P 2TB

Mais TB', qui est du deuxième ordre, diffère de TB, de la quantité B H' qui est du troisième ordre comme différence de deux normales infiniment voisines (tableau 21°). On peut donc substituer TB à T B' cl écrire : t~A~2

(A) o = lim. ■ telle est la première expression.

D'où l'énoncé suivant : D'un point infiniment voisin, pris sur la tangente, on abaisse une normale sur la courbe, et le rayon de courbure a pour

Fig. 505 Fig- 300

expression la limite du quotient obtenu en divisant le carré de la tangente par deux fois la portion de la normaje comprise entre la tangente et la courbe.

9c Expression du rayon de courbure. — Au lieu d'abaisser une normale sur la courbe, ce qui n'est pas commode, prenons le point 1!, infiniment voisin sur la courbe, et abaissons la perpendiculaire BD sur la tangente; prenons le point A' où elle reucoutre le cercle de courbure. On a dans ce dernier (fig. 506) :

A D* - A F X F G, ou

AD2 =■ B D (.2 p — A'D).

Négligeons A' D, qui est infiniment petit, en présence de 2 p qui ne l'est pas ; cela donne :

Lim. AD2 = BD X 2p, et

p = lim .

AD'i 2T1)'

troisième ordre, puisque le cercle de courbure est oscillateur; on peut donc prendre B D à la place de A' D, et écrire :

(B) p = lim. — , nui est la deuxième expression. ' 2 B D

D'où l'énoncé suivant : D'un point infiniment voisin, pris sur la courbe, onabaisse une perpendiculaire sur la tangente, et le rayon de courbure a pour expression la limite du 'quotient obtenu en divisant le carré de la tangente par deux fois la longueur de la perpendiculaire.

§ 416.— Rayon de courbure des sections coniques.

(a) Ellipse. — Soit M un point de l'ellipse, MO le diamètre passant parce point, et ON son conjugué. Soit b' le demi-diamètre 0 M, «' le demidiamètre O N et 0 leur angle .

Rapportons l'ellipse à ses deux diamètres conjugués ; son équation est :

Transportons l'origine au point M. A cet effet, changeons dans l'équation y en (y — b') ; l'équation devient :

a'i b'i 6*2 Prenons le point C, infiniment voisin du point M, qui est actuellement l'origine. Soienl x' et?/' ses coordonnées. Abaissons la perpendiculaire C D sur la tangente qui est l'axe des .r, on aura :

CD = (/' sin. 0, e! le rayon de courbure a pour expression :

1Td2

(deuxième expression).