de courbure. — DaDS une circonférence la courbure est
constante et égale k l'inverse du rayon du cercle.
1 , 1 c - -, d où B = — .
On nomme, dans une courbe, rayon de courbure o, le rayon d'uu cercle qui -aurait même courbure que la courbe au point considéré. On aura donc :
arc. 0 o = lim. .
C = lim.
arc 0
et o =
arc. 0
3° Ou a (tableau 16") AT + TB = arc AB, k un infiniment petit près du troisième ordre. D'autre part, AT = TB a un infiniment petit près du troisième ordre (tableau 12°). Ou peut donc écrire :
Arc AB = 2 AT, et, par suite,
AT
o = lim. — .
(c) Cercle de courbure en un point. — C'est le cercle qui, passant par le point, aurait pour centre la position limite de l'intersection de la normale en ce poiul et de la normale infiniment voisine.
On démontre : 1° que le cercle est tangent a la courbe au point considéré ; qu'il a même courbure qu'elle et que sa concavité est tournée du même côté;
2° Qu'il se confond avec la position limite du cercle qui, tangent a la courbe au point considéré, passerait en outre par le poiut infiniment voisiu. On en conclut que le cercle de courbure traverse en général la courbe;
3° Qu'il se confond avec la limite du cercle qui, passant par le point considéré, passerait aussi par les deux points infiniment voisins. C'est donc la limite du cercle passant par trois points infiniment voisins ;
4° Que la différence des ordonnées ou des abscisses, de la courbe et du cercle de courbure, est du troisième ordre.
Nota. — Lorsqu'une courbe présente un point d'inflexion en ce point, le cercle de courbure a un rayon infini. 11 se réduit à une droite qui est précisément la tangente au point d'inflexion.
§ 415. — Expressions du rayon de courbure.
Nous allons donner plusieurs expressions du rayon de courbure dont nous aurons a faire usage par la suite.
ire Expression . — Soit A B la courbe, et AB' son cercle de courbure de centre 0 (fig. 50a).
Prenons sur la courbe le point B, infiuimeut voisiu de A ; joignons 0 B, et prolongeons jusqu'à la tangente en T. On a, par rapport au cercle : TA2 = TB' X (2 p + B'T).
Dans cctlc expression, négligeons B'T, qui est infiniment petit, en présence de 2 p qui ne l'est pas, et nous aurous :
TA? = TB x 2p, d'où
^ YÂ"a
