FM: DK:: CM: CK

DK : HL : : BK : bl.

Multipliez ces proportions par ordre, et observez (jue EN = BL et EM=BK. En simplifiant les rapports, il vient IN '. HL : : CM : CK, ou : : GN : GL; donc les points G, H , I sont en ligne droite. Donc les deux surfaces n’en font qu’une.

Scolie I. De la double génération du paraboloïde hy-

perbolique, il resuite qu’on peut mener deux droites sur cette surface, par chacun de ses points. Il en résulte encore que tout plan parallèle à deux génératrices d’un même mode coupe la surface suivant une droite.

Scolie II. Si on prend sur un paraboloïde hyperbolique trois génératrices d’un même mode , telles que AC , BD, EF, et qu’on s’en serve pour diriger le mouvement d’une droite, cette droite décrira une surface déterminée , qui ne peut être que le paraboloïde lui-même ; donc un paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite qui glisse sur trois directrices parallèles à unplan.

Réciproquement, toute surface ainsi engendrée est un paraboloïde hyperbolique. En effet, supposez que AC, BD, EF soient trois directrices parallèles au plan XY, et (jue AB et CD soient deux génératrices qui les coupent eu A , R , E , et en C , D , F : menez le plan UV parallèle à ces deux génératrices, et ensuite, parallèlement à UV, un plan quelconque qui coupe les directrices en G, H, I. En faisant les mêmes constructions et les mêmes proportions que plus haut, on conclut encore que la ligne GUI est droite; donc elle est une génératrice de la surface. Mais cette droite est parallèle au plan UV ; donc la surface est un paraboloïde hyperbolique.

Scolie III. Toutes les génératrices d’un même système étant parallèles à un plan, elles coupent chaque génératrice de l’autre en parties proportionnelles; et de 1.1 il s’ensuit qu’on peut encore engendrer le paraboloïde hyperbolique en faisant glisser la ligne EF sur les directrices AB et CD de manière qu’on ait toujours