PBOBLàMEXXVI. Connaissant deux faces dÜ un

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T2 PltKMlfenE PARTIE.

(Wgîe trièdre et leur inclinaison , trouceY la troisième face et les deux autres inclinaisons.

Soient (fig. XXVI) ash et asc les deux faces données, rabattues Tune à côté de l’autre. Si on mène perpendiculaire sur as, les lignes gh et gf seront les intersections de ces faces avec le plan qu’on élèverait au point if perpendiculairement .à l’arête as, et, lorsque les deux faces sont dans leur véritable situation, ces lignes font entre elles un angle égal à l’inclinaison donnée. Supposons <juc le plan de cet angle tourne autour de gh pour s’appliquer sur le plan ash, la droite gf viendra faire ay^c gh l’angle kgh égal à cette inclinaison. D’aillein-s, la distance gf ne doit pas changer de grandeur; donc, si on prend gh=gf, et qu’on abaisse kh perpendiculaire à gh, le point h sera le pied de la perpendiculaire abaissée sur le plan ash par le point F de la troisième arête, lequel est rabattu en f et en k. Concevons que cette dernière arête tourne autour de hs pour venir dans le plan de ash : il est clair que le point F ira se placer qiiehpie part, en f, sur la perpendiculaire hff a Ae; et comme il doit être à la même distance du sommet s que le point J, il s’ensuit que le point y' est déterminé, et par conséquent la troisième face bsf l’est aussi . Connaissant les trois faces, on trouve les inclinaisons au moyen du problème précédent. Remarquez qu’en prolongeant gh jusqu’en i, on devra avoir if=ik.

44. Problème XXVII. Connaissantdeux faces dl un angle trièdre, et V inclinaison opposée à P une (Pelles, trouver la troisième jace et les deux autres inclinaisons.

Soient (fig. XXVII) ash et asc les deux faces don-

nées, et supposons qu'on connaisse l'inclinaison opposée à la face asc. Représentons-nous l'angle trièdre tel (ju’il est dans l'espace , coupons-le par un plan perpendiculaire .à l'aréte as, et cherchons le rabattement, sur le plan asb, du triangle qui résulte de cette intersection. I>es traces gi, gf, de ce plan sur les faces asb, asc, sont des perpendiculaires à^w; et même les distances^/, gf, représentent déjà les véritables grandeurs de deux côtés du triangle dont il s'agit. 11 suit de là que si on considère gi comme la hase de ce triangle , le sommet devra se trouver rabattu en quelque point de la demi-circoiiférence fpc^, décrite du centre g avec le rayon gf.

- Quant au troisième côté, sa direction est déterminée par l'intei’section du plan perpendiculaire à as avec celui de la troisième face; et comme l'inclinaison de cette troisième face est connue, il sera facile de trouver la direction de cette intersection. D'abord elle doit passer au point /; cherchons-en donc un second point. A cet effet, menons gu perpendiculaire à bs, et imaginons suivant go un plan pei^pendiculaire à la face asb. Cæ plan coupera la troisième face de l'angle trit*dre suivant une droite qui fera avec og un angle égal à l'inclinaison donnée. On peut donc avoir immédiatement, en gom , le rabattement de cet angle; et, si on mène^w perpendiculaire à gp, cette droite sera la vraie gi-andeiir de la perpendiculaire qui serait élevée en g au plan asb et terminée au plan de la troisième face. Or, cette dernière perpendiculaire est tout entière dans le plan du triangle qui a gi pour base, et dont on cherche le rabattement sur le plan asb\ donc, quand ce triangle tourne autour de gi, elle doit s'appliquer, dans la direction Ac ga, sur la distance donc, en tirant

une droite par les points i et n, on aura la direction

du troisième côté du triangle.

Quand la droite in rencontre la demi-circonférence fpq en deux points p et q, comme sur la figure, le problème a deux solutions. £n effet, si on remet le plan de cercle fpq dans sa position primitive , et qu’alors on joigne le sommet s aux points p et q, il est clair qu’on aura deux angles trièdres construits avec les données du problème. Considérons d’abord celui qui est détei*miné par le point p. La droite pi sera la distance du point i à un point de la troisième arête; mais la distance du sommet j à ce point de la troisième arête est égale à sf ; donc , lorsqu’on rabat la troisième face autour de bs, ce point se placera à l’intersection jj des arcs décrits avec les rayons ip et sf\ et ensuite , en tirant J//, on trouvera bsqJ pour troisième face. Si on considère l’angle trièdre déterminé par le point q et qu’on fasse les mêmes constructions , on aura bs(jf pour troisième face.

Remarques. Si des points petqon abaisse des pei"pendiculaires sur gi, et qu’ensuite, par leurs pieds, on mène des perpendiculaires à sb, ces dernières lignes doivent passer respectivement aux points jJ et (j .

Le problème n’a deux solutions que dans les cas où les points p et q sont tous deux du côté in. Lorsque le point q tombe du côté iri il ne fournit pas de solution. Quand le demi-cercle fpq est tangent à in, les deux solutions se réduisent à une seule. Enfin, si le cercle et la droite ne se rencontraient pas, le problème serait impossible.

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SURFACES COURBES ET PLANS TANGEN'FS.

Génération des surfaces.

4H. Quelle que soit la surface que l’on considère, on doit toujours chercher dans sa définition, ou dans sa génération , ou dans ses propriétés , les éléments propres à la déterminer; de telle sorte que, ces éléments étant une fois donnés, on en pourra déduire la solution de toutes les questions relatives à la surface. C’est ainsi qu’un plan est déterminé par ses deux traces, et une sphère par son centre et son rayon.

S’il s’agissait de déterminer une surface dans le seul but de la distinguer de toutes les autres, on conçoit que les éléments propres à remplir cet objet pourraient varier d’une infinité de manières différentes. Mais il faut , et cette condition est essentielle , que ces éléments soient d’un emploi facile dans les recherches auxquelles la surface doit être soumise. A cet égard , le choix est rarement embarrassant : car les surfaces sur lesquelles s’exeree la géométrie descriptive sont toujours connues par leur génération, et cette génération même fournit les éléments qui les déterminent de la manière la plus simple, et en même temps la plus commode pour les constructions.

46. Toute surface peut être considérée comme engendrée par le mouvement d’une ligne, de forme constante ou variable. Ainsi, on décrit le plan en faisant

76 DElIxrt.ME PARTIE,

glisserune droite parallèlement à elle-même le long d’une droite , ou en la faisant tourner perpendiculairement autour d’une drojte fixe qu’elle rencontre constamment au même point : dans cet exemple la génératrice ne change pas de forme , c’est toujours une ligne droite. La sphère est produite par la rotation d’un grand cercle autour d’un diamètre , et ici la génératrice conserve encoi’e la même forme; mais on peut aussi obtenir la sphère en faisant mouvoir un cercle de manière que son plan reste perpendiculaii'e à un même diamètre, que son centre soit toujours sur ce diamètre , et que son rayon varie suivant une loi convenable.

En général , on peut tracer sur quelque surface que ce soit une pi-emière ligne à volonté , puis supposer que cette ligne se meut , en changeant de forme si cela est nécessaire, de manière à engendrer la surface. Mais, dans les applications , il y a peu d’utilité à envisager la génération des surfaces sous un pointde vue aussi général, et c’est toujours à celle qui convient plus spécialement à clia((ue sorte de surfaces qu’on doit avoir recours.

La ligne dont le mouvement engendre une surface se nomme génératrice . Une ligne, droite ou courbe, qui sert à diriger le mouvement de cette génératrice se nomme ligne directrice. Quand on se sert d’un plan pour diriger ce mouvement, c’est un plan directeur. Quand on emploie une surface , c’est une surface directrice.

Du plan tangent et de la normale.

47. Une courbe peut être considéi’ée comme un polygone dont les côtés sont infiniment petits , et alors les tangentes sont les droites qu’on obtient eu prolongeant

SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 7T les côtés indénniinent. De même une surface courbe peut être assimilée à un polyèdre dont les faces sont infiniment petites, et un plan tangent n'est autre chose que le plan (tune de ces faces, supposé indéfini.

Ainsi, pour avoir une idée nette de ce que doit être le plan tangent en un point d'une surface, il faut imaginer c(u’on a pris autour de ce point une partie infiniment petite de cette surface : cette partie peut être regardée comme située dans un plan , et c’est ce plan , considéré comme indéfiniment prolongé, fjui est le plan tangent.

48. Concevons par le point de contact tant de lignes qu’on voudra, tracées sur la surface, et prenons, à partir de ce point , des parties infiniment petites de ces lignes ; elles seront toutes situées dans le plan tangent. Mais, d’un autre côté, ces parties peuvent être considérées comme des lignes droites, et en les prelongcant indéfiniment, elles seront les tangentes aux lignes tracées sur la surface; donc chacune de ces tangentes a une portion infiniment petite de sa direction, qui est contenue dans le plan tangent ; donc elle y est tout entière : c’està-dire que le plan Umgent à une surface contient les tangentes menées, par le point de contact, à toutes les lignes qu'on peut tracer par ce jmntsur la surface.

49. Cette conclusion dérive immédiatement des considérations infinitésimales sur lesquelles reposent les définitions de la tangente et du plan tangent; mais on peut s’en affranchir de la manière suivante.

D’abord il faut rappeler que, si on mène une droite qui rencontre une courbe en deux points, et si ensuite on la fait tourner autour de l’un d’eux, de manière que l’autre vienne coïncider avec lui après s’en être rap-

prodië de plus en plus, la droite vient alors prendre une position déterminée, dans laquelle on lui donne le nom de tangente. Cela posé, je vais prouver que les tangentes menées, par un point d’une surface, aux différentes lignes qu’on peut tracer par ce point sur la surface, sont toutes situées dans un même plan; et aloi's ce sera ce plan que nous conviendrons d’appeler plan tangent.

Pourdémontrer cette proposition, je regarderai la surface comme engendrée par le mouvement d’une ligne, et, pour plus de netteté, je supposerai d’abord que cette ligne est de forme invariable. Soit M un point quelconque de la surface (pl. H, fig. 14), et AA' la génératrice passant par ce point; considérons-la dans une position GG', aussi voisine qu’on voudra de AA', et supposons que le point N soit celui qui vient se placer en M, en décrivant la route CC sur la surface. Soit encore MD une courbe quelconque tracée par le point M sur la surface, et P son intersection avec la génératrice GG'. Enfin , par les points M , N , P , pris deux à deux, menons les sécantes MR, NS, MT.

Maintenant concevons que la génératice GG' se rapproche de AA', et qu’enfin elle vienne coïncider avec AA' : au moment où la coïncidence s’établit, les points N et P viennent se confondre avec le point M, et dès lors les trois sécantes deviennent des tangentes aux trois courbes CC, AA', MD. Or, pendant que les trois sécantes varient de position, il y a toujoui-s un plan qui les contient toutes les trois; donc, au moment où elles deviennent tangentes, elles doivent encore être dans un même plan.

La démonstration précédente s’applique aussi au cas

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SURFACES COURBES ET PLAKS TAHGEHTS. 79 OÙ la génératrice GG^ change de forme : mais alors elle est sujette à une difficulté, résultant de ce que la définition de la tangente à une courbe exige que la courbe conserve sa forme pendant que la sécante, dont la tangente est la limite, tourne autour d’un point de cette courbe. Quoi qu’il en soit, comme nous n’aurons à considérer dans la suite que des surfaces dont la génératrice est de forme constante , nous pourrons admettre comme prouvé que le plan des tangentes menées aux courbes CC et AA', contient la tangente à une courbe quelconque tracée par le point M sur la surface ; conclusion qui revient exactement à celle du numéro précédent.,

50. Cette proposition est de la plus grande importance dans la recherche des plans tangents : car, comme il suffit de deux droites pour déterminer un plan, U s’ensuit que pour construire le plan tangent en un point <lonné d’une surface, il n’y a qu’à mener les tangentes à deux lignes seulement, tracées sur cette surface , et à conduire un plan par ces tangentes.

Il est inutile de dire qu’il faudra toujours choisir sur la surface les deux lignes dont les tangentes sont les plus faciles à trouver. Par exemple, si l’on peut mener par le point de contact deux droites qui soient entièrement contenues sur la surface, on remarquera que ces droites sont à elles-mêmes leurs propres tangentes; et par suite le plan tangent sera déterminé par ces deux droites. Ce cas est celui de certaines surfaces gauches àont les propriétés serant exposées plus loin ( n“ 64-75 ). Du reste , on verra bientôt que, dans chacjue genix; de surfaces, le plan tangent jouit de propriétés particulières qui en facilitent la détermination.

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80 DEUXIÈJIE PARTIE.

. On appelle normale la pcrpendiculaii'e au plan tangent, menée par le point de contact.

Des différents genres de surfaces.

52. Il y a des surfaces qui sont d’un usage fréquent dans les arts de construction, et auxquelles on doit une attention particulière. C’est de celles-là seulement que' je m’occuperai, et je les distribuerai en trois classes : LES SURFACES DÉVELOPPABI.ES , I.ES SURFACES DE RÉVO- LUTION, LES SURFACES GAUCHES.

53. Surfaces développables. Elles sont engendrées par une droite c[ul se meut de manière que , dans chacune de ses positions, elle soit dans un même plan avec la position infiniment voisine. Il est bien entendu que la génératrice est toujours indéfinie , à moins qu’on n’avertisse du contraire. Parmi ces surfaces, nous remarquerons le cylindre et le cône.

Le cylindre est engendré par une droite qui se meut parallèlement à elle-même, en s’appuyant sur une courbe quelconque ou en suivant telle autre loi qu’on voudra. De cette génération il lésulte qu’un plan parallèle à une génératrice ne peut couper la surface que suivant une ou plusieurs de ses génératrices.

Le cône est engendié par une droite qui passe constamment par un point fixe ou sommet, et qui se meut autour de ce point suivant une loi quelconque. Les deux parties d’un cône, séparées par le sommet, se nomment nappes. Il est évident qu’un plan mené par le sommet doit en généi’al couper le cône suivant une ou plusieurs droites passant au sommet.

SURFACES COlUBËS ET PLAAS TA.\GENTS. 8j 34. Pour avoir une idée nette des surfaces développables en général, prenons les choses de plus haut, et considérons la surface qu’on obtient en prolongeant indéHniment les côtés d’un polygone ABCD.... (fig. 15), dont trois côtés consécutifs quelconques ne sont pas dans le même plan. Cette surface, ou, si l’on veut, ce ■ polyèdre , se compose des faces PAQ , QBR , . . . qui ne sont autre chose que des portions angulaires de plans; et même rien n’empêche de concevoir toutes les arêtes comme prolongées de l’autre côté du polygone, et formant une seconde surface polyédrale, séparée de la première par le polygone ABCD..., de même que les nappes d’un cône le sont par le sommet. Supposons que le polygone soit inscrit dans une courbe donnée, et augmentons successivement le nombre de ses côtés : on détenninera ainsi une série de polyèdres dont chacune des arêtes sera dans un même plan avec l’arête immédiatement voisine; et par conséquent la limite de ces polyèdres sera une surface courbe douée de la même propriété, c’est-à-dire qu elle sera une surface déveloj)pable.

Remarquons en outre qu’en passant ainsi à la limite , le polygone se confond avec la courbe donnée , et que les arêtes du polyèdre deviennent tangentes à cette courbe; donc une surface développable peut être décrite par une droite qui reste constamment tangente à une courbe. Monge donne à cette courbe le nom A'nréte (le rebroussement.

Le cylindre et le cône échappent à cette génération , parce que, dans l’un, les génératrices sont parallèles, et que, dans l’autre, elles passent toutes par un même point.

82 DEUXIEME l'ABïIE.

33. Une propriété bien remarquable des suHaccs développables , et qui est exprimée par leur dénomination même, c’est qu’une portion quelconque d’une telle surface peut toujours s’étendre dans un plan sans déchirure ni duplicature. En effet, pour cela, il suffit de faire tourner successivement chacun des éléments plans, dont cette portion de surface est composée, autour de la génératrice qui le sépare de l’élément voisin. De cette manière , on pourra amener un premier élément sur |e plan du suivant, l’ensemble de ces deux éléments sur le plan du troisième, et ainsi de suite.

36. Une autre propriété également remarquable des surfaces développables , c’est que dans toute surface appartenant à cette classe , cylindre, cône, ou autre, le plan tangent doit contenir une génératrice tout entière , et être tangent à la surface en chaque point de eette génératrice.

Cette proposition dérive immédiatement de la génération des surfaces développables , et se démontre facilement par les considérations infinitésimales dont on a déjà fait usage (48). En effet, dans ces surfaces, une génératrice donnée est toujours dans un même plan avec la génératrice voisine : or il est évident que ce plan , prolongé indéfiniment en tous sens , est tangent à la surface en chaque point de la génératrice donnée.

C’est sur cette propriété qu’on s’appuiera pour construire les plans tangents aux cylindres et aux cônes.

37. Surfaces de RÉvoLirrtoif. Elles s’engendrent en faisant tourner une ligne autour d’un (t-xe fixe.

On nomme plans méridiens les plans qui passent

SUBFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 83 pur l'axe , el méridiens les intersections de ces plans avec la surface. Il est clair que tous les méridiens sont égaux , et que chacun est composé de deux parties parfaitement égales.

Il est également clair que les perpendiculaires abaissées sur l’axe , par les différents points de la génératrice , décrivent des cercles , dont les plans sont perpendiculaires à l’axe, et qui ont leurs centres sur cet axe. Ces cercles se nomment parallèles.

58. Comme exemples de surfaces de révolution, je me bornerai à citer la sphère qui est si connue, et surfine gauche de révolution. Cette dernière est celle que décrit une droite en tournant autour d’un axe qui n’est pas situé avec elle dans un même plan. La plus courte distance de la génératrice à l’axe est une droite perpendiculaire à ces deux lignes (^Introd. 59), et par conséquent elle décrit autour de l’axe le parallèle du moindre rayon. - Ce parallèle se nomme gorge ou collier. Les propriétés de cette surface seront exposées numéros 64-70.

59. Dans toute surface de révolution , le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien qui passe au point de contact.

En effet, le plan tangent doit contenir la tangente au parallèle qui passe au point de contact (48) : or le plan de ce parallèle est perpendiculaire au plan méridien, et la tangente à ce parallèle est perpendiculaire au rayon qui est l’intersection des deux plans ; donc cette tangente est perpendiculaire au plan méridien; donc le plan tangent l’est aussi. ,

60. Surfaces gauches. On nomme ainsi les surfaces qui sont engendi*ées par une ligne droite, et qui ne sont pas développables.

Toutes les surfaces décrites par une di-oite, soit gauches, soit développables, sont comprises dans la dénomination générale de surfaces réglées.

6 1 . Parmi les différents moyens de déterminer le mouvement d’une droite pour lui faire décrire une surface gauche , le plus simple est de l’assujettir à rencontrer constamment trois lignes ou directrices données. Pour démontrer qu’en effet la surface est alore déterminée-, prenons un point quelconque M de la première directrice A (fig. 16), et regardons-le comme le sommet d’un cône engendré par une droite qui s’appuie sur la seconde B. Ce cône ira couper la troisième directrice C en un point P; et la droite MP, menée par les points M et P, étant tout entière sur ce cône , doit rencontrer la ligne B en quelque point N, et par conséquent elle s’appuie sur les trois directrices, aux points M, N, P. Si on conçoit que tous les points de la première directrice soient pris successivement pour sommets de diffél’ents cônes, la droite MNP, qui rencontre les trois directrices, changera continuellement de position et décrira une surface, qui est ainsi complètement déterminée.

Il se pourrait que les trois directrices fussent sur une surface développable. Aloi-s la génératrice , en glissant sur ces directrices , décrirait cette surface elle-même.

62. IjCS surfaces gauches que nous remarquerons sont les suivantes :

1“ Il hjperboloïde à une ruippe, engendre par une

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SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 85 droite qui se meut sur trois droites non parallèles à un même plan. La surface gauche de révolution en est un cas particulier (67, scolie).

2“ Le paraJx>loïde hyperholique ou plan gauche, engendré par une droite qui se meut sur deux droites , en restant toujoure parallèle à un plan directeur, ün démontre (73, scolie II) que cette surface est la même que décrit une droite qui glisse sur trois droites parallèles à un plan *.

3“ Le cjlindre gauche, engendré par une droite assujettie à demeurer parallèle à un plan directeur, et à s’appuyer sur deux courbes quelconques.

4® IjC conoïde , engendré par une droite qui reste parallèle à un plan directeur, et qui glisse sur une draite et sur une courbe.

63. Je vais exposer maintenant les propriéti's des surfaces gauches. Mais le lecteur, qui voudrait se borner à la partie la plus élémentaire de la théorie des surfaces, pourra passer immédiatement aux problèmes (7 6), et alors il devra laisser de côté ceux qui sont relatifs aux surfaces gauches.

Propriétés de la surface gauche de révoliilioii.

64. Théorème (fig. 17). Les génératrices de la surface gauche de révolution se projettent sur le plan du collier suivant des tangentes au collier.

*L’hyperboloïde à une nappe et le panaboloïde hyperbolique sont les seules surfaces gauches dont l'équadon soit du second degré , et pour cette raison on les désigne souvent sous la dénomination de surfaces gauches du second ordre.

Concevons, par un point quelconque A du collier, une génératrice AG et une parallèle AD à l’axe OZ. Soit O le centre du collier : le rayon OA étant perpendiculaire à OZ et AG , doit l’être au plan DAG , et par conséquent aussi à la trace, AR, de ce plan sur le plan du collier. Or AR est évidemment la projection de la génératrice AG ; donc cette projection est tangente au collier.

6«>. Théorème (fig. 17). On [>eut mener, par chique point de la surface, ^ux droites qui s’appliquent sur cette surface dans toute leur étendue.

Soient OZ l’axe de la surface, OA le rayon du collier, AG la génératrice , et AD une parallèle à l’axe. Ijc plan DAG étant perpendiculaire à OA , l’est aussi au plan méridien ZOA , et la trace AR , du plan DAG sur le plan du collier, est tangente au collier : c’est ce qu’on vient de voir dans le théorème précédent. Maintenant, dans' le plan DAG faites l’angle DAH = DAG; et je dis que la ligne AH, en tournant autour de l’axe, décrira la même surface que AG :

Pour le démontrer, menez perpendiculairement à l’axe un plan quelconque qui coupe cet axe en L, les lignes AG, AD, AH, en G, D, H, et le plan GAH suivant la droite GDH; joignez LG, LD, LH. Les triangles ADG, ADH sont rectangles en D, l’angle DAG = DAH , et le côté AD est commun : donc DG=DH . Par suite les triangles DGL , DHL sont égaux comme ayant DL commun , DG = DH , et l’angle droit GDL = HDL; donc LG = LH. De là on conclut que le point H décrira le même cercle que le point G, c’està-dire que, sur les droites AG et AH, les points qui sont

SURFACES COURBES ET FLANS TANGENTS. 87 à égale distance du collier décrivent le même parallèle Donc ces droites engendrent la même surface; donc, par chaque point de cette surface, on peut tracer deux droites qui s’appliquent sur elle exactement.

Corollaire. Il y a donc deux systèmes de génératrices à considérer sur la surface. L’un embrasse les différentes positions de la droite AG; et l’autre, celles de la droite AH.

66. {i\^. M'). Le centre du collier est en me'me temps le centre de la surface : c’est-à-dire qu’/7 partage en deux parties égales toutes les droites menées par ce point et terminées h la surface.

Quand la rotation a placé le point A en A' à l’autre extrémité du diamètre AA', et les lignes AR, AG, AD, -\H, en AU', A'G', A'IV, A'H', il est clair que les tangentes AR et A'R' sont parallèles, ainsi que les plans GAll et G'A'H'. Par suite les droites AG et A'Il', qui font les angles GAR et H' A'R" égaux entre eux et de même sens, doivent être parallèles entre elles. Si donc, pai’ le point O et par un point quelconque M de AG , ou mène une droite, elle ira couper A'II' en un point N, et on aura ON = OM, ce qui l'evient à l’énoncé.

67. TnÉORiME (fig. 18). Deux génératrices de systèmes différents sont toujours dans un même pla n ; mais deux génératrices d’un même système n’y sont jamais. Trois de ces dernières , prises comme on voudra , ne jKueent pas non plus être imrallèles au même plan.

Supposons que la rotation ait amené les lignes AD, AG, AH, dont il est parlé dans le théorème précédent

88 DETiXlÈMTE PA.RT1K.

en A'iy, A'G', A'H', et la tangente AR en A'R'. I^es génératrices AG, A'G' appartiendront au premier système, et AH, A'H', au second. Par le point de rencontre des deux tangentes menons KRR' parallèle à l’axe OZ , cette parallèle sera l’intei-section des plans GAH, G' A'H'. Comme les angles GAR, H' A'R sont égaux, et que AR = A'R, il est facile jde voir que les droites AG, A'H' vont couper RK au même point; donc deux génératrices de systèmes différents sont toujours dans un même plan.

Quant aux droites AG et A'G', si elles se coupaient, ce ne pourrait être que sur la ligne KK' : or, les angles GAR et G'A'R' étant égaux, il est évident que l’une «le ces génératrices coupe KR' au-dessus du point A, et l’autre au-dessous; donc elles ne se rencontrent pas. D’ailleurs, les lignes AG, A'G' ne peuvent pas être parallèles : car, si elles l’étaient, les plans GAD, G'A'IV le seraient aussi , et A'R' serait parallèle à AR. Mais ^ alors AG et A'G' auraient la position qu’elles occupent dans la figure 1 7 ; les lignes A'G' et A'H' seraient donc tontes deux parallèles à AG, ce qui est impossible. Donc deux génératrices d’un même système ne sont jamais dans un même plan.

Maintenant, prenez à volonté trois génératrices d’un même système, et menez-leur des parallèles par un point «le l’axe. Puisque , dans un même système , il n’y a point de génératrices parallèles entre elles, ces trois parallèles seront trois droites distinctes; et puisque toutes les génératrices sont également inclinées sur l’axe , ces parallèles feront des angles égaux avec l’axe. De là il est facile de conclure qu’elles rencontrent le plan du collier en trois points placés sur une circonférence de

SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 89 cercle, et que par conséquent elles ne sont pas dans un même plan; or, c’est ce qui devrait être si les trois génératrices étaient parallèles à un plan. Donc trois génératrices d’un même système ne peuvent pas êtiv parallèles au même plan.

Scolie. Il est clair que la surface peut être décrite en faisant glisser une droite sur trois génératrices quelconques prises dans un même système, et qu’on regarderait comme trois directrices fixes ; donc la surface gauche de révolution est un cas particulier de l’hyperboloïde à une nappe (62).

68. Théorème (fig. 1 9). Si par le centre de la surface on mène une parallèle h une génératrice , et que ces deux lignes tournent en même temps autour de taxe sans cesser d’étre parallèles , la première décrit un cône droit qui est asymptote de la surface gauche décrite par la seconde : c’est-à-dire que le cône f)eut approcher de cette surface aussi près qu’on veut, sans jamais t atteindre.

La proposition se réduit à démonti’er que si on coupe les deux surfaces par des plans perpendiculaires à l’axe , la différence entre les rayons des cercles concentriques, résultant d’une même section , peut devenir aussi petite qu’on voudra , sans jamais être nulle.

Soient AG une génératrice quelconque de la surface, et OL sa parallèle sur le cône. Je mène perpendiculai- , rement à l’axe OZ un plan qui rencontre cet axe en P, la ligne AG en M, et la ligne OL en N : il est clair que ce plan coupe les deux surfaces suivant des cercles dont les rayons sont PM et PN. Menez AR tangente au col-

90 DEUXIÈMS PARTfK.

lier : on sait, par les théorème précédents, que le plan G AH est perpendiculaire au plan du collier; donc, si un mène MR perpendiculaire à AH , cette ligne sei>a aussi perpendiculaire au plan du collier, et parallèle à OZ. Par suite MR=OP et l’angle AMR = NOP; donc les triangles rectangles MAR, ONP sont égaux; donc AR = PN.

Le triangle rectangle OAR donne OR* — AR*= OA* ; donc PM* — PN*=OA*; donc, si on faitOA=a, PM=R, PN=R', il viendra

Mais R'— R'*=(R-f R')(R— R'); donc

Or, en faisant des sections de plus en plus éloignées du collier, les rayons R et R' deviennent de plus en plus grands, et même ils peuvent dépasser toute limite; donc la valeur précédente de R — R' peut devenir aussi petite qu’on veut, sans jamais être nulle. C’est ce qui était à démontrer.

Scolie. Il est clair que chaque génératrice de la surface gauche de révolution a sa parallèle sur le cône asymptote , et réciproquement : de sorte qu’on peut regarder ce cône comme le lieu des droites qu’on obtient en transportant au centre de la surface gauche toutes les génératrices de l’un et l’autre système.

69. Théorème (fig. 20). Un plan conduit par taxe iV une surface gauche de révolution coupe cette sur feux suivant une hyperbole.

SUBFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 91 Soit DEE'iy un plan qui passe par l’axe XX', et qui coupe le cercle de gorge suivant le diamètre YY'; soit M un point quelconque de la courbe d’intersection de ce plan avec la surface, et soit MA la génératrice qui passe en ce point et rencontre le cercle de gorge en A. Abaissons les perpendiculaires MP et MQ sur OX et OY, puis tirons AQ et OA : l’angle MAQ sera égal à l’angle constant que fait la génératrice avec le plan du collier. Posons l’angle MAQ=a , OA=a , OP=a;, MP=^: le triangle AMQ donne d’abord AQ=MQXcota=a:cota ; et ensuite, par le triangle rectangle OAQ, on a la valeur de OQ* ou savoir :

[ 1 ] y—x^ cot*a -|- rt*,

équation qui représente une hyperbole.

Scolie I. Les asymptotes de cette hyperbole ont pour équations ^=rt .T cota; donc elles font avec l’axe XX' le même angle que les génératrices de la surface , et par conséquent elles sont sur le cône asymptote, dont la dénomination se trouve ainsi justifiée de nouveau.

Scolie II. Il est évident qu’on reproduirait la surface en faisant tourner l’hyperbole autour de son second axe XX'; et pour cette raison on la désigne encore sous le nom à' hjperboloïde de révolution à une nappe. En faisant tourner l'hyperbole autour de son premier axe iYY', on aurait un hjrperbololde à deux nappes.

Scolie III. Considérons une autre surface gauche de l'évolution ayant le même axe OX que la précédente, mais dont le centre soit placé à une hauteur OH = h au-dessus du point O. Soient d le rayon de son collier, ^t »' l’angle de sa génératrice avec le plan de ce collier.

Pour avoir la serlion faite dans la nouvelle surface par le plan XOY, et rappoi'tée aux mêmes axes OX et 0\ , il suffit de remplacer, dans l’équation [1], a par a par a', et x par x — h. De cette manière, il vient

[2] y=z{.c — /i'/cotV-j-o'*.

Il est évident que les deux surfaces ne peuvent se couper que suivant des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l’axe OX , et que ces plans rencontrent l’axe OX à des hauteui's précisément égales à celles des points d’intei’section des deux hyperboles représentées par les équations [1] et [2]. Pour avoir ces hauteurs il suffit donc d’éliminer entre les deux équations, et de tirer les valeurs de x de l’équation résultante, laquelle est

[3] (./■ — A)’cotV — .r’cot'a ^ — «’= 0 .

Maintenant supposons a' et mettons, dans cette dernière équation, a* — ou zéro au lieu de a*, et ci* — a* au lieu de ri* : cette équation reste la même. Or, par le changement de ci en a* — d, la première surface gauche se réduit à son cône asymptote; et, par le changement de d* en d * — «*, la seconde se trouve remplacée par une autre sui’face gauche qui n’endifïère que par son collier, lequel a pour rayon \jd* — quantité facile à trouver géométriquement. On voit donc par là comment la construction des cercles communs à deux surfaces gauches de révolution , qui ont le même axe, peut se ramener au cas plus simple où l’une des lieux surfaces serait un cône.

(Ætte remaixjue servira (1 41 ) à construire l’intei’section d’une droite avec une surface gauche de révolution.

SURFACES COtRRES ET PLAÎfS TANGENTS. 93

70. Théorème (fig. 21). En coupant la surface ^miche de révolution par des plans qicelconques , on peut obtenir des ellipses, des paraMes et des hjpcrimles.

Soit BY la trace d’un plan quelconque sur celui du collier : j’abaisse, du centre de la surface, la jjerpendiculaire OB sur BY, et je conduis un plan par OB et par l’axe OZ de la surface. Ce plan sera perpendiculaire au plan coupant, et le rencontrera suivant une droite BX perpendiculaire à BY. Soit M un point quelconque de la courbe qui résulte de la section faite dans l’hyperboloïde : je mène l’ordonnée MP perpendiculaire .à BX , et je pose BP=.r, MP= OA étant le rayon du collier, et MAQ l’angle d’une génératnce quelconque avec le plan du collier, je ferai OA = c/, MAQ = *. Enfin, pour fixer la position du plan coupant, je prendrai la distance OB = />> et l’angle OBX = p.

Il s’agit d’arriver à une relation entre les coordonm-es X et^'. A cet effet, supposons que la génératric»* passant au point M soit la droite MA, laquelle rencontre le collier en A. Menons AQ tangente au collier, MQ perpendiculaire à AQ , et PR perpendiculaire à BO ; puis tirons OA, OQ, QR. La figure MPRQ sera un rectangle, et on aura PR=MQ, QR = MP=^.

Le triangle OQR est rectangle en R, et donne QR ou ^=OQ* — OR*. Or le triangle rectangle OAQ donne OQ=AQ-j-rt*; donc

j’ = ÂQ’ — ÔR’+a*.

Dans le triangle BPR, l’hypoténuse BP = æ et l’angle PBR=P; donc MQ=PR=.î; sin p. Par suite le triangle

94 DEIIXl^.MB PAllTUl.

rectangle MAQ, clans lequel l’angle MÂQ est égal à «,

donne

AQ=MQXcota=j:sln|3cota.

I)u même triangle BPR on tire BR=xcosP, et de là résulte

OR=BR — BO=acosP — b.

Substituons ces valeurs de AQ et de OR dans l’expression de j'y et il vient

sin’P cot* a — (jrcos ^ — - 6)'-|-a* =(sin*Pcot*a — cos*p)j;’-|-2ArcosP-|-«*—

Au moyen des relations connues

cos*P=i — sin*p, cot*a=

cos*a 1 — sin*«

sui'a

on peut changer la valeur de y en celle-ci

W '•) ^•’H-2*cosp.x-fa*—

et telle est l’équation de la courbe d’intersection de la surface gaüche par un plan quelconque.

Il est permis de supposer cpie a et P sont des angles aigus. Dès lors il est facile de voir que cette équation représente une ellipse , une parabole , ou une hyperbole , selon qu’on prend P<C*» P=*j ou P]>a : car, dans le premier cas , le multiplicateur de x* est négatif, il est nul dans le second , et positif dans le troisième.

Scolie I. Si on fait a =0 , le rayon OA devient nul , et l’hyperboloïde se change en son cône asymptote. Par cette hypothèse l’équation [4] devient

[5] l).r>+24cosp.j:— ô*;

et comme le cx>efHcient de n’a point change, on en conclut que les sections faites par le même plan , dans

SURFACES COURBES ET FLANS TANGENTS. 95 l’hyperboloïdR et dans le cône asymptote, sont des courbes de même espèce.

Scolie II. Transportons le plan coupant parallèle* ment à lui-même au sommet du cône , et pour cela faisons b=Q : l’équation [5] se réduit à

Celle-ci donne un point unique quand l’équation [4} représente une ellipse ; une droite , quand l’équation [4] représente une parabole ; et deux droites qui se coupent , quand l’équation [4] représente une hyperbole. Ainsi, pour juger si une section de l’hyperboloïde est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, U suffit d’examiner si un plan parallèle , passant par le centre , coupe le cône asymptote en un point unique, suivant une droite , ou suivant deux droites. Et , dans le dernier cas , on doit observer que les deux droites sont parallèles aux asymptotes de l’hyperbole.

Scolie III. Le cas où la surface gauche est coupée par un plan qui passe suivant l’axe, est compris dans l'équation [4]. Pour l’en déduire, il faut supposer que le point B est placé en O, et que la ligne BX coïncide avec OZ : c’est-à-dire qu’on doit faire 4 = 0, et P = 90*. Aloi“s en effet on retombe sur l’équation [1],

= .Z* cot’ a a*.

Sur l’hjperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique.

71. TuÉORèME. L’hyperMolde à une nappe peut t^tre engendré de deux manières différentes par le mouvement d'une droite.

D’après la définition (62), cette surface est décrite

par une droite qu’on ferait glisser sur trois droites fixes qui ne sont point parallèles à un même plan. Désignons par A, B, C, ces trois directrices, et supposons que trois génératrices quelconques h, c, de la surface soient prises pour diriger le mouvement d’une droite mobile. La proposition qu’il faut démontrer, c’est que la nouvelle surface, ainsi décrite, est identique avec la surface donnée; et tout se réduit à faire voir qu’une génératrice prise à volonté sur l’une des surfaces est rencontrée en chacun de ses points par une génératrice de l’autre surface : car alors il sera évident qu’elle est tout entière sur cette dernière surface. J’établirai d’abord le lemme suivant.

Soient données, dans un plan, tant de droites qu'on voiulra y partant d’ un meme point h. (J\^. 22). Coufjezles par une droite CC'; des points d'intersection E, E', E", . . . menez des droites à un point quelconque B, situé dans le plan ou hors du plan des droites données; puis supposez qu'on tire deux transversales NN'^ , PP'' , de manière qu'on ait la proportion PTN' ; PP' : ; N'N" ; P'P". Je dis qu'on aura la suite de rapports égaux

[1] NN' ; PP' : : N'N" : FP" ; : N"N'" : F'P'", etc.

Parallèlement à la transversale NN" menez AC qui coupe CC en C , et joignez BC. Prolongez NN" jusqu’à sa ' rencontre D avec la même droite CC, et menez parallèlement à BC la droite DQ, qui coupe les lignes BE, BE', BE",... en Q, Q', Q",... Enfin tirez AB, NQ, N’Q',...

A cause des parallèles DN et CA, DQ et CB, on a ED ; DC : ; EN ; NA ; : EQ : OB; donc NQ est paral-

SURFACES courbes Et PLANS TANGENTS. 97 lèle à AB. Un raisonnement semblable prouve que N'Q', N^'Q'',... sont aussi parallèles à AB.

Les droites NQ, N'Q',... étant parallèles, on doit avoir la suite de rapports égaux

[2] NN' : QQ' : ; TTN" : Q'Q" : : N"N"' : Q"Q"', etc. Mais, par hypothèse, on a NN' ; PP' N'N" ; W"; donc PP' ; QQ' ; : P'P" ; Q'Q"; donc la droite QQ" est parallèle à PP", et par conséquent on a

[3] PP' : QQ' : : Pl^ : Q'Q" : : W" : Q"Q"', etc.

En compaz’ant les suites [2] et [3], on obtient la suite [1] qui était à démontrer.

Passons actuellement au théorème proposé. Soient (fig. 23) AA', BB', CC' les trois directrices de l’hyperboloïde, et ab, dB, d'B' trois génératrices quelconques, qui coupent ces directrices aux points a, b, c, d,B, d ,d' ,U' . Considérons les trois lignes a^, d'B' comme les directrices d’une seconde surface gauche , et soit rnrd une droite qui les coupe en m , //?.', td' : la droite nwi! sera une génératrice de cette surface. Prenons à volonté un point o sur wm'; par ce point et par la ligne AA' conduisons un plan kU"d" ^ qui rencontre les lignes BB' et CC' aux points B" et d" ; puis menons la droite B"d" . Cette droite ira couper AA' en quelque point rt'", et par conséquent elle sera une génératrice de la première surface : or je vais faire voir qu’elle passe au point o.

Par la droite CC conduisons les deux plans BCC, ACC' : l’un parallèle à AA' et rencontrant BB' en B, l’autic parallèle à BB' et rencontrant AA' en A ; puis tirons les droites Ac, kd^ \d', Ad", Bc, Bc', Bc", Bc'". Par les

98 DEUXIÈME PABTIE.

trois points w, ni, ni' , menons des parallèles à la droite AaV : comme elles sont dans les plans hoc, hxié , hd'é' , et que la ligne mnini' est droite , il est clair quelles rencontrent les lignes hc, hd , hd' en trois points n, ii, n", qui sont aussi en ligne droite. Par les mêmes points rn , rri, ni', menons encore des parallèles à BB', lesquelles rencontrent les lignes Bc, Bt/ , B</^, dans les points^ aussi en ligne droite. Imaginons les plans nmp, rinipS, li'ni'p!', qui coupent CC en q, </, ^', et qui déterminent les parallélogrammes mnffp, nirir/[i, ni' ri' (j' fP . Soient li" le point d’intersection de nri avec hd", e.ip'" celui de yy/avec Bc"' : tirez ii"(^" parallèle à nq, et joignez p"'<jl".

Cette construction bien comprise, les parallèles donnent sur-le-champ mni : ni ni' '.'.nri ri ri' ; : pfJ ’. y/y>"; donc, en vertu du lemme, on aura

nri ; riri' : ri' ri" \ : pqJ \ y/y/' : fi'fi"- Mais, à cause des parallèles ri^, ri'(^', ri"(^", on a rin" '.ri'ri" '.'.44' '.(i'f-, par conséquent on a aussi

ji]i''.li'ji"::44'\4'4"-->

donc p'"4" est parallèle à fi'4'‘

Achevons le parallélogramme ii"4"fi"ni" (on verra tout à l’heure pourquoi les lettres o et m"'sont placées sur le même point). Le côté étant parallèle à mn doit être dans le plan des lignes rnni, nri', et le côté rn!"pl" étant parallèle à mp doit être dans le plan des lignes mni, pp! : donc le point ni" est commun aux deux plans. Or, la droite mni est l’intersection de ces plans; donc le point rri" est sur la ligne /nW. Les lignes

SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS. 99 et sont aussi , respectivement , dans les

plans kb"d" et ^"d", lesquels se coupent suivant b"d"\ donc le point ni” appartient aussi à cette intersection; donc il est commun aux droites nuii et V”d” .

D’après la construction , le plan kU"d” rencontre la droite mni au point o; donc les points o et ni" coïncident. Donc tous les points d’une génératrice prise sur l’une (les surfaces gauches, doivent aussi appartenir à l’autre surface, ce qui revient à dire que les deux surfaces n’en font qu’une.

Scolie I. Il y a donc lieu à distinguer sur l’hyperboloïde, deux systèmes bien distincts de génératrices ; et, d’après la démonstration qui vient d’être développée , il est facile d’apercevoir que deux génératrices de systèmes différents sont toujours comprises dans un même plan. Mais elles ne le sont jamais quand elles appartiennent au même système : car, si alors elles étaient dans un même plan, comme elles sont rencontrées par toutes les génératrices de l’autre système, celles-ci seraient aussi dans ce plan , et la surface serait plane ; donc les trois droites directrices de la surface seraient dans un même plan, ce qui est contraire à la définition de l’hyperboloïde (62). Trois génératrices d’un même système ne peuvent pas non plus être parallèles à un plan : car, si cela était, la surface serait un paraboloïde. Voyez le scolie II du n“ 73.

Scolie II. Quand les directrices AA', BB', CC' sont parallèles à un plan, auquel cas la surface, ainsi qu'on vient de le dire , se change en un paraholoïde , les deux plans qui ont été menés par CCf, respectivement parallèles aux droites AA' et BB', se réduisent à un seul , et

400 DEtJXtÈMË PARTIE,

la démonstration precedente n’a plus Heu. Cependant on verra tout à l'heure (7 3) qu’ alors le théorème subsiste encore.

72. Théorè;me. Avec les trois directrices et un hjj>erboloïde à une nappe , on peut construire un jmral- Idle'pipèile .dont trois arêtes sont situées sur ces directrices ; et le centre de ce parallélépipède est aussi celui de thyperboloïde.

Remarquons d’abord que deux droites étant données, non situées dans le même plan , on peut toujours mener par chacune d’elles un plan parallèle .à l’autre, et que les deux plans ainsi détenninés sont parallèles entre eux. Dès lors il est évident qu’on peut mener, par chacune <lcs trois directrices} deux plans respectivement parallèles aux deux autres , et qu’on aura de cette manière six plans parallèles deux à deux, qui formeront un parallélépipède. IjCs directrices sont des arêtes de ce parallélépipède, car chacune d’elles est commune à deux de ces plans.

Soient (fig. 24) AA', BR, CCI les trois directrices avec lesquelles on a construit le parallélépipède. Les arêtes opposées BC, CA', AB' sont des génératrices de l’hyper- • boloïde; car AB', par exemple, rencontre les trois directrices, savoir : AA' en A, BB' en B', et CC à l’infini. D’après le théorème précédent, on peut donc prendre ces trois arêtes pour directrices de l’hyperboloïde. Considérons une génératrice quelconque LM qui coupe les directrices du premier mode en L , M, N , et prenons, sur celles du second mode, BL'=A'L, CM'=B'M, B'N'=CN : je dis que les points L', M', N' sont en ligne droite.

SURFACES COURBES ET PLANS TANGENTS, <0i ligne BL' étant égale et parallèle à A'L, les droites A'B et LL' se coupent en deux parties égales; donc le point O, milieu de la diagonale A'B, est aussi le milieu de LL'. De même, A'M' étant égale et parallèle à BM, le milieu de la droite de MM' est au point O. Enfin, en menant la diagonale B'C et en obsei’vant que B'N' est égale à CN, on verrait que la droite NN' a aussi son milieu en O. Or, de ce que les lignes LL', MM', fJN' ont leur milieu en O, on conclut que la droite L'M'est parallèle à IJVI , et la droite L'N' parallèle à LN ; donc la ligne M'L'N' est une droite parallèle à MLN.

Maintenant, supposons que la génératrice LM ait été menée par un point quelconque P de l’hyperboloïde, et menons PO, dont le prolongement rencontre L'M' en l*' : le point P' sera sur la surface. Or, les triangles LOP et L'OP' étant égaux , on a OP' = OP ; donc toute droite menée par le point O, et tenninée à la surface, a son milieu en G. Donc l’byperboloïde a le même centre que le parallélépipède constmit sur les trois dii'ectriccs.

Scolie. La démonstration précédente prouve aussi ([ue toute génératrice prise dans un mode de génération a sa parallèle dans l’autre mode, que ces deux droites sont dans un plan passant par le centre, et t|u’elles sont •à égale distance de ce centre.

73, Théorème. Le panJmloule hjperlwlique peut (Une engendré de deux manières par une droite.

Ce paraboloïde est décrit par une droite qui s’appuie sur deux autres AB, CD (fig. 25), et qui reste parai ' lèle à un plan XY ; par conséquent, en menant des plans parallèles à XY, leurs intersections avec les directrices

102 UEUXlàsre PARTIE,

détermineront des droites telles que AC, BD, EF, qui seront des génératrices de la surface. Je mène un plan UV parallèle aux droites AB et CD ; je prends AC et BD pour directrices d’un second paraboloïde, le plan UV pour plan directeur; et je dis que ce paraboloïde est identique avec le premier. Il faut donc démontrer qu’une génératrice quelconque EF du premier est toujours rencontrée par une génératrice du second, ou, ce qui revient au même , que tout plan parallèle à UV coupe AC , BD, EF, en trois points G, H, I, qui sont en ligne droite.

Conduisez un plan par AB et AC : les plans parallèles à XY, qui déterminent les génératrices BD, EF, de la première surface, rencontrent le plan BAC suivant les droites BR, EM, parallèles à AC. Pareillement les plans parallèles à UV, qui déterminent les génératrices CD, GTI , de la seconde surface , rencontrent le plan BAC suivant les droites CK, GL, parallèles à AB. En6n , les intersections de ces deux plans avec les deux précédents sont les droites DR , FM, HL, IN, parallèles entre elles.

Cela posé, à cause des parallèles : on a ^

IN : FM i: EN: EM,