A . DES INFINIMENT PETITS ET DE LA COURBURE DANS LES COURBES PLANES

§ 413. — Rappel des théorèmes démontrés en analyse.

On sait que l'on fait entrer les quantités infiniment petites dans les calculs, en vue d'obtenir soit la limite du rapport de deux de ces quantités (c'est le problème de la dérivation), soit la limite d'une somme de quantités infiniment petites, dont le nombre croit indéfiniment à mesure qu'elles tendent vers zéro (c'est le problème de l'intégration).

On choisit, en général, un infiniment petit comme principal et on lui compare tous les autres. L'infiniment petit principal est dit du premier ordre. Nous le désignerons par la lettre 0. Les autres peinent cire du premier, du deuxième ou du ue ordre.

On dit qu'un infiniment petit est du n* ordre, lorsque son rapport k la ne puissance de l'infiniment petit principal tend vers une limite finie. De telle sorte que si N est un infiniment petit du uc ordre, on pourra écrire :

formule dans laquelle K est une quantité finie, et g uu résidu infiniment petit.

Cetle formule (1) est équivalente k celle-ci :

(2) Lim. — = K.

Elle peut encore s'écrire en ehassaut le dénominateur :

(3) N = K6n -J- Nous rappellerons les théorèmes suivants démontrés en analyse :

Théorème 1 . — Le produit de deux infiniment petits, l'un de l'ordre n, l'autre de l'ordre m. est de l'ordre n -+- m,

Théorème 2. — Le quotient de deux infiniment petits, l'un de l'ordre n cl l'autre de l'ordre m, est de l'ordre n — m.

Ou étend ces deux théorèmes aux puissances et aux racines d'infiniment petits.

Théorème 3, oh Théorème fondamental sur la substitution des infiniment petits. — Dans la recherche d'une limite de rapport, ou d'une limite de somme d'infiniment petits, on peut substituer aux infiniment petits qui entrent daus les calculs d'autres infiniment petits qui ne diffèrent d'eux que d'infiniment petits d'ordre supérieur.

Antre énoncé. — Dans tout problème de dérivation (limite d'un rapport) ou d'intégration (limite d'une somme), ou peut négliger les infiniment petils d'ordre supérieur k l'ordre de ceux qui entrent dans les calculs.

Conséquence. — Reprenons la formule (3) qui donne l'expression d'un infiniment petit de l'ordre n.

Ne: K8n -\- £0" ; le résidu e 0n est le produit de 0n, qui est du ne ordre par e, qui est au moins du 1" ordre ; ce résidu est donc au moins du (» -+- Ie) ordre et peut être négligé dans les calculs. Nous pouvons donc dire que N (du ne ordre) a pour expression N ■= K0n.

Rappelons encore que deux infiniment petits sont dits égaux, lorsque la limite de leur rapport tend vers l'unité. Cela revient k dire qu'ils ne diffèrent entre eux que par un infiniment petit d'ordre supérieur au leur. Ils peuvent donc être substitués l'un k l'autre daus les calculs.

Nous donnons ci-contre un tableau indiquant l'ordre des principaux iufinimeut petils qui se rencontrent dans les courbes planes.

Fig. 499

Courbes planes. — Tableau des infiniment petits île divers ordres

1er ORDRE

Infiniment petit principal.

L'arc AB = 0, réunissant deux points infiniment voisins.

Corde A B .

(Corde A B = K 6), et K = 1,

L'angle ^ que fait la tangente AT avec la sécante A B.

Exception : S'il y a en A un point d'inflexion, ^ est du 2e ordre.

L'angle de contingence co que font entre elles les deux tangentes A T et TB Uo = K 6)

Exception : S'il y a en A un point d'inflexion, to est du 2e ordre.

Fig. 500

< ÛX

Exceptions-.

Somme de deux tangentes (AT-+- TB = K 0,

Uuc seule des deux tangentes (AT= K' G.... TB =K' 0).

L'accroissement f\ y de l'ordonnée L A y = K £.

! Exception : SI la tangente eu A est ' parallèle k l'axe o x, alors A U cs' du v 2° ordre .

L'accroissement ^ x de l'abscisse ^ (Aa?=K6).

Exception : Si la tangente eu A est / parallèle à l'axe o y, alors A x es' ('u \ 2e ordre.

2e ORDHE

Distance orthogonale lï G, ou distance oblique KD d'un point à la tangente, pourvu que l'angle a de la distance oblique ne tende pas vers zéro.