ÔN

Par conséquent : — = cos. a, et par suite : pi = p cos. a. Soient O 1 et O I' les deux rayons de courbure, on aura : O I' = O I cos. a,

et par suite le point V sera la projection du point I sur le plan oscillateur. C. Q. F. D.

(6) Conséquences. — Il résulte du théorème de Meusnier joint au théorème d'Euler que la connaissance des rayons de courbure principaux entraîne celle des rayons de courbure de toutes les sections normales ou obliques faites par des plans passant par le même point.

§ 442. — Lignes de courbure.

(«) Normalies d'une surface. — Si, après avoir pris une courbe quelconque sur une surface, on mène les normales a la surface par les différents points de la courbe, ou donne naissance à une surface réglée qui se nomme une normalie.

Cette normalie sera, en général, une surface gauche.

(6) Nurmalies développables. — On donne le nom de lignes de rourbltre d'une suiface aux courbes tracées sur elle et telles que les normalies qui leur correspondent forment une surface dévcloppable, c'est-a-dire soient, eutre elles, à des distances infiniment petites au moins du troisième ordre.

Soit 0 (fig. 545) un point de la surface, et M un point infiniment voisin pris sur l'indicatrice. Nous allons chercher dans quelle direction 0 M il faut

Fig. 5in

se déplacer sur la surlace, pour que la normale MO, au point M infiniment voisin, rencontre la normale 0 Z, à un infiniment petit près du troisième ordre.

La normale en 0 est la droite 0 Z perpendiculaire au plan de l'indicatrice.

Soit M G la normale a La surface au point M.

La projection M g sur le plan de l'indicatrice est perpendiculaire sur la tangente MU cette courbe, et la plus courte distance o des deux normales est projetée en vraie grandeur suivant la droite ; y perpendiculaire menée sur M y par le pied z de la normale en 0.

Si le point M est un point quelconque île l'indicatrice, la distance z y n'est pas nulle. Elle est du même ordre qu'un arc pris sur l'indicatrice. Elle est donc du premier ordre.

Mais si l'on prend le point en A ou eu B aux sommets de l'indicatrice, ces points sont les seuls pour lesquels la normale passe par le centre de la courbe. Par conséquent, c'est en A ou eu B qu'il faut prendre le point M, infiniment voisin du point 0, pour que les deux normales MO et 0 Z se rencontrent .

Eu réalité leur distance est infiniment petite de l'ordre des quantités négligées dans la construction de l'indicatrice, c'est-a-dire du troisième.

Nous concluons de là que en chaque point de la surface il passe deux lignes de courbure 0 A et 0 B tangentes aux sections principales, c'est-à-dire tangentes aux deux axes de l'indicatrice.

11 existe deux séries de ligues de courbure. Les unes sont les trajectoires orthogonales des autres, et par conséquent, ia connaissance des premières entraîne celle des secondes.

S'il existe des ombilics, c'est-à-dire des points pour lesquels l'indicatrice est un cercle, dans ce cas, deux normales infiniment voisines se rencontrent toujours, et l'on y trouve des directions de lignes de courbure dans tous les sens. En ces points les directions des ligues de courbure paraissent indéterminées au premier abord.

§ 443. — Lignes de courbure des surfaces développables.

(a) Développables quelconques. — Sur ces surfaces, les lignes de courbure de la première série sont les génératrices de la surface, puisque les normales le long des génératrices forment un plan.

Les autres sont les trajectoires orthogonales des premières, c'est-a-dire les développantes de l'arête de rebroussement.

(b) Cylindres. — Les lignes de courbure sont les génératrices et les sections droites du cylindre.

(c) Cônes. — Oc sont les génératrices et les sections faites dans le cône par des sphères ayant toutes leur centre au sommet du cône.

Pour les cônes, les cylindres et les surfaces développables, un des rayons de courbure principaux étant infini, l'indicatrice est formée par deux lignes parallèles.

§ 443 bis. — Lignes de courbure des surfaces de révolution (fig. 546).

(a) Lignes de counBunE. — Les lignes de courbure sont les méridiens et les parallèles. En effet, le long des méridiens, les normales forment un plan qui est le plan méridien, et le long d'un parallèle, elles forment un cône.

(6) Direction des sections principales. — En un point M M' (fig. 546), les plans des sections principales sont donc : 1° le plan méridien et 2° le plau perpendiculaire au plau précédent mené par la normale en ce point, c'està-dire ayant pour trace sur le plan méridien la normale M' I' J'.

Fig. b46

nier, le rayon de courbure de la section méridienne étant M' I'. par exemple, je dis que celui de la deuxième section principale sera M' J'.

On aura, en effet :

M' 0' (rayon du parallèle) = M' J' eus. a ce qui est l'application de la formule de Mcusnier.

Par conséquent, dans une surface de révolution, les deux rayons de courbure principaux sont : l'un le rayon de courbure du méridien, l'autre la portion de la normale au méridien comprise entre ce méridien et l'axe.

Si le méridien a sa convexité tournée du côté de l'axe, comme cela se présente pour le point N', les centres de courbure sont situés de part et d'autre du plan tangent. La surface est à courbures opposées el l'indicatrice est une hyperbole.

Au premier point M' l'indicatrice est elliptique.

Au point K', à tangente horizontale séparant la partie concave de la partie convexe du méridien, le deuxième rayon principal est infini, puisque la normale au méridien rencontre l'axe à l'infini.

L'indicatrice se compose de deux lignes parallèles.

§ 444. — Lignes de courbure sur les surfaces enveloppes de sphères.

Toute caractéristique étant la limite de l'intersection de deux sphères infiniment voisines, est un cercle de la sphère génératrice. Les normales à la surface aux différents points d'une caractéristique sont aussi normales à la sphère et concourent à son centre ; elles forment donc un cône, et, par suite, les caractéristiques forment la première série des lignes de courbure. La seconde série est formée par les trajectoires orthogonales des lignes précédentes.

§ 445. — Surfaces osculatrices.

Une surface est dite osculatrice d'une autre en un point 0, lorsqu'elle a même plan tangent en ce point, et les mêmes rayons de courbure pour toutes les sections planes passant par ce point.

D'après les théorèmes d'Euler et de Meusnier, il suffit que les det.x sur-

faces aient mêmes rayons principaux, c'est-à-dire même indicatrice, pour être osculatr'ces. Une sphère ne peut être osculatrice en un poiut, a moins que ce dernier ne soit un ombilic.

Il existe une inlinité de surfaces du second degré qui peuvent être osculatrires de la surface donnée en un poiut 0. En effet, prenons le cas où la surface est convexe. Soient R et R' ses rayons principaux. La surface osculatrice sera un ellipsoïde (fig. 547).

Sur la normale prenons arbitrairement le centre de cet ellipsoïde en I, a

Fig. 547

une distance 0 I = c. Soient a. et b les demi-axes de son ellipse principale, parallèle au plau tangent.

L'ellipse X 0 Z aura pour demi-axes les quantités c et a. Son rayon de ■courbure au sommet 0 doit être égal îi R et est donné par la formule connue :

H == — d'où a- = c R et a = y/c~R

de même, le rayon de courbure en 0 île la section faite dans l'ellipsoïde par le plan Y 0 Z, doit être égal à R' et il est donué par la formule :

R' = — -, d'où 62 = c R'. et b = i/c R'.

Les deux demi-axes, a et b, sont donc déterminés quand on conuaît lï, R', et quand on se donne arbitrairement c.

Ou peut profiter de l'indétermination laissée sur c pour rendre l'ellipsoïde de révolution.

Si l'on fait a = c, l'ellipsoïde sera de révolution autour de I R, et aura •son axe de révolution parallèle à 0 Y.

Daus ce cas, les formules deviennent :

a2 = a R, d'où a = R, et b r \\\ c — a.

On voit facilement que l'ellipse principale A R est semblable à l'indicatrice.

Si la surface est à courbures opposées, la surface osculatrice est un hyperboloïde (fig. 548).

Kig. 548 Z

On se donnera arbitrairement 0 I, distance du centre, comptée sur la normale.

On calculera le demi-axe réel 14 comme ci-dessus, et le demi-axe imaginaire 1 a.

Si le centre I eût été placé au-dessus du plan tangent .r y, au lieu d'être au-dessous, l'axe réel eût été parallèle à o x, et l'axe imaginaire parallèle à oy. Ou peut également disposer de 0 I pour rendre de révolution l'hyperboloïde osculateur.

Nota. — Il faut bien remarquer que lorsque par le choix fait pour le demi-axe r, de l'ellipsoïde ou de l'hyperboloïde osculateur, on rend la surface de révolution, ce n'est jamais autour de la normale OZ comme axe.

§ 410. — Hyperboloïde oscillateur de raccordement d'une surface gauche. (Faire la figure eu lisant le paragraphe.)

(a) Existence de la surface. — Parmi tous les hyperboloïdes de raccordement que l'on peut mener à une surface gauche le long d'une génératrice, il en est un qui sera osculateur en tous les points. Tour en comprendre la génération, rappelons que trois tangentes à la surface, meuées eu trois points A, R. C de la génératrice, peuvent être prises pour directrices de Phyperboloïde ; rappelons également que toute surface gauche est coupée par sou plau tangent suivant la génératrice et, en plus, suivant une courbe ; et que les asymptotes de l'indicatrice sont, d'une part, la génératrice, et, de l'autre, la tangente a la courbe de section (§ 440).

Cela posé : aux trois points A, B, ('., prenons, connue directrices de l'hyperboloïde, trois droites A a, l\b, Ce non tangentes aux sections faites par les trois plans tangents ; je dis que ret hyperboloïde ne sera pas oscillateur eu tous les poiuts de la génératrice.

Eu effet, cet hyperboloïde aura bien eu A R C deux génératrices confondues en une seule et communes avec la surface ; mais la génératrice infiniment voisine a' b' & de cet hyperboloïde ne peut être confondue avec la génératrice infiniment voisine de la surface. Par conséquent, toute section M N, faite par un plan quelconque, donnera dans les deux surfaces des courbes qui n'auront pas trois points communs confondus eu un seul, et, par conséquent, qui ne posséderont pas le même rayon de courbure.

Si, au contraire, ou prend comme directrices les trois tangentes (/ g, b h et c k aux sections faites par les plans tangents, alors les deux surfaces auront trois génératrices communes confondues en une seule ; toutes les courbes de section auront trois points confondus eu un seul et par suite auront le même rayon de courbure.

(L) Remarque. — En chacun des points de la génératrice, les deux génératrices de l'hyperboloïde sout les asymptotes de l'indicatrice de la surface, et sont.de plus, langcutes aux intersections de la surface par son plan tangent. Oc qui nous permet d'énoncer le théorème suivant :

(c) Théorème. — Les asymptotes des indicatrices aux différents points d'une même génératrice, forment un hyperboloïde oscillateur de raccordement.

Autre énoncé. — Les tangentes aux sections faites dans nue surface gauche par des plans tangents aux différents points d'une même génératrice, forment uu hyperboloïde osculateur de raccordement.

Si la surface est à plan directeur, Phyperboloïde osculateur deviendra un paraboloïde. Ses deux directrices seront les tangeutes aux sections faites dans la surface par deux plans tangents, ou, ce qui revient au même, les asymptotes de deux indicatrices.

§ 447. — Surface du second degré osculatrice d'une surface de révolution le long d'un parallèle.

Soit M (fig. 549), uu point pris sur le méridien d'une surface de révolulion ; Ml le rayon de courbure du méridien; l son centre de courbure. On sait que M I est un des rayons principaux, et que M K, portion de la normale au méridien comprise entre ce méridien et l'axe, est le second rayon de courbure. Cherchons une conique qui ait pour axe l'axe de la surface, et qui soit osculatrice en M au méridien, c'esl-à-dirc qui lui soit tangeute en ayant même centre de courbure. Eu faisant tourner celte conique, elle engendrera une surface osculatrice de la première en tous les poiuts du parallèle M.

Pour trouver une conique passant par le point M, y ayant même centre de courbure I que la méridienne, et, de plus, ayant pour axe de symétrie l'axe 0 Z de la surface île révolution, il suffit d'exécuter, en ordre inverse, la cons. truction donnée (§ 416 — c) pour le centre de courbure d'une conique. On est conduit au tracé suivant :

1 étant le centre de courbure du méridien (fig. 549), et, par suite, de la conique cherchée ; OZ sou axe, cl K le point où la normale rencontre l'axe. Menons K C perpendiculaire sur la normale, et IC perpendiculaire sur l'axe.

Prenons la rencontre C de ces deux droites et joignons C M, nous aurons en 0. a la rencontre avec l'axe, le centre de la conique.

Fig. 549 Fig. 550

Celte dernière est donc déterminée, puisque l'on conuait son centre, ses deux axes en direction, un point M et la tangente en ce point.

Remarque. — Si la position I du centre de courbure est telle (fig. 550) que M C soit parallèle à l'axe, la conique osculatrice sera une parabole, car soncentre est rejeté à l'infini.

Ayant la conique osculatrice en la faisant tourner autour de l'axe, elle engendrera une surface du second degré, osculatrice de la surface donnée en tous les points d'un même parallèle.

§ 448. — Lignes asymptotiques.

On nomme ainsi les lignes tracées sur une surface et tangentes aux asymptotes des indicatrices de tous les points par lesquels elles passent sur la surface .

Lignes géodésiques. — Ce sont les ligues les plus courtes que Von puisse tracer d'un point à un autre sur une surface.

Nous n'étudierons pas ces ligues dans ce cours élémentaire.