OC (/T

Fig. 95 bis (exactement 0,707). Par conséquent, ce

rapport se conservant en projection, on aura assez exactement les points v et w, de petites et grandes diagonales en prenant le point qui les partage aux 7/10 de leur longueur à partir du centre (ou aux 3/10 à partir de l'extrémité).

(c) Construction permettant, avec l'équerre à 45°, de partager rigoureusement une longueur

dans le rapport de — 2-^ Par o et A ( fig . 90) on mène deux lignes à 45°, qui se coupent en a. On raLat v 2

ensuite oa, en o V.

Ce tracé sera surtout utilisé dans les ombres usuelles à 45°.

Fig. 96

§ 72. — Construction d'une ellipse, connaissant les axes. (La figure est à la page suivante.) Procédé dit : par la bande de papier (fig. 97) (en utilisant la différence des axes). Faire glisser la différence PQ = sur les deux lignes d'axe. Le point M décrit l'ellipse.

Fig. 9S

Fig. 99

Nota. — Menant PN et Q N, perpendiculaires sur les axes, le point N de rencontre est un point de la normale N M.

Remarque. — \ ou 5 points par quadrant doivent suffire.

§ 73. — Connaissant deux diamètres conjugués d'une ellipse , construire ses axes en grandeur et direction (fig. 98).

Soit 1, 2, 3, 4,1e parallélogramme circonscrit dont les côtés sont parallèles aux diamètres conjugués. — a' et b' les longueurs des diamètres conjugués OA' et OB'.

Construction (résultant des théorèmes d'Apollonius).

1° Au point B', extrémité d'un des diamètres (b '), élever une perpendiculaire sur l'autre et la prendre en B'Kégalàcet autre (a').

2° Sur OK comme diamètre, tracer une circonférence ; joindre B' au centre I de cette circonférence et prendre en m

et n les intersections de la droite ainsi menée avec la circonférence.

3° Mener omet on. Ces droites sont perpendiculaires entre elles; car l'angle, ho h? est inscrit dans une demi-circonférence. Elles donnent les axes en direction.

4° Le demi-petit axe (b) est égal àB'm, et le demi-grand axe (a) est égal à B 'n. La différence est donc le diamètre vin du cercle.

Nota. — La partie hachée de la figure représente donc la bande de papier toute

placée. 11 ne reste plus qu'à faire glisser m et n sur les deux axes, trouvés ci-dessus, pour que le point B', pris comme point décrivant, donne autant de points que l'on voudra, de l'ellipse.

§ 74. — Projections d'un cercle. — Epures.

(a) 1er Cas. — Le plan du cercle est debout (fig. 99). Soit Oo ',1e centre, B le rayon, -/ l'angle que le plan fait avec le sol.

En élévation, le cercle se projette tout entiersuivant unedroite limitée, B'B', dont la longueur est 2 R, deux fois le rayon.

En plan : 1° Le grand axe est la projection A A du diamètre du cercle qui est parallèle au sol, et par conséquent perpendiculaire à la ligne de terre, puisque le plan est debout. Il est projeté vraie grandeur et par suite égal à R, de chaque côté du centre.

2° Le petit axe est perpendiculaire au précédent; ses extrémités B,B, sont les projections horizontales des points B',B', le plus à gauche et le plus à droite de l'élévation.

{b) 2e Cas. — Le plan du cercle est vertical (fig. 100). — Solution tout à fait analogue.

' El 0

3e Cas. — Le plan du cercle est quelconque (fig. 101).

Problème. — On se donne : 1° un plan par ses deux traces ; 2° un point oo' dans ce plan : ce sera le centre d'un cercle ; 3° le rayon R du cercle. Trouver sur chaque projection, c'est-à-dire en plan et en élévation, les axes des ellipses, projections du cercle.

1° Axes en plan. — Grand axe. — Sur l'horizontale du centre, porter de part et d'autre des longueurs oA et o A égales à R .

Petit axe. — On coupe par un plan vertical o bit passant par le centre et perpendiculaire au grand axe. On rabat en Bi o a (fta = h, hauteur du centre) la ligne de plus grande pente déterminée par le plan obi- et de part et d'autre on porte OBi = R = O Bi. — On relève finalement Bi et Bi en b et b, ce qui donne le petit axe.

2° Axes en élévation. — Construction analogue. Coupe faite par le plan debout o' c' et rabattue en o' Ci p obtenue en reportant la profondeur, p, du centre. — On porte o' Ci = R = o' Ci ; et on relève en c' et c' , ce qui donne le petit axe. Le grand axe D' D' est pris sur la ligne de front du centre; il est égal à 2 R.

Remarque. — 1° En b' et b' , élévations de b et b, les tangentes sont horizontales. En c et c, projections horizontales de c' et de c' les tangentes sont de front.