D. INTERSECTION DE DEUX CIRCONFÉRENCES

Fig. 117

Fig. 118

ID sont perpendiculaires à AB. Par conséquent, si en C et en D, nous menons des droites perpendiculaires aux plans respectifs des circonférences, elles seront toutes deux contenues dans le plan 0, et elles se rencontreront.

Soit 0, le point de rencontre. Joignons 0, à un point quelconque, M, du cercle C, et au point A ; on aura OM = 0 A comme obliques d'égal écartement.

De même pour la deuxième circonférence; on aura ON = OA. Donc le point 0 est à égale distance de tous les points de chacune des circonférences, et par suite ces circonférences sont sur une sphère dont le centre serait en 0. C.Q.F.D.

cercles peuvent appartenir à une même sphère

Réciproque. — La réciproque n'est pas toujours vraie, car deux sans se rencontrer. Exemple : cercles C et D (fig. 118).

§ 88. — Epure.

Lorsque le problème de l'intersection de deux circonférences se présentera dans une épure, on le résoudra comme suit :

1° On s'assurera qu'elles sont sur une même sphère réelle ou fictive ; autrement dit, on vérifiera qu'il existe un point 0, duquel tous leurs points sont à égale distance ; cette vérification faite, le point 0 ne servira plus.

2° On cherchera l'intersection A B des plans des deux cercles ; cela fait, une des deux circonférences deviendra inutile.

3° On cherchera, comme § 86, l'intersection de la droite AB, avec une des deux circonférences. On aura soin de choisir celle dont le plan se présentera le mieux, afin d'éviter ou du moins de simplifier un rabattement.

Nota. — Nous aurons à exécuter cette épure dans les problèmes sur les angles (13e, 14° Leçons).

E. PROBLÈMES DIVERS CONDUISANT A DES INTERSECTIONS, A DES ROTATIONS, A DES RABATTEMENTS, ETC.

Fig. 119

Fis. I2U

§ 89. Problème 1. — Par un point A, mener une droite qui en rencontre deux autres, C et D, non situés dans

un même plan.

Solution dans l'espace (fig. 119). — 1° Le lieu géométrique des droites qui, passant par A, rencontrent la droite G, est

un plan. (Nous le déterminerons, en P, par une deuxième droite AG parallèle à C.)

2° Prenons en Al l'intersection du plan Pet de la deuxième droite D. Joignons AM, nous avons la ligne demandée.

Epure (fig. 120). — On a mené (ag — a'g') parallèle à DD', ce qui détermine le plan P. Pour avoir son intersection avec G G', on considère le plan G ' projetant verticalement G : il coupe en (11' — 2 '2) les deux directrices du plan P. On joint, en plan, 1 2, on prolonge en m, jusqu'à G, et am, rappelé en élévation en a' m', est la solution.

Vérification. — Les deux points n et n' où les droites am et a' m' rencontrent D et D4 doivent être sur une même ligne de rappel.

§ 90. Problème 2. — Parallèlement à une direction A A mener une droite qui en rencontre deux autres, G et D. non situées dans un même plan [Epure fig. 121).

1° Je cherche le lieu des droites qui, passant par la droite DD ', sont parallèles à la direction A A '-C'est un plan P que

l'on définit par DD' et par {a g — a' g') parallèle à A A' •

2° On cherche l'intersection de ce plan P, avec la droite G G'. A cet effet, le plan auxiliaire G', projetant verticalement C, donne la droite l'2' — 12, qui, en plan, recoupe en m la droite C. La solution est mn — m'n', parallèle à A A ' •

Vérification. — Les points n et n' de rencontre avec DD' doivent concorder comme ligne de rappel.

§ 91. Application. — Trouver la perpendiculaire commune à deux droites: A et B.

1° On cherche sa direction A A '• — A cet effet, par un point quelconque de l'espace, qu'il sera bon de prendre sur la ligne de terre, on mène deux plans a et p respectivement perpendiculaires sur les droites AetB. On sait qu'il suffit de prendre leurs traces perpendiculaires aux projections de même nom des droites. L'intersection des deux plans a et |î, donne la direction cherchée A-

Cela revient à mener une droite parallèle à la direction trouvée A et qui rencontre les deux droites A et B. C'est le problème résolu au paragraphe précédent. (On devra faire l'épure).

2° On la met en place.

ENONCES D EPURES.