B. PROJECTIONS DIVERSES D'UNE COURBE GAUCHE

§ 152. — Projection avec point d'inflexion.

Théorème. — Lorsque, en un point M d'une courbe gauche, le plan osculateur contient la projetante (rayon visuel,

projetante, rayon lumineux ) du point, en projection

m, la courbe présente un point d'inflexion (fig. 190).

En effet, le plan osculateur contient, par hypothèse, la tangente MT et la projetante M m. Sa trace zmt est la tangente à la projection de la courbe ; mais il est le seul plan tangent qui soit traversé par la courbe A M B, dans l'espace. Donc, en projection, la courbe amb passera d'un côté à l'autre de la tangente zmt, ce qui caractérise en m un point d'inflexion. C.Q.F.D.

§ 153. — Projection avec point de rebroussement (fig. 191).

Théorème. — Lorsqu'on un point, M, d'une courbe gauche de l'espace, la tangente est en même temps une projetante, en projection m, 1° la courbe présente un point de rebroussement et 2° la tangente y est la trace du plan osculateur sur le plan de projection.

En effet, soit Mm la projetante qui, par hypothèse, est en même temps une tangente à la courbe. Comme projection, elle donne un point unique m et, par conséquent, la tangente mt de la projection n'est plus, dans ce cas, la projection de la tangente M m de l'espace. Cherchons-la, cependant.

A cet effet : menons le plan osculateur Q, et considérons la sécante MA, de l'espace, projetée en ma. La ligne Mm et le point A définissent un plan tangent ordinaire, dont la trace sur le plan II est ma. A la limite, lorsque A se confond avec M, ce plan tangent M ma A devient le plan osculateur. Donc m a a pour limite z m t, trace du plan osculateur, ce qui démontre la deuxième partie du théorème.

De plus, en m, la courbe passe d'un côté à l'autre de zt ; cela résulte, comme au § 152, de ce que la courbe dans l'espace traverse son plan osculateur. 11 y a donc, en m, inflexion ou rebroussement de première espèce. Je dis qu'il y a rebroussement et non pas inflexion.

En effet, menons tout autre plan tangent Nw m, que le plan osculateur. Celui-là n'est pas traversé par la courbe. Donc en projection la courbe bma doit être d'un même côté de la droite mn ; donc il y a rebroussement.

Nota. — On généralisera ces théorèmes aux cas de la perspective et des ombres. Comme expérience on prendra un lil de fer en forme de courbe gauche et on vérifiera expérimentalement ces théorèmes à la vue, ou à l'aide des ombres.

Fig.

Han os,

•alut"

Plan oscu

if-