SE RESOLVANT PAR LA CONSIDERATION HE LIEUX GEOMETRIQUES
1 y Point]
ni
Jl..<b, (3e Point \
J \bl donné'
§ 13o. — Problème 1. — Trouver un point situé à des distances données de deux points et d'un plan donné.
(a) Solution dans l'espace. — 1° On considère deux sphères décrites des points donnés A et B comme centres avec les distances a et p données comme rayons.
ï2° On les coupe toutes deux par un même plan Q, parallèle au plan P et distant de celui-ci de la distance donnée /). (Deux plans Q et Q' répondent à la question.)
3° Le plan 0 coupe les sphères suivant des cercles, dont les points d'intersection M et N sont les points demandés.
(b) Épure (tig. 170). — Le mur xy est pris perpendiculaire au plan P.
On mène, de suite, le plan 0 parallèle à P et à la distance p.
De a' et b' avec a et ,8 pour rayons, on décrit des sphères. Les cercles d'intersection de ces sphères avec le plan Q, mené parallèlement au plan P et à une distance/; de ce plan, ont pour centres ï et J', rabattus sur le mur en Ii et Ji, et pour rayons les distances i'V et j'r' .
On décrit les cercles Ii etJi. lisse recoupent en Mi el Ni relevés en m ' m et n ' n.
Les points mm' et nn' sont les points cherchés.
GÉOM. DESC. 7
S 136. — Problème 2. — Trouver une droite passant par un point donné (S) et située à des distances données a et p de deux points donnés A et B.
(a) Solution dans l'espace. — 1° On considère deux sphères décrites de A et B comme centres avec a et fi pour rayons. 2° On circonscrit à ces sphères des cônes ayant le point S pour sommet.
3° On cherche les génératrices S M et S N suivant lesquelles se coupent ces cônes.
(b) ÉruRE. — Elle est identique à celle qui répondait au problème traité au § 100 : « Par un point mener une droite faisant des angles donnés avec deux droites données. » Se reporter à cette épure.
Fig. 171
§ 137. — Problème 3.— Trouver une droite parallèle à une direction donnée A et passant à des distances données a et p de deux points donnés A et B. .
(n) Solution dans l'espace. — 1° Construire deux sphères ayant A et B pour centres et a et (3 pour rayons.
i2° Leur circonscrire deux cylindres de direction A- 3° Chercher les génératrices, intersections de ces cylindres. {b) Épure. — Le mur a; y est pris parallèle à la direction A A' ; et même il passe par un des points, a a' par exemple.
Les bases des cylindres seront prises dans un plan de bout, perpendiculaire sur A -Sa trace verticale est la droite Q. Il est inutile d'indiquer sa trace horizontale.
Les centres de ces bases seront a' a et i'I.
Le plan de base Q est rabattu de front sur le plan vertical, autour de la droite 0, comme charnière; le premier centre a a' ne bouge pas et le second centre %' i est rabattu en h, obtenu en reportant en i'h la profondeur i"i = e. Les cercles de base rabattus ont pour rayons a et fi. Ils se coupent en Mi et Ni qu'il ne reste plus qu'à relever en m ' et n1 et à rappeler ensuite en m et n par reports de profondeurs. On prendra nn" — »'Ni et mm" — m'Mi. Les solutions sont les droites mp et »K menées, en plan, parallèles à la direction A - (On ne les a pas tracées en élévation.)
§ 138. — Problèmes 4 et 5. — Trouver une droite passant par un point donné S (problème 4) ou parallèle à une direction A donnée (problème 5) et situées à des distances données, a, d'un point A et pt d'une droite donnée M.
(a) Solution dans l'espace pour le problème i. — 1° Du point A comme centre avec a pour rayon, décrire une sphère et lui circonscrire un cône de sommet S ;
2° Prendre un cylindre ayant pour axe la droite M et pour rayon lui mener un plan tangent P par le point S ; la droite demandée sera dans ce plan ;
3" Le plan P, passant par le sommet S du cône, recoupera ce cône suivant deux génératrices qui seront les droites demandées.
(b) Solution nu problème 5. — Au cône de sommet S et circonscrit à la sphère A, a, substituer un cylindre circonscrit de direction A-
§ 139, — Problèmes 6 et 7. — Trouver une droite passant par un point donné S (problème 6) ou parallèle à une direction A donnée (problème 7), et passant à des distances données a et p de deux droites données A et B.
Solution. — 1° Prendre A et B pour axes de cylindres, ayant a et [i pour rayons ;
-2° Mener à ces cylindres des plans tangents P et Q, passant par le point S (problème 6) ou parallèles à la direction A donnée (problème 7);
3° Chercher les droites suivant lesquelles se coupent les plans tangents précédents. (Plusieurs solutions.) Nota. — On devra traiter ces questions en épures.
