C . SURFACES TOPOGRAPHIQUES

§ 378. — Définitions.

L'étude des surfaces topographiques est le complément de la méthode des projections par plans cotés.

On nomme surfaces topographiques, les surfaces formées par le sol. Généralement elles ne sont rencontrées par une verticale qu'en un seul point.

Les sections horizontales faites dans ces surfaces se nomment des lignes de niveau. On représente les surfaces topographiques par un certain nombre de lignes de niveau équidistantes et cotées. La surface n'est pas ainsi rigoureusement déterminée ; elle ne l'est qtf approximativement. Il en résulte que tous les problèmes concernant les surfaces topographiques ne sont susceptibles que de solutions approximatives.

§ 379. — Section plane d'une surface topographique.

(a) Le plan est quelconque. — Le plan est défini par son échelle de pente cotée XY (fig. 456).

On mène les horizontales du plan dont les cotes sont les mêmes que celles des lignes de niveau de la surface. Les points d'intersection de ces droites avec les lignes de niveau correspondantes sont des points de l'intersection

cherchée. On joint ces points par un trait continu, et l'on regarde la ligue ainsi tracée AB, CDE, comme la section de la surface par le plan donné.

(b) Le plan est vertical (fig. 457). — Supposons-le défini par sa trace XY. Ou peut alors rabattre la section sur un plan horizontal quelconque.

Rabattons, par exemple, sur le plan horizontal coté 9.

Le plan coupe la ligne de niveau (10) en un point b qui se rabat en B', tel que bh' égale l'unité de l'échelle de dessin.

Ce plan coupe de même la ligne de niveau (11) en un point qui se rabat eu C tel que cC égale deux unités de l'échelle du dessin.

On voit comment on obtiendrait les rabattements des points d'intersection du plan avec les aulres lignes de niveau.

En joignant la suite des points flB' CD', etc., on aura approximativement le profil de la section.

Pour avoir la position du point de la section ayant une cote donnée, la cote 9,;;0 par exemple, on prend le milieu pi de 6B', on élève en pi une perpendiculaire à 6B'. Cette droite rencontre le profil de la section en un point M' qui est le point cherché, dont la projection est m.

Si l'on fait la même construction pour un certain nombre de plans verticaux, on aura une suite de points de cote 9,50. En joignant ces points, on aura une ligne de niveau comprise entre les lignes de niveau (10) et (9).

Une ligne ainsi comprise entre deux lignes de niveau données s'appelle ligne intercalaire.

§ 380. — Trouver la cote d'un point.

Reportons-nous à la figure précédente 457. Soit m le point donné; ou

mène par m un plan vertical. Soit XY la trace de ce plan vertical sur le plan horizontal de cote 9.

On construit, comme ci-dessus, le profil de la section faite dans la sur-

face par ce plan, et en élevant ensuite en ni une perpendiculaire m M', on obtient le point M' ; la longueur m M', mesurée a l'échelle, détermine la cote du point m.

§ 381. — Intersection de deux surfaces topographiques.

Ces deux surfaces sout représentées par des lignes de niveau.

Les points d'intersection des lignes de niveau de même cote sont des points de l'intersection cherchée. On joint tous les points par un trait continu, et l'on obtient ainsi la ligne cherchée.

§ 382. — Intersection d'une surface topographique et d'une droite.

On mène par la droite un plan quelconque ; on cherche l'intersection de la surface avec ce plan auxiliaire, et l'on prend les intersections de la droite avec la section ainsi déterminée.

Ce procédé est applicable si au lieu d'une droite on a une courbe quelconque. On mène par la ligne une surface auxiliaire ; on cherche l'intersection de cette surface avec la première, et ensuite les points d'intersection de cette ligne auxiliaire avec la ligne donnée.

On choisit de préférence, comme surface auxiliaire, un cylindre ayant pour directrice la courbe donnée, et dont les génératrices sont horizontales. Les intersections de ces génératrices avec les lignes de même cote de la surface donnée servent alors à résoudre facilement le problème.

§ 383. — Lignes d'égale pente.

(a) Définition. — On appelle ligne d'égale pente d'une surface topographique, une ligne telle que la tangente en chacun de ses points garde une pente constante. Si nous considérons le cylindre vertical qui projette cette ligue, les tangentes font constamment le même angle avec les génératrices. La ligne d'égale pente sera donc une hélice tracée sur ce cylindre.

On ne peut tracer qu'approximativement une ligne d'égale pente sur une surface donnée. On ne connaît exactement que les intersections de la surface par des plans horizontaux équidislants, et l'on admet que les cordes d'intersection de la ligne d'égale pente sont également inclinées sur le plan horizontal ; comme, du reste, leurs extrémités sont à des niveaux dont la différence est constante, il s'ensuit que les longueurs de leurs projections sont égales.

Ainsi, pour tracer du point A (fig. 458) une ligne ayant une pente donnée, il suffira : 1° de décrire de A comme centre un arc de cercle de rayon égal a

la projcclion de la corde qui fait l'angle donné avec le plan horizontal ; 2" de chercher son intersection b avec la ligne de niveau suivante ; de même pour

Fig, 458

c et ainsi de suite. On ohtient ainsi en général deux directions a partir de chaque point. De b, par exemple, on pourrait prendre la seconde direction b c' au lieu de 6 c, et l'on aurait obtenu c' en faisant C3 que l'on appelle un lacet.

(b) Problème. — Tracer une ligne d'égale pente partant d'un point A et aboutissant à un autre point donné L (fig. 459).

Dans le problème précédent on se donnait une pente déterminée et partant d'un point quelconque, A, on obtenait facilement un cheminement Ah c d,

avec ou sans lacets, dont tous les éléments avaient la pente voulue. Mais de cette façon on ne connaît pas, a priori, le point d ou d' auquel on aboutira.

Dans le problème actuel, on se donne (fig. 459) uu point de départ A, un point d'arrivée L, et l'on demande avec quelle pente constante il faut cheminer sur la surface et quel chemin il faut suivre pour aller de A en L. C'est le problème de la route à pente uniforme tracée à fleur de sol.

On connaît la distance A L en ligne droite et la différence des cotes des deux points A et L ; on connaît donc, a peu près, la pente qu'il faudra choisir pour arriver près du point L.

Soit p cette pente approximative.

On en déduit approximativement un intervalle A b' que l'on prendra

comme rayon ; on sait que l'on a i =z Ab' = — ; avec ce premier rayon et en

procédant comme au § a, on arrivera à un point L' voisin de L. On conclut de ce premier essai que l'on avait pris un rayon trop grand.

On le diminuera donc un peu, et par un second essai on arrivera en un autre point L" qui n'est pas encore le point L. Cette fois nous avions pris un rayon trop petit.

Pour déduire de ces deux essais le véritable rayon, portons maintenant sur une droite M b" à partir d'un point quelconque M, les longueurs M b', Mb", Mb'", égales aux rayons d'essai, et, aux points b' b" b'", élevons des ordonnées égales aux erreurs LL', LL", en ayant soin de les porter positives quand les erreurs à l'arrivée sont commises d'un côté du point donné L et négatives quand elles sont de l'autre côté. La courbe formée par les points

b'b"b"' ainsi obtenus, est ce que l'on nomme une courbe d'erreur : on prend son intersection w avec la droite M 6", et la distance du point M au point d'intersection w donne la longueur du rayon qui répond à la question. En parlant alors de A, avec cette longueur Mo) comme rayon, on aboutira au point L.

§ 38t. — Lignes de plus grande pente.

On nomme ligne de plus grande pente une ligne telle qu'elle ait pour tangente en chacun de ses points la ligne de plus grande pente du plan tangent en ce point ; ce sera donc la Irajectoire orthogonale des lignes de niveau.

Une goutte d'eau qui, partant du repos, coulerait sur une surface topographique, suivrait dans le premier moment une ligne de plus grande pente. Dans la suite sa vitesse acquise se combinant avec celle qu'elle tend a prendre en chaque point, fait que la véritable trajectoire d'une goutte d'eau n'est pas une ligne de plus grande pente.

Quand la surface est à courbures opposées et que le plan tangent est horizontal, on a ce que les topographes appellent un col.

§ 383. — Plan tangent à une courbe cotée et passant par une droite donnée (fig. 460). Soit M N la droite et AB la courbe :

Joignons les points de même cote sur la droite M N et sur la courbe ; nous obtenons ainsi des horizontales s'appuyant k la fois sur la droite et sur la courbe ; nous les considérerons comme les génératrices d'un conoïde dont le plan directeur serait le plan horizontal. Si l'on connaissait le point de contact sur la courbe, eu ce point le plan tangent au conoïde serait le même qu'au point de la génératrice situé sur la droite.

Mais d'après une remarque faite à propos du conoïde (§ 314-rf), c'est ce qui caractérise une génératrice singulière, c'est-à-dire une génératrice telle que la génératrice infiniment voisine lui soit parallèle. Le plan tangent y est invariable.

Il suffira de voir pour quelle cote deux génératrices voisines seront sensiblement parallèles ; le point de contact se fera entre les deux points correspondants de la courbe. Ici le point cherché est approximativement en S à la cote. 10,50 entre les deux horizontales parallèles 10 et 1 \ .

§ 386. — Plan tangent à une surface topographique V mené par une droite donnée M N (fig. 460 bis).

{a) La droite est quelconque. — La solution est tout à fait analogue. Pour avoir le plan langent, on mène par les points de la droite des tangentes aux courbes de même niveau, et on cherche parmi ces horizontales celles pour lesquelles on a sensiblement des droites parallèles. Ici les droites sont parallèles entre 10 et 11. Le point de contact est sensiblement le poiut P (10,50).

(b) La droite est horizontale. — La construction précédente n'est plus applicable.

lre Méthode. — On mène alors (fig. 461) des tangentes aux courbes de niveau, parallèles a la ligne donnée ; elles déterminent un cylindre circonscrit

génératrices horizontales. Le plan tangent mené à ce cylindre sera tangent à la surface. Pour le déterminer, faisons une section dans ce cylindre par un plan vertical X Y ; ce plan rencontre la droite en un point a, et il coupe le plan tangent demandé suivant une droite qui doit être tangente à l'intersection. Or, quelle que soit la droite qu'on mène par a, si par cette droite on mène un plan tangent à la courbe d'intersection, on aura toujours le même point de contact.

Menons alors par le point a une droite que nous cotons, et le problème

Fi,'. 401

est ramené au cas précédent. Ayant le point de contact sur la courbe, la génératrice correspondante donnera le point de contact sur la surface. Ici la droite auxiliaire menée par a a été prise ayant M N pour projection. Si la droite M N et par suite si le poiut a a pour cote 8,80, par exemple, on tracera, comme nous l'avons indiqué dans la méthode des projections cotées, la droite a N,

cotée 10, 11 On mène les droites 10 — 10', 11 — 11' et ou cherche

comme ci-dessus le point pour lequel elles sont parallèles.

2e Méthode. — Par rabattement (il n'y a pas de figure spéciale). On coupe le cylindre précédent par uu plan vertical X Y dont on prend, de préférence, la trace perpendiculaire sur Jl N. On rabat la section faite ainsi dans le cylindre. Par le poiut Al, où le plan coupe la droite M N, on mène une tangente Al Pl à la section cylindrique et l'on a en Pl le point de contact; on en déduit la génératrice de contact sur le cylindre. Le point P où cette génératrice rencontre la ligne des points de contact du cylindre auxiliaire et de la surface, donne le point de contact du plan tangent cherché. Son échelle de pente s'obtiendra facilement.

§ 387. — Cône circonscrit à une surface topographique.

lre Méthode. — On peut couper par des plans verticaux passant par le point S, sommet du côue, rabattre les sections et déterminer dans chacune la tangente a la courbe de section.

2e Méthode. — On peut mener par S une droite quelconque et par cette droite un plan tangent à la surface (§ 386) ; le point de contact est un des points cherchés ; en faisant varier la droite, on aura autant de points que l'on voudra, de la courbe de contact.

3e Méthode (fig. 462). — Prenons une seule droite auxiliaire SV. Cotons cette droite, et par elle menons des plans tangents aux diverses sections que l'on peut faire par des plans verticaux, tels que S T, passant par S, problème que nous avons déjà traité au § 3S6.

Si l'on ne tient à avoir que le point de contact situé dans une certaine zone a b, ce qui est le cas le plus ordinaire, on fait tourner la droite S T, trace de la section verticale, jusqu'à ce qu'en joignant les points de même cote entre les limites a b, on ait des droites sensiblement parallèles. Dans le cas

de la figure, on cherchera à donner au plan vertical une position telle que les horizontales 12 et 13 deviennent parallèles.

Pour le cylindre circonscrit, la solution est tout à fait analogue. Dans les questions de défilement, en fortification, on a très souvent à résoudre le problème qui vient d'être traité.