JN

Ki g. 233

la surface

Fig. 234

§ 181 bis. — Intersection d'une droite avec un cône, une pyramide, un cylindre ou un prisme.

(a) Solution dans l'espace. — 1° Par la droite donnée GD, on fait passer un plan auxiliaire donnant la section la plus simple possible dans

c'est-à-dire donnant une ou plusieurs génératrices. Pour le cône et pour la pyramide, ce plan (lig. 232),GDSF,

passera parle sommet ; pour le cylindre, ce plan, GDF, sera parallèle aux génératrices du cylindre.

2° On cherche en F H (fig. 232), ou en FD (fig. 233), la droite d'intersection de ce plan auxiliaire avec le plan de base du cône ou du cylindre.

3° On prend en p q — mn, les intersections de cette droite avec la courbe de base, et on en déduit en Sp S q — SmSw (fig. 232), ou bien (fig. 233) en Mm et N n les génératrices de section du plan auxiliaire.

4° Les points P, Q, M, N (fig. 232), MN (fig. 233), où les génératrices rencontrent la droite donnée, sont les points cherchés.

(b) Épure pour une pyramide (fig. 234). — Son sommet est s s'. Sa hase est un triangle a b c — a 'b' c' , situé sur un plan de bout P P 'Q '/La droite est g d — y'd' .

Par le sommet ss' on mène une droite sf — s' f parallèle à la droite donnée, et le plan auxiliaire se trouve défini par les deux droites parallèles g ti — g' d' et sf — s'f. On obtient en d' d et f f les traces de ces droites sur le plan de base, et la droite f d... est la trace du plan auxiliaire sur le plan de hase. Elle recoupe en m et n, rappelés en m' et n', le triangle de base. Les génératrices auxiliaires d'intersection sont s w — s' m' etsn — s' n' ; elles recoupent la droite donnée en MM' et N N ', qui sont les points cherchés.

§ 182. — Méthode générale pour la recherche de l'intersection de deux surfaces coniques ou cylindriques.

Nous expliquerons la méthode générale pour deux cônes. Nous l'étendrons ensuite à toutes les intersections que peuvent donner, en les prenant deux à deux, les surfaces suivantes : cône, pyramide, cylindre et prisme.

(a) Points courants de l'intersection. — En principe, on coupe les deux surfaces par des plans auxiliaires convenablement chiosis, c'est-à-dire donnant des intersections auxiliaires aussi simples que possible. Or, clans un cône, les sections

planes les plus simples sont celles qui passent par le sommet, car elles sont formées par une ou par plusieurs génératrices. On est donc conduit à opérer comme suit :

1° On joint les deux sommets S et T (fig. 235), par une droite, dont on prend la trace K, sur le plan de base commun aux deux cônes. Cette droite se nomme la ligne des sommets et le point K s'appelle le point de divergence.

2° Par la droite des sommets, on fait passer une série de

plans auxiliaires; leurs traces, telles que Kdc II, divergent toutes du point K. Raisonnons sur le plan auxiliaire n° II.

3° On prend en c et d sur une base, et en 2 et 12 sur l'autre, les intersections de sa trace avec les courbes de base, et on en déduit, en T c et Td sur le cône T, et en S 2, S 12, sur le cône S, les génératrices d'intersection auxiliaire.

4° Ces génératrices se recoupent, deux à deux, en quatre points C2, Ci2, D2, D12, qui sont des points courants de l'intersection.

(b) Tangente en un point courant, Ci. — Elle est l'intersection des deux plans tangents. On en cherche les traces 2a; et c y.

Si elles se coupent dans les limites de l'épure, en un point cp par exemple, en joignant le point ? au point C2 on aura la tangente.

Si elles se coupent hors de l'épure (c'est le cas de la figure 235), alors on considère chaque plan tangent comme un • cône, mais dont la base serait une ligne droite au lieu d'être une ligne courbe. Ainsi le plan 2x sera considéré comme un cône de sommet S et de base 2 x. Le plan cy sera un cône de sommet T et de base cy. Dès lors on cherche un point de leur intersection comme on l'a fait pour les véritables cônes S et T.

On utilise pour cela le même point de divergence K. On coupe par un plan auxiliaire Ky x; on détermine les génératrices d'intersection auxiliaire #S et y T, et leur rencontre donne, en 9, un point de la tangente.

§ 183. — Ordre à apporter dans le numérotage des points.

Nous conseillons de numéroter les plans auxiliaires par des chiffres romains : Plan n° I, n° II. Sur une des bases, les points seront numérotés :

1 et 11, s'ils sont donnés par le plan n° I ;

2 et 12, s'ils sont donnés par le plan n° 2

n° IX.

9 et 19, s'ils sont donnés par le plan n° IX.

Sur l'autre base, les points recevront des lettres a, b, c De telle sorte qu'un point de l'intersection dans l'espace

sera désigné à la fois par une lettre et par un numéro. Ainsi le point C12 sera donné par le plan n° II; il appartiendra à la génératrice T C, de l'un des cônes, et à la génératrice S 2, de l'autre.

§ 184. — Plans-limites et points-limites (même figure 235).

Pour qu'un plan auxiliaire donne des points courants, il faut que sa trace coupe à la fois les deux bases. Par suite, les seules traces utiles seront comprises entre la trace Kfsa 1, tangente à la base de gauche, et sécante à celle de droite, et la trace K, y, 19,9, tangente à la base de droite, et sécante à celle de gauche.

Ce premier et ce dernier plan utiles se nomment les plans-limiles. Chacun d'eux, Kflal, par exemple, ne donne plus que deux points A et B dans l'espace, au lieu de quatre. En réalité, le point-limite A est la réunion de deux points confondus en un seul sur la génératrice a A. Il faut imaginer les génératrices voisines C-> et C12, se rapprochant indéfiniment de a A. Les deux points C% et C12 arrivent à se confondre en A.

Cela nous permet d'énoncer le théorème suivant :

§ 183. — Théorème des points-limites. — Sa généralisation.

En un point-limite, la courbe est tangente à la génératrice de celle des deux surfaces qui est coupée par le planlimite.

Ce théorème est général ; démontrons-le pour toute espèce d'intersection.

On sait que pour avoir l'intersection de deux surfaces S et S', on les coupe par une surface auxiliaire Z, qui donne deux intersections auxiliaires, savoir : une courbe S Z avec S, et une courbe S' Z avec S'.

Les points communs aux courbes SZ et S'Z sont des points courants de l'intersection. Or, supposons que la surface auxiliaire Z soit limite pour S, c'est-à-dire qu'elle soit tangente à la surface S tout le long de la courbe auxiliaire SZ qu'elle y détermine, tandis qu'elle recoupera S' suivant l'auxiliaire S 'Z. Je dis qu'au point correspondant, a, de l'intersection, la courbe cherchée est tangente à S 'Z, c'est-à-dire à l'auxiliaire de la surface coupée.

En effet, au point a la tangente à l'intersection définitive est la droite commune au plan tangent T de la surface S et au plan tangent T de la surface S'. Ce sera la droite que nous nommerons T T ' (1). Mais en ce même point a, la tangente à la courbe auxiliaire S 'Z est l'intersection du plan tangent T' à la surface S' et du plan tangent à la surface Z, lequel, par hypothèse, est aussi le plan tangent T à la surface S ; la tangente à la courbe auxiliaire S 'Z est donc aussi la droite TT'. C. Q. F. D.

Fig. 236

§ 18G. — Distinction des différents cas et cheminement des points.

(a) Pénétration. — Considérons ce qui se passe sur le plan commun des deux bases (fig. 236).

Sur l'épure des bases, si les traces limites k * et K p sont tangentes à une même base B, et sécantes toutes deux à l'autre B, alors deux zones(marquées de hachures sur le plan) et appartenant toutes deux au même cône B' seront en dehors

de l'intersection. L'intersection se composera (fig. 237, perspective) de deux courbes, l'une PQ, dite courbe if entrée, l'autre MN, dite courbe desortie. 11 y a pénétration du cône B dans le cône B '. (b) Cheminement des points. — méthode des deux mobiles. — Pour joindre, comme il convient, les points donnés 4 par 4, par chaque plan sécant auxiliaire, on imagine deux mobiles cheminant en même temps sur chaque base et se trouvant, au même instant, sur une même trace auxiliaire. Ainsi le mobile de gauche sera en m (fig. 236) quand celui de droite sera en 1 ; celui de gauche, marchant comme l'indique la flèche, arrive en n quand l'autre arrive en 2 ; mais celui de gauche ne pouvant dépasser le point-limite n, revient sur ses pas jusqu'en m, tandis que celui de droite fait le tour complet de la base B. On obtient ainsi la courbe de sortie. Pour la courbe d'entrée,

(1) T T ' veut dire, dans noire notation, que c'est l'intersection du plan T et du plan T', de même que S Z représentait l'intersection de la surface S et delà surface Z, S S' l'intersection de S et de S'... etc.

Fig. 239

Dejiar.

Fig. 240

Fig. 241!

Fig. 241

Fig. 242

le mobile de gauche parcourra, aller et retour, le segment limité pq, tandis que celui de droite fera une seconde fois le tour complet de la base B.

(c) Arrachement. — En plan (fig. 538), une des traces- ; limites est tangente à la base B, l'autre l est à la base B'. Une zone (couverte de hachures, fig. 238) reste en dehors de l'intersection sur chaque cône. Les surfaces se rencontrent par côté ; on dit qu'il y a arrachement réciproque de l'une par l'autre ; l'intersection se compose d'une seule courbe, affectant la forme de la figure perspective (fig. 239).

(«/) Cheminements des points. — Les deux mobiles se déplaceront comme suit :

Celui de gauche partant de m, et celui de droite partant de 2, le premier suit les flèches : il atteint le point 1, et le dépasse, tandis que celui de droite atteint le pointlimite p, et est obligé de revenir sur ses pas. Ensuite le mobile de gauche atteint le point-limite n et revient sur ses pas, tandis que celui de droite atteint le point de tan-

gence 2 et le dépasse etc

(e) Cas limite simple avec un point double « (fig. 240 et 241). — Un des plans-limite k p, est tangent à la fois aux deux surfaces. Les quatre génératrices de section auxiliaire se réduisent à deux, et les quatre points courants sont réunis en un seul.

On comprendra le fait en imaginant (fig. 242) que les points-limites a et [3 (fig. A) se rapprochent l'un de l'autre en formant deux pointes a ' et (fig. B) qui à un instant donné se confondent en un point double w (fig. C).

Les tangentes w t — w 0, aux deux branches qui se croisent, ne peuvent pas être déterminées élémentaire^ ment.

(/") Cas limite double. — Les deux plans-limites sont tangents communs aux deux bases (fig. 243). 11 y a (fig. 244) deux points doubles w et 1, et l'on démontre en géométrie analytique, que si les deux cônes sont à bases du 2° degré (ellipse, hyperbole, parabole, cercle), l'intersection se compose de deux courbes planes AB et CD, se recoupant aux points doubles u et 1.

Application en architecture aux voûtes d'arête (1). (Voir plus loin figures 247, 248 et 249.)

§ 187. — Cônes et cylindres (fig. 245).

Par le sommet S du cône, on mène S K parallèle aux génératrices du cylindre. K est le point de divergence. Le reste comme pour deux cônes.

§ 188. — Cylindre et cylindre.

1° Par un point quelconque V, on mène deux droites parallèles aux génératrices des cylindres; ce qui détermine un plan M VN dont la trace est A-

2° On coupe les deux cylindres par des plans auxiliaires, parallèles au plan M V N ; leurs traces seront donc parallèles à A - Le reste comme pour deux cônes.

(1) Voir le Cours <lc Stéréotomie.

On rattache le cas de deux cylindres à celui de deux cônes en considérant que le point de divergence K des deux cônes est rejeté à l'infini.

Fig. 24r> Fig. 24C

Nota. — On généralise ce qui précède aux prismes et aux pyramides; on remarquera seulement qu'il suffira de faire passer les plans sécants successivement par les arêtes de chacune des surfaces polyédriques.

Fig. 2iS

Fig 250

Fig. 2.M

§ I <S9. — Cas remarquables des intersections précédentes.

Nous énoncerons, sans les démontrer, les théorèmes qui suivent : (a) L'intersection est formée de deux courbes planes.

Théorème 1. — Lorsque deux surfaces du second degré (cônes, cylindres, ellipsoïdes, sphères...) ont deux plans tangents communs en deux points communs, elles se coupent suivant deux courbes planes (lesquelles sont, par conséquent, des courbes du deuxième degré, ellipses, hyperboles, paraboles, cercle).

Ces deux courbes se rencontrent en deux points, dits : points doubles, qui sont précisément ceux où les plans tangents sont communs.

Théorème 2. — Lorsque deux surfaces du deuxième degré sont circonscrites à une même surface du deuxième degré, elles se recoupent suivant deux courbes planes.

. Application à T architecture : voûte d'arête (fig. 247 et 248), et voûte en arc de cloître (fig. 2i9) (1).

Théorème 3. — Lorsque deux surfaces du deuxième degré se coupent, si la courbe d'entrée est plane, la courbe de sortie est aussi plane.

Applications aux ombres : ombre portée (fig. 250) par la base MV d'un cylindre creux dansl'intérieurdu cylindre (ombre du pont)(2). L'ombre portée est l'arc d'ellipse WMi V. Les points doubles sont les points W et V de la courbe d'entrée MWEV, pour lesquels le rayon lumineux est tangent au cylindre.

Ombre portée (fig. 251) par l'équateur EE' d'une sphère creuse dans l'intérieur de la sphère (ombre de l'écuelle). L'ombre portée WE, V est une demi-circonférence.

(b) L'intersection, quoique gauche, est projetée suivant une conique. Théorème 4. — Lorsque deux surfaces du deuxième degré ont un plan de symé-

(1) Voirie Traite de Stéréotomie, § 102.

(2) Voir le tracé des Ombres usuelles, §§ 24, 25 et 31.

trie commun, leur intersection, qui est gauche dans l'espace, se projette sur ce plan de symétrie, suivant une courbe du second degré.

Exemple (fig. 252) : lunette cylindrique en coupe des pierres (1).

L'intersection ACB — ACB a pour projection une hyperbole équilatère, dont les asymptotes sont les droites à 45", o Z et o Z.

B. ÉPURES

&njeLe<:on £ ]<j0. Epure n° 1. — Intersection de deux cônes. — Arrachement (fig. 253).

(a) Données. — Les cônes ont pour base des cercles sur le plan horizontal. Les sommets sont S S' et TT". On mène la ligne des sommets ST — S' T' et on prend en K'K sa trace sur le plan des bases. K est le point de divergence.

(b) Nature de l'intersection. — Les plans-limites sont K« 1 ou n° 1, tangent au cône T et sécant au cône S, et Ku ■; ou n° 10, tangent, au contraire, au cône S, mais sécant au cône T. Il y a donc arrachement (voir § 186).

(c) Point courant PP;. — Donné par le plan n° VIII, lequel ne répond à aucune génératrice de contour apparent. Il coupe la base de gauche aux points 8 et 18, et la base de droite aux points p et q. On mène les quatre génératrices et l'on obtient quatre points (entourés par un rond sur l'épure) qui sont p8, p 18, 78, q 18.

Nous en avons marqué un seul de la lettre P P '.

(A) Tangente au point courant PP'. — On mène les traces p z (droite) et 18 W ( gauche) des plans tangents. Elle- s< rencontrent hors des limites de l'épure. On traite alors ces plans comme des cônes de sommet S et T. Des lors un plan auxiliaire kz w donne deux droites auxiliaires Sz et T w, dont l'intersection 8 6' est un point de la tangente 8 P.

(é) Points-limites. — Ces deux premiers a,, et pi, sont donnés par le plan n° I ; les tangentes y sont les génératrices y ~>\ et ppi du cône coupé, par le plan-limite.

Les deux autres sont donnés parle plan n° X. Nous n'y avons mis de lettre y'o et S'o qu'en projection verticale. Les tangentes y sont les génératrices du cône de gauche.

(f) Points de contour apparent. — 1° Pour le cône T, le point de contour apparent horizontal est donné parle planlimite n° II, dont la trace Kdc 2, 12 passe par le pied, 2, d'une des génératrices de contour apparent horizontal. Ce plan donne deux points, d* et c*, pour lesquels les tangentes sont le contour apparent lui-même, et, en outre, il fournit deux autres points, que notre épure ne spécifie pas, mais que nous avons eu le soin de bien obtenir dans le travail au crayon qui a précédé la mise à l'encre. L'autre contour apparent horizontal T, e du cône T, n'a pas de points de l'intersection parce que son pied, s, est en dehors des plans-limités.

Le plan n° III sert, en /, pour le contour apparent vertical du cône S.

Le plan n° IV sert, en g, pour le contour apparent horizontal du même cône S.

Le plan n° V sert, en 5, pour le contour apparent vertical du cône T.

Le plan n° VI sert, en K, pour le contour apparent vertical du cône S.

Le plan n° VII sert, en 17, pour le contour apparent vertical de gauche du cône T.

Le plan n" VIII est le plan courant.

Pc plan n° IX sert, en r, pour le contour apparent horizontal du cône S.

( m voit, en résumé, que sans compter le plan courant, le seul fait d'avoir les 8 points de contour apparent à chercher, savoir : 4 en plan et i en élévation, et les 4 points-limites, conduirait, si aucun point ne faisait défaut, à employer IQ plans auxiliaires donnant en tout (8X4 = 32, plus i) 36 points, pour lesquels nous connaissons, à priori, 8 tangentes.

Cela suffira, presque toujours, pour très bien déterminer la courbe.

(g) Cheminement des points. (Voir S 180, b. Méthode des deux mobiles.) — On aura bien soin, quand un des deux mobiles arrive au pied d'un contour apparent, 2, par exemple, de voir si l'autre a ou n'a pas encore dépassé le contour apparent de l'autre surface. Cela renseigne pour savoir si, en venant du point de départ «i par exemple, on doit rencontrer en premier lieu l'un des contours plutôt que l'autre. De cette constatation dépend l'existence ou la non-existence d'une boucle analogue à celle qui se trouve aux environs du point 04.

(h) Parties vues ou cachées. — Nous supposons ici que les deux solides existent ensemble, alors :

Principe. — 1° Un point, pour être caché, n'a besoin de l'être que pur une seule des deux surfaces ; 2° le passage d'une partie vue à une partie cachée ne peut se faire qu'en rencontrant un contour apparent.

(1) Voir le Traité de Stéréotomie, § 102.

GÉOM. DBSCR. I I

Il suffît donc de vérifier la visibilité d'un très petit nombre de points pour être fixé pour tout le reste. Ainsi le pointlimite [ii est vu, en plan, car il est sur deux génératrices S et t T, qui sont vues toutes les deux. Donc, jusqu'aux deux prochains contours apparents la courbe est vue. Elle est cachée au delà, etc., etc.

tj 191. — Hypothèses diverses sur les solides enlevés.

Sur la figure 25.'! les deux cônes existent tous les deux. La même figure donne en BR' l'entaille faite par le cône S

dans le cône T ; on suppose donc que le cône S est enlevé et, avec lui, toute la masse solide qui lui est commune avec le oône T.

On remarquera (fig, B) que le contour apparent est enlevé entre c% et â% par le cône S.

Le point ji est sur la partie vue du cône T vu et, par conséquent, avec lui toute la branche de courbe qui le con-

lient, jusqu'aux deux prochains contours apparents du cône T; c'est-à-dire de di en ng, p, gu et c 2. Il n'y a pas à s'occuper des contours apparents du cône S, puisque ce cône est enlevé.

Le point (/serait caché parle cône T; mais la masse solide qui le cache ayant été enlevée, il apparaît vu cependant et avec lui la branche de courbe à laquelle il appartient, mais seulement entre les points cp et u>, où elle semble croiser celle qui est déjà tracée.

Les points cp et w se nomment des points doubles apparents de la courbe d'intersection. Ils sont caractérisés sur la ligure B, par ce fait qu'une verticale qui y passerait rencontrerait la courbe de l'espace en deux points (1). La figure 254 donne l'entaille faite par le cône T dans le cône S ; le cône T étant enlevé. Enfin la ligure 255 donne les projections du solide commun aux deux surfaces.

Pour dessiner le solide commun et se reconnaître dans les lignes vues, on commence par tracer en trait plein tout le périmètre de la projection (A par exemple). Ce périmètre se compose : 1° de lignes droites telles que d% c-z — g± gii — ro rig, qui sont des portions de génératrices de contour apparent des cônes, et 2° de portions de la courbe dmtersection telles que rig, p, gu, et rg, n, d%, qui sont tangentes aux droites précédentes.

Les droites sont de véritables contours apparents tangentiels du solide, tandis que les courbes sont des arêtes vives

curvilignes du même solide.

Une fois cela fait, on reconnaît facilement ensuite si un point, tel que ij, est vu ou caché et avec lui toute la branche de courbe qui y passe jusqu'aux deux prochains contours apparents de l'un ou de Vautre des deux cônes.

S 192. — Epure n° 2. — Intersection de deux cylindres. — Pénétration (fig. 25G).

(a) Données. — Le cylindre de gauche, A, est à base circulaire ; le cylindre de droite, B, est à base elliptique. Les bases sont toutes les deux sur le plan horizontal.

(b) Direction des traces des plans auxiliaires. — Par un point quelconque FF', que nous prenons pour simplifier sur l'axe du cylindre A, nous menons une parallèle FK — F'K' aux génératrices du cylindre B.

La droite 10 K donne sur le plan horizontal la direction A des traces des plans auxiliaires (voir g 188).

(c) Plans auxiliaires utiles et plans limites. — Le premier plan limite est le n° I. 11 est tangent au cylindre A mais sécant au cylindre B. Il donne les deux points limites ai et pi. Les tangentes y sont les gé nératrices «i a et [ïi 8 du cylindre coupé, B (§§ 184 et 185).

Le plan n° II sert pour une des génératrices de contour apparent horizontal de A.

Le plan n° III, pour le contour apparent horizontal f, de B. Le plan n° IV, pour le contour apparent vertical 14 — 14' de A'. Le plan n° V, pour le contour apparent vertical, i, de B. Le plan n° VI, pour le contour apparent vertical (i — ti' de A. Le plan n° VII, pour le contour apparent vertical // — n ' de B. On remarquera combien ces plans sont rapprochés les uns des / s- autres ; c'est pourquoi, en projection verticale, les courbes d'intersec-

tion présentent des courbures très prononcées, presque des rebroussements, dans les angles tels que G'.

C'est pourquoi aussi, dans le cheminement des points, devra-t-on faire très attention à reconnaître quel est, dans les angles, celui des deux contours apparents qui est rencontré en premier. Il en résultera soit une boucle, comme en G', avec point double apparent e, soit un retournement brusque, sans boucle, comme dans l'angle D'.

Le plan n° VIII sert pour le contour apparent horizontal 18, de A... Nous avons considéré ce plan comme plan courant et l'on voit en PP' un des quatre points courants qu'il donne.

(1! Nous donnons plus loin (note page 36;, un tracé pour vérifier la position des points doubles apparculs

Fig. 2.YÏ

Le plan n° IX est limite : il donne les points limites pg p'g et 59 a'9 avec tangentes qui sont encore les génératrices du cylindre B.

Il y a"donc bien pénétration du cylindre de gauche dans celui de droite (§ 18C>).

■ . (d) Tangente au point courant P P'. — On mène en p z (cy-

lindre B) et 8 te (cylindre A) les tangentes aux bases aux pieds des génératrices qui ont donné P P' par leur intersection.

Ces tangentes sont les traces horizontales des plans tangents.

Pour trouver l'intersection de ces plans tangents, on les considère, chacun, comme un cylindre à base en ligne droite, que l'on coupe par un plan auxiliaire tel que ie z, comme on a fait pour les cylindres courbes.

Ce plan auxiliaire te z donne deux génératrices des plans iv 8 — w ' O7 et z 6 — : ' 0 ' qui se recoupent en un point 0 0'. La tangente est la droite 0 P — 6 'F.

(e) Parties vues ou cacuées. — Nous supposons enlevé le cylindre A, qui est celui qui pénètre, et nous représentons le trou qu'il fait dans le cylindre elliptique.

On se reconnaît dans les lignes en raisonnant comme il a été fait plus haut (§ 192).

(f) Solide commun. — On voit le solide commun représenté à part sur la figure "loi. (Pour sa représentation, voir § 192, fig. 255.)

Comme remarque générale, on aura bien soin, sur toutes les épures, de s'assurer que les points les plus à <j miche ou les plus à droite, tels que mm — n n' — rr' — s s' (fig. 257) ont leurs deux projections sur les mêmes lignes de rappel.

§ 192. — Epure n° 3. — Intersection d'un cône et d'un cylindre. — Cas limite simple. (Les deux surface sont un plan tangent commun, Og. 259.)

Fig. 258.

(a) Données. — Le cône a pour base un cercle de centre 00' situé dans le plan horizontal. Son sommet S S' est dans le plan vertical.

Le cylindre a ses génératrices parallèles à la ligne de terre. Sa base est un cercle situé dans un plan vertical SZ qui n'est pas perpendiculaire aux génératrices. On a rabattu ce plan (fig. C) sur le plan horizontal : on y voit le

cercle enace g i... S p.

(b) Plans auxiliaires. — Nous avons vu. (§ 187) que par le sommet du cône on doit mener une droite S 0 (fig. 258) parallèle aux génératrices du cylindre. Par cette droite passeront tous les plans auxiliaires. Mais, ici, les bases des surfaces sont dans des plans différents. Si, comme cela se voit sur le croquis perspectif (fig. 258), le cône a sa base dans un

plan H et le cylindre dans un autre plan V, alors on prend en V et en H, sur les plans de base, les traces de la droite S B, el au lieu d'un seul point de divergence on en a deux, savoir H et V. Par le premier point H passeront toutes les traces auxiliaires sur le plan de base du cône, et par V toutes celles sur le plan de base du cylindre. Ces traces doivent d'ailleurs se rencontrer en a sur la droite d'intersection des deux plans de base.

L'épure (fig. 259) présente, en outre, ce cas particulier que les génératrices du cylindre sont horizontales. Dès lors le point de divergence H est rejeté à l'infini et les traces auxiliaires sur le plan horizontal de base du cylindre sont des droites (elles que III- 13, IV-14, etc., parallèles à la ligne de terre.

Sur le mur SZ, plan de base du cylindre, les traces auxiliaires telles que S', ï, S'i 11, S'iM... divergent toutes du point S 'i, qui est en réalité le sommet du cône.

Fig. 259

nous n'insisterons donc pas. Mais on peut remarquer que sur la ligure C, le cercle %cq... p peut être regardé comme la

projection oblique du cylindre, et les lignes S ' 1 a S I — S'i cd II. . . etc., comme les projections obliques des génératrices du cône faites sur le plan de base de cylindre et par des projetantes parallèles aux génératrices de ce dernier.

Il peut être commode de considérer l'épure à ce point de vue. Ainsi, sur la projection oblique C l'intersection appa rail suivant l'arc de cercle xce f&$\ et le problème revient dès lors à celui-ci :

Connaissant les projections obliques c,e q..., sur un mur C, d'une série de points de la surface d'un cône, trouver les

projections horizontales ai e% Pi. .. de ces points (1). Des projections horizontales on passe ensuite facilement aux

élévations (fig. B).

Le premier plan limite S '1 -j.pl est le plan de contour apparent du cône sur le plan Z. Il est tangent au cône et sécant au cylindre. Il donne deux points-limites *i a'i et r{.\ [i ' i ; les tangentes sont les génératrices du cylindre.

(»/) Point double réel. — Le second plan limite n° YI1 est le second plan de contour apparent du cône sur la projection oblique C. Mais les données de l'épure sont choisies de telle sorte qu'il est aussi tangent au cylindre au point w — (.»: — (o't. Dès lors (§ 186 — e) nous avons là un point-limite qui est un point double et la tangente n'y est plus une génératrice d'aucune des deux surfaces. La méthode ordinaire pour trouver les tangentes en ce point double est en défaut (2).

(e) Rehroussements de la projection horizontale. — AQn que le lecteur soit prévenu pour un cas particulier qui se présente quelquefois dans les applications (3), nous avons supposé que le plan n° III qui sert pour le contour apparent

horizontal S3 du cône sert aussi pour le contour apparent horizontal F fz fiz du cylindre. 11 en résulte' que le point fa de la courbe (fig. A) est à la fois sur les deux contours apparents.

En ce point les deux plans tangents sont tous les deux verticaux, et la tangente, qui est leur intersection, est elle-

(1) Nous donnerons pins loin, sous le nom de projections obliques et de projections coniques, des applications de cette méthode ou plutôt de cetlr manière de lire les épures

(2) Voir en note, page 96, le tracé des tangentes aux points doubles. (:i) Stéréotomie, § 102. Lunette cylindrique.

Fig. 261

me Lecou.

qu'elles font avec le sol. Nous ne donnerons qu'une projection horizontale des solides.

même verticale. Par conséquent (§ 153), la courbe présente en ce point fz un rebroussement de première espèce, et la tangente y est la trace horizontale du plan osculateur à la courbe gauche d'intersection.

Les données sont telles que le même fait se produit pour le point ki% situé lui aussi à la fois sur les deux autres contours apparents.

11 faut remarquer que ces rebroussements n'auront lieu que tout à fait exceptionnellement.

Nota. — La figure 260 donne l'entaille faite par le cylindre dans le cône, et la figure 201 représente le solide commun.

§ 193. — Epure n° 4. — Intersection d'un prisme et d'une pyramide (arrachement).

(a) Données (fig. 262). — La pyramide a pour base un quadrilatère ab c d, tracé sur le plan horizontal. Son sommet est donné en S, en plan, et l'on en connaît la cote de hauteur S S'.

Le prisme a pour base un pentagone m n p q r. Ses génératrices ont pour projections m M — il N, etc.. et l'on connaît l'angle, a.

Fig. '202