A. LIGNE DROITE

§ 361. — Equidistance, graduation, intervalle, pente.

On donne la projection horizontale et les cotes des points principaux.

Si le plan est k une faible échelle, on gradue la droite de 10 mètres en 10 mètres, ou de 5 mètres en 5 mètres. Si l'échelle est plus grande, on la gradue de mètre en mètre ou bien de 50 centimètres en 50 centimètres. Les points auxquels répondent des cotes données en nombres entiers se nomment des points k cote ronde.

D'ailleurs, il est de convention dans les dessins servant aux travaux publics ou aux travaux militaires de déterminer la graduation d'après l'échelle.

On nomme equidistance la hauteur constante qui séparera, sur une même carte, les plans de niveau des différents points pour lesquels on écrit les cotes rondes.

On convient ordinairement de prendre l'équidistanee égale au du dénominateur de l'échelle.

D'après cela, pour les échelles de

-, les équidistances

seront 2m,50, 5m,00, 10m,00, etc.

Ces règles ne sont pas absolues.

Nota. — Nous supposerons dans cette leçon théorique l'équidislance égale à 1 mètre, c'est-a-dire la droite graduée de mètre en mètre ; les résultats ohtemis seront faciles à généraliser pour les cas oii l'équidistance serait différente.

On nomme intervalle la distance qui sépare horizontalement deux points de cote ronde qui se suivent, et pente, la tangente de l'angle formé par la droite avec le plan horizontal.

Pour la droite mn (fig. 444 bis), l'intervalle mesuré à l'échelle est, je suppose, de lm,55.

Soit p la pente, et soit i l'intervalle.

Considérons le triangle reclaugle M'N'ii', que uous nommerons le triangle unitaire, qui aurait pour hypoténuse la droite M'N' de l'espace, pour base horizontale l'intervalle mn, et pour hauteur la différence de niveau des points M et N, c'est-à-dire 1 mètre ; ce triangle donne pour angle à la base a :

tg. a = p — — , d où

donc : théorème : la pente et l'intervalle sont inverses l'un de l'autre.

§ 362. — Graduer la droite joignant deux points.

Connaissant la distance projetée, d, de deux points cotés, A et B, et les cotes c et c' de ces deux points, calculons d'abord l'intervalle i et la pente;) de la droite qui les joindrait. (Même figure 444 bis.)

Soitd (distance de a et de b) — 1,35, mesurée a l'échelle.

Soit c (cote du point b) = 12,15.

Soit c' (cote du point a) =. 10,35.

Le triangle rectangle qui aurait pour hypoténuse AB de l'espace est semblable à celui qui aurait pour hypoténuse deux points équidistants de 1 mètre en hauteur, et que nous avons nommé le triangle unitaire.

Nous aurons donc le rapport :

Ces cotes S)ct écrites sur le plan.

i (intervalle)

-, d'où i

1 (équidistance) c — C

-, (formule importante).

' 1^35 ~ ÔT5 3 ~ l'

L'intervalle, une fois connu (ici, 0,75), plaçons un point a cote ronde, par exemple le point de cote 10 ; soit m ce point eu projection.

Dans l'espace, il est à 0,35 au-dessous du point a ; et si uous désignons par x la dislance projetée a m, nous aurons encore, en comparant le triangle qui a AM pour hypoténuse, un trianglj unitaire qui lui est semblable : x 0,35 ,

— = d où x = i x 0,35 = 0,75 x 0,35 = 0m,26.

I lm .i>

Dès lors, on prend 0m,26 sur l'échelle, et on porte cette distance de a en m.

Ayant le point à cote ronde, 10, en portant autant de fois que l'on voudra l'intervalle, à partir de ce point 10, on aura les points 11, 12, 13, etc.

§ 363. — Trouver la cote d'un point pris sur une droite.

Sur l'échelle, on mesurera l'intervalle de la droite (même fig. 444 bis). Soit i = 0,75.

On mesurera à l'échelle la distance .r. du point donné a, au point m de cote ronde immédiatement inférieure. Supposons que m soit à la cote 10. Soit x = 0,26 (mesuré a l'échelle).

Pour calculer l'altitude y du point M au-dessus du point A, on aura : y 1 (équidistance) x i (intervalle) '

Le point a est donc à la cote 10,35.

d'où

§ 364. — Placer sur une droite un point de cote donnée

(même figure).

Soit la droite donnée 10, 11, 12. . .; on veut placer le point a dont la cote est 10,35.

Fig. 444 bis

Le pointa se placera cuire, 10 et 11, a uue distance x du poiut m (cote 10), que l'on va calculer.

On aura, en considérant toujours dans l'espace le triangle rectangle qui aurait uni pour hypoténuse, et le comparant au triangle unitaire :

— = — , d ou :

(que l'on mesure sur l'échelle et que l'on porte sur l'épure).

li . PLAN

§ 365. — Représentation du plan.

Ou définit un plan par sa ligne de plus grande pente. On sait que cette droite est perpendiculaire aux horizontales du plan, dans l'espace et en projection.

Celte droite, que l'on représente par uu double trait, se nomme Ve'chelle de pente du plan. Elle sera graduée comme une droite ordinaire.

Les horizontales du plan seront figurées par des droites perpendiculaires à l'échelle de pente.

§ 366. — Trouver la cote d'un point d'un plan (fig. 445). Soil AB l'échelle de pente du plan, graduée 10, H, 12; etmun point quelconque du plan.

On mène l'horizontale mm'. On prend sa rencontre m' avec l'échelle de

Fig. 445

pente, et l'on calcule, comme on l'a fait pour une droite (§ 363), la cote du point m'. Ce sera aus-i celle du point m.

§ 367. — Reconnaître si deux droites se coupent, et graduer leur plan (fig. 446).

lre Méthode. — On prolongera les deux droites, en projection, jusqu'à leur point de rencontre m. On calculera la cote du point m, considéré comme

appartenant séparément à chacune des droites. Et si l'on trouve, pour chaque •opération, la même cote, on en conclura que les droites se coupent.

2° Méthode. — On joindra les points de même cote (15 — 15), (14 — 14). Si les lignes ainsi tracées sont parallèles, c'est que le lieu géométrique de ces

Fig. i4G

droites dans l'espace est un plan, et par conséquent les deux lignes se coupent.

Ces parallèles sont des horizontales du plan des deux droites. En leur menant une perpendiculaire XY, on aura l'échelle de penle, graduée aux points ■de rencontre avec les horizontales.

§ 368. — Plan passant par trois points.

Soient les trois points : a (8,45), b (13,25), c (10,80) (fig. 447).

On gradue la droite ab et la droite cd (voir le problème § 362). On joint

Fig. 417

les points de même cote ; cela donnera les horizontales du plan ; en leur menant uue perpendiculaire, on aura l'échelle de pente graduée.

§ 369. — Intersection de deux plans (lig. 448).

Soient XY et X'Y' les échelles de pente des deux plans.

Menons les horizontales de même cote. Les points d'intersection de ces horizontales doivent être tous sur une même droite a — 13, qui est l'intersection. La construction la donne toute graduée.

§ 310.— Intersection d'une droite et d'un plan (fig. 448 bis). Par la droite ab on mène un plan auxiliaire quelconque. Il suffit, pour cela, de mener par deux points de cote exacte de ab (les points 13 et 12 par

exemple) deux parallèles quelconques que l'on considérera comme deux hori-

Fig. 448

zontales de ce plan auxiliaire. (Il serait mauvais de prendre, comme en géométrie descriptive, pour plan auxiliaire le plan projetant la droite.)

On prend l'intersection fg de ce plan auxiliaire avec le plan donné XY.

Fig. 418 bis

La droite auxiliaire fij rencontre la droite donnée au point d'intersection cherché m.

On en calculera la cote (ici, 1?,45).

§ 371. — Par un point donné m (8,55), mener un plan parallèle à un plan donné XY (fig. 449, échelle de 1 / 100).

Par le point m, on mène une parallèle à la ligne de pente XY.

On calcule la distance x du point m au point de cote 8 de cette nouvelle échelle de penle.

Soit i — 1,35.

On aura x — 0,55 X 1 ,35 = 0,74.

Ayant le poiut 8, en reportant sur X'Y', à partir de ce point, l'intervalle i — 1,35 pris sur XY, on graduera la nouvelle échelle de pente X'Y'.

§ 372. — Mener par un point une droite perpendiculaire sur un plan XY, et trouver son intersection avec ce plan.

Remarquons (fig. 450 — B) : 1° que lorsqu'une droite AB est perpendicu-

laire sur un plan P, elle est, en projection, parallèle à son échelle de pente puisqu'elle doit être perpendiculaire aux horizontales du plan ;

2° Que l'angle qu'elle fait avec le plan horizontal étant le complément de celui que fait le plan, sa pente est l'inverse de la pente du plan, et par conséquent aussi son intervalle est l'inverse de l'intervalle du plan;

Fi g. 450

us.

Echelle (o Di5 p.r i m)

no so o

3° Que sa graduation doit se faire en sens contraire de celle du plan. Cela posé, soit i — 0,78, l'intervalle du plan mesuré à l'échelle. L'intervalle de la normale cherchée sera :

La projection de la droite sera nui, parallèle a XV, et elle est graduée facilement puisque la cote de m est 17 et que l'intervalle i' — 1,2S. On remarquera qu'elle doit être graduée en sens inverse du plan X Y.

Pour avoir le point n, où la normale perce le plan , on résout le problème : intersection d'une droite et d'un plan (§ 370).

§ 373. — Par une droite donnée « //, mener un plan ayant

une pente donnée [p = -).

(a) Solution dans l'espace. — A été donnée, première partie, §§ 116 et

( b) Epure. — Pour faire l'épure (fig. 451\ nous prendrons sur. ab deux

Fig. 4SI

Echelle de t/joo

points de cote ronde. Les points 10 et 14 par exemple. Le cône aura son sommet au point 10 et sa hase sur le plan horizontal 14.

Calculons son rayon de base R. La différence de niveau est de 4m enlre le sommet et la base.

On aura donc :

4 = R x p, d'où : (puisque p = 2/3).

et R = 6 mètres.

Ou mesurera 6™ sur l'échelle. On tracera, du point 14 comme centre, le cercle de rayon R = 6m, et on lui mènera une tangente ne du point 10. ac est l'horizontale de cote 10 du plan demandé.

La ligne de pente XY sera une perpendiculaire a la droite a c. Ou la graduera facilement.

Remarque. — Il y a deux solutions. Il pourrait aussi ne pas y en avoir si le cercle de rayon R passait au-delà de a. Ce problème est très souvent résolu dans les travaux de terrassements, surtout dans la fortification.

§ 374. — Par un point m d'un plan, mener dans ce plan

une droite ayant une pente donnée (p = ■-).

[a) Solution dans l'espace. — Première partie, § 108.

{b) Epure. — Soit 7,85 la cote du point m pris dans le plan X Y (fig/452).

Fig. 452

Considérons un côue de pente 2/5 ayant son sommet au point m, et sa base sur le plan horizontal de cote 5, par exemple. Le rayon de sa base sera :

Du point m, comme centre, on tracera le cercle de rayon R=7,05. 11 recoupera l'horizontale du plan dont la cote est 5 en deux points n et })'. Ce qui donnera, comme solutions, les deux droites m n et m n', faciles à graduer.

Le problème aurait pu ne pas avoir de solulion.

§ 375. — Angle de deux droites (fig. 453).

Soient ab et cd ces deux droites. Par un point de cote ronde de c d, le point 10, par exemple, on mène une parallèle 's. ab. Soit «' V cette parallèle.

C d et a'b' définiss3ut un plan que l'on rabat sur le plan de cote 7, par exemple, autour de l'horizontale 7,7 comme charnière. L'épure s'explique d'ellemême. Elle est identique a l'épure analogue de la géométrie descriptive (première partie, § 105).

§ 376. — Angle de deux plans (fig. 454).

On cherche en a b l'intersection des deux plans (§ 369;.

On rabat le plan projetant de ab sur le plan horizontal 18, par exemple.

Soit a Bi cette intersection rabattue. On lui mène une perpendiculaire quel-

conque Gi; par le point i une perpendiculaire à ah jusqu'aux points m et n où elle rencontre les horizontales 17 des deux plans.

Fig. 453

iG est le rayon de rotation du poinl G de ['espace, sommet du rectiliguc de l'angle des deux plans.

Fig. 454

Echelle

On rabat i G en i G2, ce qui donne en m Gï n l'angle cherché et.

§ 317. — Exercice. — Plateforme avec rampe (fig. 453).

(a) Enoncé. — Luc plateforme horizontale est établie partie en remblai, partie en déblai sur un terrain uni dont la pente est comprise entre i /S et 1 / 12.

La plateforme A B C D est rectangulaire et horizontale ; sa longueur H C est de 10 mètres, sa largeur A B de 6 mètres.

Aucun des cotés de la plateforme ne doit être parallèle aux horizonlalcs du terrain.

Elle sera à la cote de l'horizontale du terrain qui passe par son centre (7,30).

Une rampe E F G H de 3 mètres de largeur et inclinée à la pente 1/6 part du milieu du petit côté qui est en remblai et descend jusqu'au terrain naturel.

La pente des talus de remblai sera de 1/2.

La pente des talus de déblai sera de 2/3 (2 de hauteur pour 3 de base). (6) Marche a suivre. — Ou remarque, (i priori, que l'horizontale (7,50)

du plan XY rencontre en a et (3 le rectangle de la plateforme; elle sert de séparation entre la partie en déblai aKL(3 et la partie en remblai a M N p .

1° On résout trois fois le problème suivant : « Par des lignes horizontales aD, DG et Cjj, mener des plans inclinés à la pente de remblai 1/2. »

Les intersections de ces plans sont les lignes DM et C H, projetées suivant les bissectrices des angles D et C de la plate-forme.

2° Ces plans, une fois gradués, on prend leurs intersections a M, MN, et Nj3,avec le terrain naturel.

Nota. — Les lignes MN et DC prolongées doivent se rencontrer sur la droite a [3 prolongée.

3» Par les droites a A, AB, et Bft, on mène des plans de déblai inclinés a 2/3, et, comme ci-dessus, on cherche leurs intersections a K, KL et L 6 avec le terrain naturel.

Nota. — Les droites KL, AB et ap doivent converger en un même point.

3° La rampe. — Par l'horizontale EF on mène un plan incliné à la pente 1/6, et on cherche en H G son intersection avec le terrain naturel; elle devrait aussi converger au point de croisement des lignes a [3, DC et MN.

4° Talus de la rampe. — Par les lignes inclinées EH et F G, qui ontdù être graduées, on résout le problème (§ 373). Par une ligne inclinée, mener un plan ayant la pente de remblai (1/2).

5° On cherche, en El, IH, etc., les intersections de ces plans avec ceux qui sont déjà construits.

Remarque générale. — On doit indiquer les horizontales dans leur entier développement, comme cela est fait pour l'horizontale 7.

On la voit qui, du terrain naturel, se retourne sur le remblai ocDM pour passer ensuite sur le remblai DEMI, puis sur le remblai de la rampe, puis sur la rampe elle-même, etc. Pour finir, elle revient sur le terrain naturel.

On devra tracer de même toutes les horizontales. Leurs divers tronçons doivent se retourner toujours sur les lignes d'intersection des plans.

GÉOM. DESCR. 29