A. COURBES QUELCONQUES

§ GG. — Définitions. — Courbes planes. — Courbes gauches.

Une courbe plane est engendrée par le mouvement continu d'un point dans un plan.

La courbe est gauche si la trajectoire du point ne peut pas être appliquée sur un plan : Dans cette première partie du cours on ne s'occupera que des courbes planes.

Sécante. — Tangente. — Une sécante AB, rencontre la courbe en deux ou plusieurs points (A, B, C). Une tangente, AT, en un point A est la position limite AC que prend une sécante AB, qui tourne de telle sorte, autour du point A, que le point voisin, B, vienne se confondre avec le point A. En A la tangente a deux points communs avec la courbe confondus en un seul. — Elle peut la recouper ailleurs, en C ' par exemple.

§ G7. — Théorème. — En projections (droites, obliques, perspective ou ombres) la tangente à une courbe de l'espace se projette suivant la tangente à la projection de la courbe (flg. 87).

En effet : La sécante ab sera toujours la projection de la sécante AB de l'espace, b se confondra avec a, en même temps que B avec A, donc les deux sécantes a b et AB deviendront tangentes en même temps.

Nota. — Le théorème est vrai pour les courbes Fig no gauches.

La normale, à une courbe, est la droite AN (fig. 88), menée perpendiculairement à la tangente, par le point de contact A. Pour les courbes planes, la normale sera prise clans le plan de la courbe.

Rebroussent

l^forolrs.

ss ordre) g 68 p0jnts d'inflexion. — Points de re-

haussement.

En un point d'inflexion 1 (fig. 89), la courbe passe d'un côté à l'autre de sa tangente. — En ce point la sécante aib, dont IT est la limite, aurait trois points a b et I qui se confondraient en un seul en même temps. On dit alors que le contact de 1T est du troisième ordre. Pour une tangente ordinaire (fig. 86), il est dit du deuxième ordre.

2" 11 y a rebroussement de premier ordre quand la courbe passe d'un côté à l'autre de sa tangente, AT (fig. 90), mais reste d'un même côté de sa normale AN. Le rebroussement est du deuxième ordre si la courbe reste d'un même côté de sa tangente, et aussi de sa normale (fig. 91).

§ G9. — Concordance des projections d'une courbe.

La figure 92 indique que l'on doit trouver sur les mêmes lignes de rappel : Les points les plus à gauche a a' ce' ; Les points les plus à droite bb' et dd' ; Les points d'inflexion ii' .

Fig. 92

Fig. 93

1° Un point tel que h' k' se nomme un point le plus haut ou le plus bus : La tangente y est horizontale.

2° Un point tel que / ou t, se nomme un point le plus près ou le plus loin (dn mur). — La tangente y est de front. Il n'y a pas concordance entre k', h' et t, I.

Graphiquement parlant, dans une épure (fig. 93), on détermine une courbe par un certain nombre de points bien choisis.

Ils n'ont pas besoin d'être très nombreux. Il est presque plus avantageux, de connaître des tangentes que des points. Un point a, et la tangente en ce point, cela équivaut à deux points.

Un point d'inflexion m, et sa tangente mn, équivalent à trois points.

B. LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. — l'eLLU'SE

§ 70. — Projection d'une circonférence.

La projection, droite ou oblique d'un cercle, est toujours une ellipse. En perspective et dans les ombres au flambeau elle peut être une hyperbole ou une parabole.

Fig. 94

Fig. 93

§ 71. — Rappel de propriétés démontrées dans le cours de mathématiques.

(a) Dans un cercle, deux diamètres à angle droit sont conjugués, c'est-à-dire : que chacun d'eux coupe en parties

égales les cordes qui sont parallèles à l'autre. Dans l'ellipse, projection du cercle, les diamètres correspondants seront donc aussi conjugués.

Ces diamètres seront les axes, si l'un des diamètres du cercle de l'espace est parallèle au plan de projection (fig. 91).

(b) A un carré circonscrit au cercle ABGD (fig. 95) répond un parallélogramme a bed (fig. 95 bis) circonscrit à l'ellipse. Cela suffit pour tracer cette dernière.

En effet : 1° aux points i, milieux des côtés, l'ellipse est tangente à ces côtés.

2° Aux points v, v, de petite diagonale et w, w, de grande diagonale, les tangentes sont parallèles à l'autre diagonale. Et l'on remarquera que sur le cercle

le rapport

OW

sensiblement 0,7

Fig. 94 bis