I). SOLUTION DE QUELQUES PROBLÈMES

§ 407. — Intersection et angle de deux plans (fig. 494).

(a) Données. — Le premier plan est P0 a (1), on voit son profil eu a, et le second plan est Q0 jî.

(b) Intersection. — On trace dans chaque plan une horizontale de même ordonnée h'. Elles se recoupent en un point b dont la hauteur csl //'.

Fig. 494

L'intersection est a0 b dont la projection oblique principale est a0 b\ .

(1) Celte notation P„ a veut dire, en abrégé : plan dont la trace est P„ et dont l'inclinaiaoa sur le sol e?t déterminée par l'angle i.

(c) Angle des plans. — Par le point b b\ (B de l'espace) on mène un plan R0 y perpendiculaire a l'intersection eton construit le triangle f0Brf0 donton connaît la base c° d„ et la hauteur e0 B = r« bl . On a en B l'angle cherché.

S 408. — Plus courte distance de deux droites (fig. 495).

la) Données. — Les droites sont : la première a0 b — a0 bl et la seconde c0 d — c0 ll[ .

(6) Solution. — 1« Par le point d di delà seconde droite, on mène une parallèle de° — dl t>a a la première. Ces deux droites déterminent un plan dont la trace P0 est la droite c0 c0 et dont on prend un profil en s0 n (projection normale ), s0 m (projection principale). Son angle avec le sol est a.

2° D'un point quelconque b bl de la première droite, on abaisse une perpendiculaire b f sur le plan P0 a. Sa projection principale est 62/2 perpendiculaire au profil s„ ni du plan.

Fig. 495

3° On déplace cette droite b f — bl fl jusqu'à ce que, tout en restant parallèle à elle-même et son extrémité bl b voyageant sur la première droite, son autre extrémité In b vienne se placer en gi <j sur la seconde droite.

La longueur de la plus courte distance est déterminée en bz /2.

§ 409. — Section plane d'une pyramide (fig. 496).

La pyramide a pour hase a0 ba C0 ; son sommet est d dl. Elle, sera coupée par le plan Pi ot. La droite Pl est une horizontale du plan situé à la hauteur h', ce n'est pas sa trace.

Par chacune des arêtes issues du sommet D, mener un plan dont la Iraee soit parallèle à Pl. Ces plans, dont les profils sont 4 — 1, 5 — 2, 6 — 3. coupent le plan P suivant des horizontales 1 — P, 2 — f, 3 — ij, dont les iulersections avec les arêtes de la pyramide sont les sommets du triangle F. F G. section plane de la pyramide.

GÉOM. DESCR. 31

Pour déterminer les horizontales communes au plan P et aux plans auxiliaires, ou a fait usage du plan de profil commun passant par le point D.

Fig. 4%

Li^lfc

/il

éL^i___ \

1 i ItJ^-i

Remarque. — L'épure obtenue est identique à celle que donnerait l'emploi d'un plan vertical de projection passant par le point D et perpendiculaire au plan P.

Il arrive souveut, eu géométrie descriptive, qu'une même épure est le résultat de considérations différentes appliquées a la résolution d'une même question.

§ 410. — Intersection de deux cylindres (fig. 4971.

Solution. — 1" Construire Po, trace d'un plau parallèle aux génératrices recliligues des deux surfaces cylindriques ; 2» couper les traces des cylindres par des parallèles à P0 et rechercher l'intersection des génératrices qui ont leurs traces sur une même parallèle.

Nota. — On n'a figuré que la projection oblique de l'intersection afin de ne pas surcharger l'épure.

La tangente eu un point de la projection oblique est la droite qui joint ce point a l'intersection des traces des plans tangents suivant les deux génératrices qui passent par le point de l'espace correspondant.

§ 411. — Biais passé gauche. Normale en un point

<fig. 498).

Nous avons déjà défini et étudié cette surface au § 313. Résolvons le problème de la normale par la méthode des projections obliques.

ta) Données. — Les directrices de la surface sont les deux demi-circonférences verticales A B C, D E F et la droite horizontale G J. Le poiut donné M est situé sur la génératrice rectiligue H I J (en projections h i j0 — hl il j0). Le paraboloïde de raccordement a pour directrices les trois droites HK, IL et JR (parallèle a G H) (1).

(1) Dans la troisième partie (§ 315) nous avions fait usage d'un hyperboloïde de raccordement. Ici, au lieu de prendre comme directrice de l'hyperboloïde la troisième directrice g0 J„ du biais passé, nous prenons une autre droite s„ r — s„rl de son plan tangent au point J ; seulement, comme nous la prenons parallèle au plan des deux cercles directeurs, il en résulte que les trois directrices de l'hyperboloïde sont parallèles à un même plan et que cet hyperboloïde se transforme en un paraboloïde.

La droite N L 0 qui s'appuie sur ces trois lignes est une seconde génératrice (1er système) qui est employée a la détermination de la génératrice M P du deuxième système. Le plan P0 a des droites H IJ et M P est le plan tan-

Fig. 497

gent commun au plan gauche et au biais passé en M, et la perpendiculaire M Q a ce plan est la normale cherchée.

§ 412. — Conclusions.

La méthode qui vient d'être exposée sommairement ne diffère de la méthode ordinaire que par le caractère suivant: substitution de projections obliques à 45 degrés, sur le plan horizontal, aux projectious orthogonales sur uu plan vertical.

Elle présente les avantages suivants :

1° L'enseignement des principes de*.la géométrie descriptive est simplifié.

Elle supprime, en effet, l'emploi de deux plans de projection et le rabattement de l'un d'eux sur l'autre, opération toujours difficile à saisir pour des commençants. Il n'y est plus question des quatre dièdres ; l'élève u'a a considérer que deux régions de l'espace : celle qui est au-dessus et celle qui est au-dessous du plan horizontal choisi comme plan de projection.

2° L'étendue des épures est considérablement réduite.

Cela résulte de la suppression de toute la portion des lignes de rappel qui, dans la méthode ordinaire, est comprise entre les projections horizontales des points et. la ligne de terre ; cela résulte aussi de l'emploi exclusif des profils (ou lignes de plus grande pente) pour la représentation des plans.

C'est aussi une conséquence de ce que le système de projections obliques étant arbitraire, on peut le choisir dans chaque cas et même pour chaque partie d'une même épure, de façon à réduire au minimum le champ des constructions.

3° Les figures obtenues fout image.

Nous l'avons fait remarquer au § <50G, lorsque nous avons dil que les projections obliques constituaient des perspectives cavalières ou des ombres portées.

Il est inutile d'insister sur ce dernier avantage ; nous dirons seulement que l'élève qui a été exercé aux projections obliques comprend ensuite, avec la plus grande facilité, toutes les questions d'ombres.