A. INTERSECTION 1IE DEUX PLANS

Huitième Leçon. g 7g — Généralités sur l'intersection de deux surfaces S et S \

Règle. — On les coupe par une troisième surface dite : auxiliaire, Zi, convenablement choisie. On obtient ainsi deux courbes auxiliaires SZi (intersection de S et de Zi), et S'Zi (intersection de S' et de Zi). Ces deux courbes s"zi et S'Z'i, appartenant à la même surface Zi, se coupent en un ou plusieurs points Mi, Ni, Pi... Ces points étant à la fois sur les courbes SZi et S'Zi, qui sont respectivement sur les surfaces S et S', sont communs à ces deux surfaces ; ce sont donc des points courants de l'intersection cherchée..

Une autre surface auxiliaire Z2 donnera d'autres courbes auxiliaires SZ2 et S7"^, et d'autres points courants de l'intersection : Ma, Ni, P2. . .

On répétera l'opération autant de fois qu'il le faudra, et joignant ensuite par des courbes continues les points courants Mi, M2, M3. . ., Ni, N«, N3. . ., on aura l'intersection cherchée.

Remarque. — Tout revient donc à choisir convenablement la surface auxiliaire Zi ou Z>..., de telle sorte que l'intersection de S et de Zi, et de S' et de Zi, soit plus facile à déterminer que celle de S et de S'.

Fig. 103

| 7G. — Intersection de deux plans quelconques.

Les surfaces auxiliaires Zi et Z* seront d'autres plans, mais dans des positions plus simples (horizontaux, de front, perpendiculaires au mur ou perpendiculaires au sol). Il en suflira de deux puisque, l'intersection étant une ligne droite,

deux points la détermineront.

Nous devons donc, d'abord, chercher l'intersection d'un plan quelconque par un de ces plans dans des positions simples qui serviront, plus tard, de plans auxiliaires.

§ 77. — Intersection de deux plans, dans les cas simples où on peut la tracer à priori.

1° Vlan quelconque P, et plan horizontal H (fig. 102). C'est le problème connu : « Déterminer dans un plan une horizontale (hc, h'c') de hauteur donnée z. » (§ 40, fig. 52).

2U Plan quelconque et plan de front K (fig. 103). C'est le problème Déterminer une ligne de front (cd, c'd') de profondeur donnée. »

3° Plan quelconque P, défini soit par ses traces, soit par trois points, et plan debout T (fig. 104). C'est le problème connu : « Connaissant l'élévation c'd' d'une droite d'un plan P, déterminer sa projection horizontale cd. » En N, le planP est donné par trois points, et en M par ses traces.

Plan P quelconque et plan vertical T (fig. 105). C'est le problème connu : « Etant donné la projection horizontale c d d'une droite, trouver son élévation c 'd '. »

Nota. — Sur la figure M, le plan P est déterminé par deux directrices parallèles A A ' et BB', et sur la figure N, par ses traces.

connu

Fie. 10 i

Us. 106

§ 78. — Intersection de deux plans quelconques. (Emploi de deux plans auxiliaires Zi et z%.) 1° Plans déterminés par leurs traces. — Ces dernières se coupant dans la feuille (fig. 106). — ■ Le premier plan Zi auxiliaire est le plan horizontal : il donne comme ligne auxiliaire, SZi, du premier plan, la trace horizontale Pc, p' c' du

premier plan et comme seconde ligne, S'Zi, la trace horizontale cQ, c' q' du second plan ; ce qui donne comme premier point courant le point ce' .

Le deuxième plan auxiliaire choisi, Z*, est le mur. Les lignes auxiliaires qu'il détermine sont les traces verticales p' d' et q' d' de chacun des plans.

Le deuxième point courant est le point d'd où ces traces se coupent.

L'intersection est cd, c'd' .

i>° Les traces se coupent hors de la feuille (fig. 107). — On empoie deux plans auxiliaires horizontaux, Zi et Z2, déterminant des horizontales qui se recoupent, pour le plan Zi, en mm! et, pour le plan Z2, en nn' . L'intersection est (nin, m' n'). Nota. — On aurait pu employer pour plans auxiliaires deux plans de front, ou un plan de front et un plan de niveau, ou deux plans debout, etc. En un mot, tout plan étudié au § 7(5 pourrait servir de plan auxiliaire.

Nota. — Les élèves s'exerceront à traiter les cas particuliers d'intersection dont ils trouveront les énoncés dans les traités de géométrie descriptive. Nous ne traiterons que les deux cas suivants, qui se présenteront très souvent dans les épures.

§ 79. — Cas où les plans sont définis par leurs traces horizontales sur un même sol et par leurs traces verticales sur deux murs différents (xy et «ri y\) (flg. 108).

Soit P le premier plan : sa trace verticale est donnée en P g' sur le premier mura;?/.

Soit Qi le deuxième plan : sa trace verticale est donnée en fi Qi sur le deuxième mur Xi yi.

Le plan horizontal (le sol), considéré comme premier plan auxiliaire, donne un premier point c, projeté en c et c'i.

Un second plan horizontal quelconque, d'ailleurs, et de niveau arbitraire //, donne les horizontales gd et fd, et, à leur intersection, un deuxième point d, d', d'i.

L'intersection est en plan cd. Sur la première élévation elle est c'd', et sur la deuxième élévation elle est c'i d'i.

§ 8(1. — (Très fréquent.) Plans déterminés, chacun, par leur ligne de plus grande pente.

C'est le cas précédent simplifié (fig. 100).

On emploie encore un plan horizontal auxiliaire à la hauteur h, arbitraire. Il donne les horizontales gb et fb, se

recoupant en b.

Fig. 109 m» L'intersection est ab, en plan.

L'épure donne en «Bt son rabattement et en y l'angle qu'elle fait avec le sol .

§ 81. — Remarque importante (fig. 110). Il arrivera souvent que les deux plans seront : l'un, perpendiculaire au mur (P), l'autre (Q), perpendiculaire au sol. Dans ce cas, chacun d'eux sert, respectivement, de plan projetant à l'intersection, laquelle est, à priori, en plan la trace horizontale a b du plan Q et en élévation la trace verticale a! b' du plan P.