N°IV

GKOM. DESCR. 12

(b) Point de divergence des traces. — Parle sommet S de la pyramide, on mène une parallèle S K aux génératrices du cylindre. Sa trace K, obtenue en rabattant en S ' K cette parallèle, est le point de divergence des traces auxiliaires.

(c) Intersection. — On achève, ensuite, exactement comme si l'on avait un cône et un cylindre ; seulement nous n'avons de plans auxiliaires à mener que par les arêtes de l'une ou de l'autre des deux surfaces.

Fig. 263

Le cheminement des points se fait exactement comme si les surfaces étaient courbes, et par la méthode dite des deux mobiles.

La ligure 202 donne l'entaille faite par le prisme dans la pyramide. On voit en B (fig. 202 bis) le solide commun.

Enfin, la figure 2G3 donne l'entaille faite par la pyramide dans le prisme.

Nota. — Nous étudierons plus loin, dans un chapitre consacré à la sphère, au cône et au cylindre de révolution, l'inlersection d'un prisme ou d'une pyramide avec un cône ou avec un cylindre.

| 194. — Aspects divers des intersections de deux cônes.

(a) La droite des sommets (fig. 2Gi) est intérieure à l'un des cônes, S, mais extérieure à l'autre, T, ce qui revient à

Fig. 26S

•lire que le second cône a son sommet T dans l'intérieur du premier. Le point de divergence, K, est dans la base du cône S.

Il y a pénétration du cône T dans le cône S. Il faut seulement remarquer que, tandis que la courbe d'entrée, cd. appartient à une des nappes du cône T, la courbe de sortie, a b, appartient à l'autre nappe, (b) La ligne des sommets, S T K, est contenue dans chacun des deux cônes (fig. 265).

Il y a deux courbes d'intersection distinctes, ab et c d. Le cas est donc celui d'une pénétration ; mais cette pénétra-

Fig. 266

Fig. 2(iS

Fig. 267

tion est réciproque : ce n'est pas plutôt le cône S qui pénètre dans le cône T, que le cône T qui pénètre dans le cône S. La figure 265 montre, en perspective, le solide formé par la coexistence des deux cônes.

La figure 266 indique le trou pratiqué dans le cône T par le cône S. Il y a deux nappes creuses inflnies, N'N" et M', et une nappe creuse limitée, cdS.

La figure 267 fait comprendre le trou pratiqué dans le cône S par le cône T. Ses deux nappes creuses cdT et abT sont limitées.

Enfin sur la figure 268 on a indiqué le solide commun.

Il comprend un solide biconique limité : TcrfS, et deux nappes infinies, SMi et oôNi.

Nota. — Les courbes d'intersection, ab et cd, peuvent présenter des branches infinies. On les reconnaîtra et on les étudiera comme nous l'indiquerons aux paragraphes suivants.

(c) Une des surfaces est un cône et son sommet T est situé sur l'autre surface S. Cette dernière peut, d'ailleurs, être conique ou cylindrique (fig. 269).

Dans ce cas la droite des sommets ST est une génératrice du cône S et le point de divergence K est sur la base m n de ce cône S.

Il y a, comme dans le cas de la figure 264, pénétration du cône T dans le cône S, et l'on comprendra bien ce qui se passe sur la figure 269, en imaginant que dans la figure 264, précédente, la courbe de sortie ab s'est réduite à un point qui est le sommet T.

Sur la figure 269, la tangente KO, menée à la base du cône S, par le point de divergence, ne rencontre pas la base »i f;i du cône T.

{d) Si, comme cela se passe sur la figure 270, la tangente K 0, à la base du cône S, rencontre la base du cône T, alors

le plan auxiliaire Kci di 6 donne, comme génératrice courante, dans le cône S, précisément la droite STK et les deux points courants viennent se confondre en un seul au sommet T qui est un point double. Les tangentes en ce point sont les génératrices Trfi et Ici du cône T. La courbe passe d'une nappe à l'autre du cône T. Un des points limite ai a.

est sur une de ces nappes, l'autre point limite Pi p est sur l'autre.

(e) Il pourrait se faire que le point de divergence KT fût compris dans la base «i Pi di (fig.270) du cône T. Ce cas l'entrera en partie dans celui qui répond au b (fig. 265-266) et en partie au cas que nous allons étudier, où il y a des branches inûnies. 11 y aura pénétration réciproque des deux surfaces, comme figure 2G5..., et la courbe passera par le sommet T qui sera un point double, comme figure 270.

Nous laissons au lecteur le soin d'étudier graphiquement ce cas spécial.