A. PROBLÈMES USUELS

Nota. - Quoique ces problèmes relatifs aux dis(ances aient été, en grande partie, résolus dans les chapitres qui précèdent, nous les reprendrons tous ici, afin d'en donner une idée d'ensemble.

§ 130. — Distance de deux points (fig. 161).

On peut obtenir en vraie grandeur la droite ab - a' // de quatre manières différentes, savoir :

1° En Ai Bi, en rabattant sur le sol, son plan projetant horizontalement; -° En a'b'2' en amenant par rotation le plan précédent à être de front ; ' 3° A2 B2, en rabattant sur le mur son plan projetant verticalement ; 4° En abi, en amenant le plan précédent à être de niveau.

§ 131. — Distance d'un point à une droite.

Il faut abaisser du point une perpendiculaire sur la droite et mesurer sa longueur.

(a) 1" Métuode. Par changement de mur (fig. 102). - 1° On prend en xt m un nouveau mur parallèle à ab - a'b>. (Ici on a pris pour nouveau mur le plan projetant horizontalement la droite.)

2° On reporte les hauteurs, en m'i et a\ b\ et sur ce mur .r, yu l'angle droit,

à obtenir, se projette en vraie grandeur, car Flg l63 * "n de ses côtés, ab, est de front. Donc la per-

pendiculaire demandée est m'i n'i.

3° Par lignes de rappel, on retrouve // et n'. La perpendiculaire est projetée en mn, m' n'.

4° Sa vraie grandeur (S = n'i M2) , s'obtient par rabattement en n'i Ma, comme au § 130.

{/>) 2e Métuode.— Par rabattement direct (fig. 103).— On considère le plan qui contient la droite ab - «7/etle point mm'; on l'amène à être de niveau par un rabattement autour •èj>e) d'une charnière horizontale ma — m' a

A cet effet, la droite ab — a'!/ est rabattue en aBi. Le point m n'a pas bougé si l'on a ?- eu le soin d'y faire passer la charnière. On abaisse alors m Ni perpendiculaire sur aBi cl l'on a en 3 = wNi la distance demandée.

Nota. — On relèvera Ni en n et n' si cela est demandé.

ï (Cl

§ 132. — Distance de deux droites parallèles.

On prend un point mm' sur l'une d'elles et on abaisse de ce point une perpendiculaire sur l'autre, comme au § 131 Ou bien on rabat directement le plan des deux droites et, sur le rabattement, la distance des deux droites se trouve immédiatement en leur menant une perpendiculaire commune.

§ 133. — Distance d'un point à un plan.

Nous commencerons par rappeler que, lorsqu'une droite est perpendiculaire sur un plan, ses projections sont perpendiculaires sur les traces de même nom du plan, c'est-à-dire que la projection borizontale de la droite est perpendiculaire sur les lignes de niveau du plan et la projection verticale sur ses lignes de front.

1er Cas (fig. 164). — Le plan est debout. La solution est immédiate.

En effet, de mm', on abaisse les perpendiculaires mn, — m'n' sur les traces du plan. Cette droite mn — m' n' est de front, car, en plan, elle est parallèle à xy. On a, de suite, en n! sur la trace verticale du plan son intersection avec ce plan

(§ 36). On rappelle n ' en n sur la projection horizontale. Enfin, la perpendiculaire est en vraie grandeur sur l'élévation en m' n', puisque c'est une droite de front.

Nota. — On ramènera tous les autres cas à celui-là par un changement de mur.

2e Cas (fig. 165). — Le plan quelconque est défini par ses traces. On prend un nouveau mur X\ y\ perpendiculaire au plan donné, et l'on est ramené au cas précédent.

Vérification. — m'n' doit être perpendiculaire sur la trace verticale a c'.

3e Cas (fig. 166). — Le plan est défini par trois points. On en cherche une horizontale (l 'c'— 1 c). On prend un nouveau mur Xi yi perpendiculaire à cette horizontale, et l'on est ramené au premier cas.

Sur le nouveau mur, la perpendiculaire estm'm'i, vraie grandeur. On rappelle m'itt'i en m et n et ensuite en n' sur l'ancien mur par report de hauteur.

S 134. — Distance de deux droites quelconques.

{a) Méthode générale. (Voir la solution déjà donnée plus haut, à « droites et plans perpendiculaires. » ) (b) Une des droites (A A') est perpendiculaire a l'un des plans de projection, par exemple au plan horizontal (fig. 1C>7 et 168).

La solution est immédiate.

En effet (fig. 167 en perspective), soit MN la perpendiculaire commune, la droite A de l'espace étant verticale, la

Fig. 163

Fig. I6G

Fie. 167

droite M N qui lui est perpendiculaire est une horizontale. Dès lors, l'angle BMN, qui est aussi un angle droit, doit se projeter horizontalement en vraie grandeur suivant un angle droit nmb. Mais, comme la droite A se projette horizonta-

lementtout entière suivant un F,s- I6S Fi- 169 point a, il en résulte que, en

projection horizontale ( voir flg. 108), la perpendiculaire commune s'obtient immédiatement en abaissant am, perpendiculaire sur B.

Il ne reste qu'à rappeler m en m' sur B' et à mener m ' n' parallèle à xy.

(c) Une des droites A A' est de niveau (fig. 169). — Par un changement de mur, on ramène au cas précédent.

On prend un mur x\ yi perpendiculaire sur A. On reporte les hauteurs.

Sur l'épure, nous avons supposé que le plan horizontal avait d'abord été relevé, en xy, au niveau de la droite A'. Il faut donc reporter des hauteurs relatives.

La perpendiculaire demandée est a'\ n'\ — 5. Elle est perpendiculaire surd'ift. Son pied est n'i rappel*'' en n, puis ensuite en n'. En plan elle est mn, parallèle à xi yi. m est ensuite rappelé en m' sur le mur xy, sur la droite A'.

Remarque. — Si on avait employé la méthode générale (indiquée $ 65), on aurait été conduit exactement aux mémos constructions.