COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES OMBRES
§ 449. — Théorème des tangentes conjuguées.
Théorème- — Lorsqu'une surface dévcloppable est circonscrite à nue surface quelconque, la tangente à la courbe de contact et la génératrice de la dévcloppable sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice du point de contact.
Eu effet, soit 0 un point de la surface ; y le plan langent en ce point ; M un point infiniment voisin, situé sur une courbe 0 C (fig. 551).
Nous imaginons que, aux différents points pris sur la courbe OMC, nous avons mené les plans tangents a la surface et que nous en avons pris l'enveloppe. Celle enveloppe constitue une déeeloppable circonscrite a la surface et ileux plans tangents infiniment voisins se recoupent suivant une génératrice de la dévcloppable.
Menons donc le plan langent au point M, et cherchons l'intersection des [dans tangents en M et en 0.
Si nous menons par M un plan Q', parallèle au plan Q, il donnera comme section une courbe qui est l'indicatrice. Le plan tangent eu M aura pour trace sur le plan Q' la tangente M T a l'indicatrice et parallèle à son intersec-
Fig. 551
tiou m'V avec le plan tangent en 0. Celte droite M T devient donc à la limite, l'intersection des deux plans tangents, c'est-à-dire la génératrice d'une développable qui serait l'enveloppe de ces plans tangents.
D'un autre côté, la courbe de contact, c'est-à-dire le lieu des points de tangence, est la courbe OMC, dont la tangente est, à la limite, le diamètre I M de l'indicatrice.
Or, dans une conique, un diamètre IM et la tangente MT a son extrémité sont conjugués ; le théorème est donc démontré.
S 450. — Conséquences pour les lignes d'ombre ou de perspective.
1° La langeutc à la courbe d'ombre propre d'une surface est conjuguée du rayon lumineux du point de contact ;
2° La tangente au contour apparent d'une surface est conjuguée du rayon visuel du point de contour apparent;
3° Lorsque deux surfaces sont simplement tangentes en un point, les ligues d'ombres propres n'ont pas les mêmes tangentes ; mais si les surfaces sont oseulatrices, alors elles ont la même indicatrice, et, par suite, les séparatrices d'ombre sont tangentes entre elles.
Remarque. — La propriété des tangentes conjuguées se conserve en projection, car une conique et deux de ses diamètres conjugués se projettent suivant une autre conique et deux de ses diamètres conjugués.
§ 451. — Lignes d'ombre ou de perspective sur des surfaces à courbures opposées.
(a) Surfaces en relief. — Supposons que nous ayons à chercher la séparatrice d'ombre propre d'une surface quelconque. Appliquons la méthode des plans sécants et coupons ta surface par un plan ; nous obtiendrons ainsi une section plane. Si le plan sécant passe par le point lumineux, les tangentes menées du point éclairant à la section sont les rayons lumineux tangents au corps et situés dans ce plan. Les points de contact de ces tangentes sont des poinls de la séparatrice d'ombre propre sur le corps.
On classera ces points suivant la manière dont le rayon lumineux vient y rencontrer la surface ; nous aurons :
1° Des points réels utiles, tels que A et A (fig. o32), caractérisés par ce fait que le rayon lumineux y est, aux environs, extérieur à la surface;
2° Des points réels noyés tels que B. Le rayon lumineux y est en réalité extérieur à la surface, mais il a été, auparavant, arrêté par une antre portion
Fig. 552 Fig. 553
de la surface. Un pareil point est dans ce que nous nommerons l'ombre autoportée, c'est-à-dire dan» l'ombre portée par la surface sur elle-même;
3° Des points virtuels, tels que V. Le rayon lumineux y est, aux environs, intérieur à la surface.
Nous aurons donc trois espèces de branches de courbes séparatrices. Les branches réelles utiles (ou simplement branches réelles). Les branches réelles noyées (ou simplement branches noyées), et les branches virtuelles.
Si l'on prolonge un rayon réel, tel que A, il pourra se faire qu'il aille rencontrer eu al la surface. Le point ai sera un point de la courbe A'omhre autoportée.
(b) Surfaces en creux. — Prenons (fig. 553) une surface en creux qui soit, pour ainsi dire, le moule de la surface précédente, et coupons-la par le même plan sécant. Il est facile de voir que tous les poiuts. tels que A, qui (lîg. 552) étaient réels, deviennent maintenant (fig. 553) des points virtuels A', A', B', tandis que les points virtuels V, V, deviennent, au contraire, réels.
.s 452. — Points de passage.
(a) Jonction des courbes. — On conçoit facilement qu'eu faisant varier convenablement le plan sécant il soit possible de réduire de plus en plus l'étendue de la portion de section A V ai de la figure 552. De telle sorte qu'à la limite les trois points A, V et al étant réunis en un seul la section présente l'aspect de la figure 554. Alors 1j point ir ainsi obtenu prend b nom de point de passage : en ce point il y a inflexion de la courbe de section et le rayon lumineux qui lui correspond est tangent au point d'inflexion.
Cette discussion prouve que la branche virtuelle, lieu des points V. tend
Fig. 551 Fig. r>:»r>
à se réunir k la brandie réelle, lieu des points A, de même que l'ombre autoportée, lieu des points al. Cette triple réunion se fait en un même point m, qui est le point île passage.
Nous démontrerons au paragraphe suivant qu'en ce point de passage ir, les trois courbes qui se réunissent ont une même tangente qui est le rayon lumineux.
Quant k la branche noyée, lieu des points B, elle cesse a un moment donné d'être noyée, lorsiue le rayon lumineux (fig. 555) qui était tangent en A', est aussi tangent en P, autrement dit est bitangenl.
On voit dans ce cas que le point P est un point de perte, tel que nous l'avons défini dans les ombres usuelles. Nous avons démontré qu'en tout point de perte le rayon lumineux est tangent a la courbe d'ombre portée.
(b) Théorème. — Eu un point limite, 1° le rayon lumineux est une asymptote de l'indicatrice de la surface du corps, et 2° il est tangent k la courbe d'ombre propre.
En effet, puisqu'il s'agit d'un point de passage, si on le considère comme appartenant à l'arc réel qu'il termine, il appartient à une tangente extérieure ; mais il appartient aussi k une tangente intérieure, comme étant l'extrémité d'un arc virtuel. Le rayon lumineux est donc d'un coté intérieur, et de l'autre côté extérieur à la surface. En ce point, la section faite par le plan auxiliaire présente une inflexion (figure 554), et le rayon lumineux est tangent en ce point d'inflexion.
Or, si la section faite par le plan sécant auxiliaire présente une inflexion, c'est que son rayon de courbure y est infini. La section normale qui passerait par le rayon lumineux aura donc aussi, d'après le théorème de Meusnier, un rayon de courbure infini. Mais l'indicatrice a ses rayons vecteurs proportionnels aux ravous de courbure des sections normales. 11 faut donc que le rayon vecteur de l'indicatrice qui répond au rayon lumineux soit infini ; autrement dit, il faut que le rayon lumineux soit une asymptote de l'indicatrice. Le premier point est démontré;
Cela posé, d'après le théorème des tangentes conjuguées, la tangente de la séparatrice est conjuguée du rayon lumineux. Mais, dans une hyperbole, l'asymptote est à elle-même sa conjuguée ; on voit donc ainsi qu'aux points limites, les rayons lumineux sont tangents à la courbe d'ombre propre. C. Q. F. 1).
(c) Théorème réciproque. — Si du point lumineux on mène une tangente à la courbe d'ombre, le point de contact sera un point limite.
En effet, la conjuguée du rayon lumineux sa confond avec le rayon lumineux lui-même. Donc, celui-ci est une asymptote de l'indicatrice ; par suite, il est oscillateur à la surface, et le point où il touche cette surface est un point limite, car toute section qui contiendrait le rayon lumineux y présenterait une inflexion comme sur la figure 55i.
((/) Nota. — Dans la pratique du dessin, si des projections du point éclairant on mène des tangentes aux projections de la séparatrice d'ombre, les points de contact sont les projections des points limites. Toutefois il faut s'assurer que les plans tangents à la surface aux poiuts déterminés ne sont pas perpendiculaires aux plans de projection, car dans ce cas, la tangente a la projection de la courbe peut ne pas être la projection de la tangente à la courbe de l'espace.
On a vu que si une courbe a sa tangente passant par le point visuel, cette courbe présente en perspective un rebroussement, et que le cône perspectif présente lui-même un rebroussement le long de cette tangente. Ce fait est vrai aussi pour les ombres, c'est-a-dire pour le cas où le point visuel est remplacé par un flambeau. Le cône d'ombre est formé par les rayons qui s'appuient sur la courbe d'ombre propre. Les génératrices qui sont tangentes k la courbe d'ombre sont donc, comme en perspective, des génératrices de rebroussement pour ce cône. Ainsi, les rayons lumineux limites, c'est k-dire qui aboutissent aux points limites, sont des génératrices de rebroussement du cône d'ombre.
S 453. — Tangente en un point de l'ombre autoportée.
(a) Point quelconque. — Soit le rayon lumineux S A (fig. 552), qui donne le point «I de la courbe d'ombre portée. La taugeute k l'ombre autoportée en al est l'intersection du plan tangent en ce point k la surface, et du plan tangent au cône d'ombre le long de la génératrice S A. Or ce plan est le même que le plan tangent au point A de la surface. Donc la tangente au point al est l'intersection de deux plans tangents k la surface, l'un au point A, l'autre au point a[.
(b) Point de passade. — Eu un point de passage, tel que t: (fig. 554), ces deux plans tangents ont leurs points de contact A et ai infiniment voisins, et d'après le théorème des tangentes conjuguées, ils se coupent suivant une droite conjuguée de la ligne qui joint leurs points de contact, laquelle est le rayon lumineux A al. Mais nous venons de voir que, au point tt, le rayon lumineux est l'asymptote de l'indicatrice. Donc, la tangente k la courbe d'ombre portée au point de passage t. est, elle aussi, le rayon lumineux.
(c) Résumé. — Aux poiuts de passage, trois courbes (séparatrice réelle, séparatrice virtuelle, ombre autoportée) vicuuent se rencontrer, et elles oui pour tangente commune le rayon lumineux. De plus, le cône d'ombre propre y présente une génératrice de rebroussement.
§ 453 bis. — Généralisation aux contours apparents.
Les principes précédents s'étendent aux contours apparents en perspective et en projecliou.
Nous avons indiqué, dans la seconde partie, les particularités que présente le contour apparent d'un tore. Toutes les surfaces k courbures opposées seront dans le même cas.
La figure 55ti donne la perspective d'un piédouehe. Le contour apparent est réel de a eu a), quoique caché de a en b.
Fig. 556
Au point w, point de passage, il devient virtuel. Il présente un rebroussement et se coutinue. virtuel, de w en m et w. Eu réalité, aux poiuts w et a> l'œil cesse de percevoir un contour. Le contour réel, a b ai, semble se perdre dans la masse du solide.
§ 454. — Tangente à la séparatrice d'une surface de révolution .
Le lecteur se reportera k l'épure qui donne un point de la séparatrice, et li cherchera la tangente en opérant comme suit :
1° Le plan tangent du point de contact sera mené et, dans ce plan, on construira l'indicatrice finie la plus simple.
2° On mènera par son centre le rayon lumineux, et le diamètre conjugué de ce ravon sera la laugenle cherchée.
Il sera inutile de tracer la courbe. La connaissance de ses axes ou même de deux diamètres conjugués do sa projectiou suffira pour la solution graphique.
