I.6S asymptotes s’obtiennent en cherchant, par la

thode générale , les tangentes aux points situés à l’infini sur la courbe d’intersection des deux surfaces : c’est-àdire qu’il faut prendre l’intersection des plans tangents menés, respectivement aux deux cônes, suivant les génératrices dont la rencontre détermine le point de contact. Or, les génératrices parallèles projetées en am et bk doivent être regardées comme déterminant deux points placés à l’infini; en conséquence, on mène aux bases les tangentes mp^ kp, qui se coupent en p, puis on tire pq parallèle à am, et jJtl parallèle à dni : ces droites, pq et fiff, seront les projections d’une première asymptote. Semblablement, si on mène les tangentes nr, Ir, et ensuite les lignes rs et Hd parallèles à an et dd, on obtient les projections de la seconde asymptote.

S’il n’a point été question jusqu’ici de construire l’intersection des deux cônes , c’est que le procédé à suivre est exactement le même que dans l’épure précédente. Pour se faire une idée juste des différentes parties dont cette intei-section se compose, il faut encore mener les tangentes cdf et ceg à la petite base , et distinguer sur le grand cône les deux portions de surface correspondantes aux arcs fog, hki. Sur la première , on doit trouver une courbe fermée analogue à celle de l’épure VIII, et nous la négligeons ici. L’autre portion, qui répond à l’arc hki, détermine, par son intereection avec le petit cône, deux branches infinies séparées l’une de l’autre par les deux asymptotes. L’une de ces branches est comprise sur la partie de ce cône correspondante au petit arc mti, et l’autre sur celle qui répond au grand arc rndcn. Cette dernière branche est la seule dont on ait construit les projections dans l’épure.

LIGNES COliRBES AVEC LEURS TANGENTES. 201

126 . Problème' X.*^ Intersection de deux, surfaces de réi’olution dont les axes se rencontrent.

La question est facile quand les axes des deux surfaces sont parallèles : cai* alors on peut mener une suite de plans perpendiculaires à ces deux axes , et chacun de ces plans coupe les surfaces suivant des cercles dont les points d’intersection appartiennent à la courbe cherchée. Il n’en est plus ainsi lorsque les axes ont des directions quelconques , parce que les plans perpendiculaires à l’un d’eux, ne le seraient point à l’autre. Cependant, si les axes se rencontrent , et c’est le cas qui est proposé , on peut encore construire les points de la courbe par des intersectionsde cercles, en coupant les deux surfacesdonnées, non par des plans, mais par des sphères qui aient leurs centres au point de concours des deux axes. Il est clair en effet que chacune de ces sphères détermine, dans les deux surfaces, des circonférences de cercle, et que les points communs à ces circonférences appartiennent à l’intersection des deux surfaces.

Pour donner aux constructions toute la simplicité possible , je supposerai que le plan vertical est parallèle au plan des deux axes, et que le plan horizontal est perpendiculaire à l’un d’eux. De cette manière, les axes ont pour projections horizontales, l’un, un point unique a (fig. X), et l’autre , une parallèle ab à xj', la projection verticale du premier est une perpendiculaire dd' à xj, maiscelledu second peut avoir une direction quelconque, telle que dU. Quant aux deux surfaces, regardons comme données les projections verticales , Hdld' et HdH'd", des méridiens contenus dans le plan des axes.

Cela posé , décrivons du point d un cercle quelconque

Di. ; -J Cj< “ogie

203 THQIÇlèMÏ PARTI?.

dd!éd" ^ lequel coupe les projectiops des dçyit mëTÎ^iens en d et c", (J et : puis imaginons une sphère de ipêipç rayon ayant son centre au point de çoncours des deux axes. Cette sphère est coupée par le plan des axes sui-r vant un cercle, qui a pour projection verticale le perde dd'd'd'' ; et les points d et d', d! et sont les projections verticales des points communs à ces mcridiepa et à la sphère. En faisant tourner autour de son axe le méridien de la première surface donnée, il pst clair que les points projetés en d, d\ décrivent un cercle horizontal dont la projection est dd\ et qui est à la fois sur la sphère et sur la première surface, Pareillemept }a drpjte dJd" est la projection d’un cercle commun à ia sphère Çt à la deuxième surface. Le point où les droites dd' Ci d'd}' se rencontrent, étant dans l’intérieur du cercla dd'd'd", il s’ensuit que la perpendiculaire élevée au plan vertical par ce point, coupe la surface de la sphèrç çn deux points qui appartiennent aux deux cercles dont i| s’agit, et qui par conséquent font partie de l’intersec- .tiondes deux surfaces données, Ces points ont tons deux la même projection verticale et, pour obtenir leurs projections horizontales n et , on fait la projection horizontale du parallèle correspondant à dd', puis on mène rin perpendiculaire à xjr. Eu traçant du centra d d’autres cercles dans le plan vertical , et répétant pour chacun d’eux les mêmes constructions que pour dd'd'd", on obtient autant de points qu’on veut de l’intersection cherchée.

Si on veut avoir les points qui se trouvent sur un parallèle donné , par exemple sur celui qui est prpjçté fn dd', il faut décrire du point d le cerdn qui passe

LICITES COURBES AVEC LEURS TARGEirrES. 203 par les points e', é\ et faire ensuite les constructions qu'on vient d’expliquer. On obtient ainsi les limites o et O, de la projection horizontale.

Comme les méridiens projetés sur le plan vertical en Héi' et Hd'i' sont dans un même plan, il s’ensuit que les points U et ÿ doivent appartenir à la projection verticale de l’intersection des deux surfaces. Les projections horizontales correspondantes h et i sont situées sur la ligne ab.

Jusqu’ici la tangente en un point donné sur l’intersection de deux surfaces courbes a été déterminée au moyen de deux plans tangents; mais on a remarqué, n“ 114, qu’elle l’est aussi par la condition d’être perpendiculaire au plan des normales menées , par le point donné , à chacune des deux surfaces , et que c’est principalement dans le cas des surfaces de révolution qu’il y a lieu d’employer cette méthode , à cause de la facilité avec laquelle se construisent les normales dans ce genre de surfaces. Et en effet, le plan tangent étant perpendiculaire au plan méridien qui passe au point de contact, la normale doit être dans ce dernier plan, et dè$ lors elle doit être facile à connaître.

Supposons qu’il s’agisse de trouver la tangente au point [«, «'] situé sur les deux cercles projetés en dd' et d'dJ'-, et cherchons d’abord les deux nomales. A cet effet, il faut observer que les normales menées à une surface de révolution, par les différents points d’un parallèle, vont toutes rencontrer l’axe de la surface au même point. Donc, si on mène aux projections verticales des deux méridiens donnés les normales d'k et d'P, qui coupent les projections des axes en A' et et si pn tire

204 TROISriHK PARTIE.

«T et ft7*, on aura les projections verticales des deux normales cherchées. Les projections horizontales correspondantes à U et P sont a et /; de sorte qu’on aura les projections horizontales des deux normales en tirant na et ni. Actuellement il faudrait construire les traces du plan qui contient ces nonnales, et ensuite mener, par les points n et rê, des perpendiculaires à ces traces.

Il est inutile de chercher la trace verticale : car, le plan des axes étant parallèle au plan vertical , cette trace est parallèle à la droite kP. Au lieu de la trace horizontale , on peut prendre la droite qui joint les points où les normales rencontrent un plan horizontal quelconque; et , afin de resserrer les constructions dans un espace peu étendu , on se sert de celui dont la trace verticale est éé . En conséquence, on prolonge liU et liP jusqu’à leurs rencontres / et y avec éé ' on détermine les points correspondants r et J sur les projections horizontales na et In des deux normales , puis on joint rs.

Après avoir ainsi trouvé les droites rs et KV, auxquelles sont parallèles les traces du plan des normales , on abaissera sur ces droites les perpendiculaires nt et riP : ces perpendiculaires seront les projections de la tangente demandée.

En général , la projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de cette courbe. Cependant il y a exception à cette règle quand la tangente est perpendiculaire au plan de projection : car alors, ainsi qu’on l’a déjà dit n” 1 1 6 , sa projection se réduit à un point, et la tangente à la projection de la courbe ne se trouve plus déterminée. C’est ce qui arrive aux points projetés en H et i\ où les plans tangents aux deux surfaces sont

ticNJES COCBBKS AVEC LEt'RB TANGENTES. 205 évidemment perpendiculaires au plan vertical. 11 suit de là que si on déterminait la tangente par l’intersection des plans tangents, on ne pourrait pas trouver la tangente à la projection Hrli’ aux points H et i'. Cet inconvénient n’a pas lieu quand on se sert des normales , comme nous venons de le faire.

127. Problème XI . Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans des plans différents.

Prenons encore (fig. XI) le plan horizontal perpendiculaire à l’axe de la première surface , et le plan vertical parallèle aux deux axes. Les données auront la même disposition que dans l’épure précédente, avec cette seule différence que la projection horizontale de l’axe de la seconde surface ne passera plus au point a et aura une situation telle que bc parallèle à xj.

Puisque les axes sont dans des plans différents, il n’est plus possible de trouver, sur les deux surfaces, des parallèles qui soient compris dans un même plan ou sur la même sphère ; et alors ce qu’il y a de mieux , pour trouver des points de l’intersection cherchée , c’est de couper les deux surfaces par des plans horizontaux. Chacun d’eux rencontre la première surface suivant un cercle dont la projection horizontale est un cercle égal, facile à trouver; mais il détermine dans la seconde une courbe dont il faut construire la projection horizontale par points. Quand cette projection est tracée, les points où elle rencontre celle du cercle appartiennent à la projection horizontale de l’intersection des deux surfaces; et ensuite on obtient facilement les projections verticales correspondantes, en remarquant qu’elles doivent se

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206 TftOIsrtM» PARTIE,

trouver sur la trace verticale du plan auxiliaire par lequel on a coupé les deux surfaces. On voit que chaque plan auxiliaire donne lieu à la construction d’une courbe, dont le seul usage est de détcminer un certain nombre de points de l’intersection cherchée.

Soit parallèle à xf, la trace verticale d’un de ces plans. Son intersection avec la première surface se projette verticalement sur la droite d'd", et horizontalement sur la circonférence dmitty , décrite du centre a avec un rayon égal à la moitié de d'd" . Son intei-section avec la seconde surface est une courbe qui a pour projection verticale la droite /y/’", et dont il faut avant tout construire la projection horizontale. A cet effet , on imagine, perpendiculairement à l’axe de cette surface, une suite de plans qui la coupent suivant des circonférences.

Supposons que soit la projection verticale d’une telle circonférence. Le point de rencontre H de ff avec^^ est la projection verticale de deux points de l.a courbe auxiliaire que nous voulons connaître, et par conséquent les projections horizontalesde ces deux points doivent se trouver sur la perpendiculaire Hh à xy. Faisons tourner le plan de la circonférence autour de la droite projetée en //, pour amener cette circonférence à être horizontale; et alors projetons-la sur le plan horizontal. Si l’on suit avec attention les constructions , on trouve que cette projection est la circonférence décrite du point k comme centre avec le rayon kl. Or, les points projetés en H, et dont on a parlé plus haut , n’ont pas dîi changer; donc leurs projections horizontales doivent se trouver aux rencontres h et de la ligne Kh avec la circonférence kl.

LIGNES COÜRfeteS iVÉC LËliRs TANGENTES. ÎÎ07

En menant d'autres plans perpendiculaires à Ud, on détermine d’autres points de la section correspondante dans la seconde sUrface ; et de cètte manière on arrive à la coUrbe Cette coUrbe et la circonférence Sont donc les projections horizontales des sections faites dans les deux surfaces par un même plan auxiliaire ; et de là on conclut cpie les points de rencontre tn et TO,, de ces d'éut lignés, appartiennent à la projection horizontale de l’intersection des deux surfaces. Ces points font ensuite connaître les projections verticales ni et m[.

Maintenant il faut couper les deux surfaces par d’autres plans horizontaux; et, en répétant pour chacun d’eux toutes les constructions qu’on vient d’expliquer, on obtiendra autant de points qu’on voudra des projections de l’intersection des deux surfaces. C’est ainsi qu’on a construit les deux courbes mnum^^ niriiirnl.

On peut avoir besoin de connaître spécialement les points de l’intersection qui se trouvent sur les méridiens parallèles au plan vertical. Par exemple, supposons qu’on veuille avoir ceux qui sont sur le méridien delà première suidace. On cherchera là courbe selon laquelle le plan Vertical élevé sur ad coupe la seconde surface; et les points communs à cette courbe et au méridien dont il s’agit seront les points demandés. Quant à la détermination de cette courbe, elle ne peut offrir aucune difficulté, et les indications de la figure doivent suffire au lecteur.

La tangente à l’intersèction des deux surfaces s’obtient encore ici au moyen des normales , comme dans le problème X. Supposons que le point de contact soit [n, n'] ; on tracé d’abord les projections verticales des parallèles de chaque sOi-faefe , sUr l'esquèls cè point est placé , et en-

D.jüi, Geogk-

208 TROISlàMX PARTIE,

suite celles des normales. Au lieu de chercher les traces du plan des normales sur les plans de projections , ce qui eût été peu commode , on a déterminé les intersections de ce plan avec le plan horizontal et avec le plan vertical qui passent au point [o , </] , où la normale à la seconde surface rencontre l’axe de cette surface. Connaissant les projections or et o'/'', os et de ces deux intersections, on mène nt^ rit\ respectivement perpendiculaires à or, oV : ces perpendiculaires sont les projections de la tangente.

Sur l’hélice et l’épicycloïde sphéricfne.

128. Problème XII. Construire la projection dl une hélice tracée sur un cjUfidre vertical, et déterminer les tangentes à cette hélice qui sont parallèles à un plan donné.

Un cylindre quelconque étant donné , considérons-le comme ayant pour base une section faite par un plan perpendiculaire à ses génératrices. Si, à partir de ce plan , on porte , sur les génératrices, des longueurs proportionnelles aux arcs de la base compris entre ces génératrices et une origine fixe prise sur cette base , la courbe qu’on détermine ainsi sur le cylindre est une hélice.

Cette génération montre que si on développe le cylindre sur un plan , la base devient une droite perpendiculaire aux génératrices, et l’hélice, par suite, une droite oblique à ces génératrices. Donc toutes les tangentes à l’hélice font le même angle avec les génératrices; donc aussi, lorsqu’on effectue le développement dans un plan tangent mené au cylindre par un point de l’hélice, cette courbe doit se développer suivant sa tangente.

LIGNES COURBES AVEC LEURS TANGENTES. ‘iOU

Une autre propriétéquise pi'ésentesur-Ie-champ, c’est qu’en transportant toutes les tangentes de l’hélice parallèlement à elles -mêmes en un point quelconque, elles forment un cône droit dont l’axe est parallèle aux génératrices du cylindre. De là il suit que les tangentes parallèles à un plan donné , doivent être parallèles aux droites qu’on obtient en coupant ce cône par un plan parallèle au plan donné : cette remarque suffit pour déterminer ces tangentes.

Ce qui précède étant bien compris , la question proposé ne saurait offrir de difficulté.

Projection de F hélice. Supposons que la base du cylindre soit un cercle abc (fig. XII) tracé dans le plan horizontal, que l’origine des arcs ou abscisses circulaires soit au point a, et que le pas de l’hélice, c’est-à-dire l’intervalle compris sur les génératrices entre deux spires ou révolutions consécutives, soit égal à cid' . Je divise eu un même nombre de parties égales , en seize par exemple, la circonférence abca et la hauteur dd' ; je fais les projections verticales des génératrices qui passent par les divisions de la circonférence, et je termine ces projections aux horizontales menées dans le plan vertical , par les divisions correspondantes de dd' . La courbe dUdd', qui unit tous les points ainsi déterminés, est la projection verticale de la première spire. On aperçoit facilement comment on aurait les spires suivantes.

Tangentes. Il reste à chercher les tangentes à l’iiélicc qui sont parallèles à un plan donné oL^d, dont je supposerai la trace horizontale perpendiculaire à xr. Si elle avait toute autre position , la solution ne serait pas plus difficile. Au cercle^ôc menez la tangente ôrf égale à l’arc n-ô

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rectifîé. Le plan vertical élevé suivant est taugg^itau cylindre sur lequel l’hélice est tracée, et si on développe ce cylindre sur ce plan , il est clair que l’hélice se développera sur une droite qui passe au point d et qui est la tangente au point [/;, U~\ de l’hélice. Donc, si on projette le point d en d' sur xj, et qu’on joigne les deux projections de cette tangente seront bd et dcl.

Une parallèle menée à cette tangente par le point [o, U~\ rencontre le plan horizontal en e\ et, si on la fait tourner autour de l’axe du cylindre, elle engendre un cône dont la base est le cercle décrit avec le rayon oe , et dont les génératrices aont p^Uèles aux tangentes de l’hélice. Donc le plan l^fh, qui passe au sommet de ce cône , et qui est parallèle au plan donné a'jîa , doit couper ce cône suivant des droites parallèles anx tangentes demandées. Ces droites sont projetées horizootalement en og, oh. ^

, Comme les tangentes à l’hélice ont leurs projecttQQs horizontales tangentes au cercle il s’ensuit qu’en menant les tangentes tnr et «.f, respectivement parallèles h og et A oh, on aura les projections horizontales des tat[igentes cherchées. Ia s lignes de projection mrd et mi déterminent les projections verticales ni, ri, des points de contact; et en menant les parallèles /nV et ri J à on obtient les projections verticales des tangentes. , Remarques. On peut mener au cercle abc une autre tangente parallèle og\ mais il est facile de voir que la tangente qui lui correspond sur l’hélice, a par rapport an plan horizontal une inclinaison opposée à celle de la génératrice du çône qui est projetée sur og, et que par conséfiuent elle ne lui est point parallèle. T..a màlue

LIGNES COURBES AVEC LEURS TANGENTES. 2i i

raison montre qu’il faut rejeter aussi l’autre tangente parallèle à oh.

Quand on élève les lignes de projection mm’, nn’, il est clair qu’il faut prendre leurs intci-sectious seulement avec les portions de courbe qui répondent à la partie antérieure du cylindre. Mais il est clair aussi qu’on doit prendre leurs intersections avec chaque spire, et qu’on obtient ainsi de nouvelles tangentes , telles que qui convienneut encore à la question.

129. Problème XIII. Comlruive la projection d'une epicjvloïde sphérique, et déterminer la tan~ genie en un point quelconque de cette courbe.

Si l’on fait rouler un cercle sur un autre qui reste fixe, de manière que leurs circonférences soient toujours tangentes, chaque point de la cii conférence mobile décrit une courbe ([u’on nomme épicycloïdc. L’cpicycloïde e.st plane quand tous ses points sont dans un plan , et c’est ce qui a lieu si le cercle mobile reste dans le plan du cei’cle fixe. Elle est sphérique, lorsque tous ses points sont sur une meme splière : c’est ce qui anive si les deux cercles sont les bases de deux cônes droits ayant sommet commun et apothème commun, et si on fait rouler l’un des cônes sur l’autre de manière qu’il ait toujours même sommet que lui, et qu’il le touche suir vant un de ses côtés, lequel varie à 'chaque instant.

Dans ce cas, le cercle fixe est situé sur une sphère, décrite du sommet commun comme centre avec un rayon égal à l’apothème commun , et le cercle mobile reste toujours sur cette sphère. H est clair aussi que le plan de ce cercle mobile coupe toujours le plan de la base fixe

suivant une tangente commune aux deux cercles, et que l’inclinaison des deux plans demeure constante et égale à l’angle formé par les axes des deux cônes.

La tangente en un point de l’épicycloïde doit être dans le plan tangent à la sphère dont on vient de parler. Pour achever de déteiininer cette tangente , je vais démontrer qu’elle est aussi dans le plan tangent à une sphère qui aurait pour centre le point où le cercle mobile , considéré dans sa position actuelle , touche le cercle fixe.

Au lieu de deux cercles , je considère deux polygones quelconques ABC..., A'B'C..., roulant l’un sur l’autre (ils ne sont point tracés sur la figure); mais, pour plus de simplicité, je suppose que tous les côtés des deux polygones soient égaux entre eux. D’ailleurs, on peut prendre ces côtés en tel nombre et sous telles inclinaisons qu’on voudra. Cela posé, imaginons que le sommet A' coïncide avec A, et que le polygone ABC... étant fixe, A'B'C . . , tourne autour du point A de manière que B' vienne coïncider avec B. Alors faisons tourner A'B'C. .. autour de B de manière que G vienne sur C , et ainsi de suite. Examinons la nature de la ligne que décrit un point quelconque M du polygone mobile. Or, pendant la rotation qui s'effectue autour du sommet A, il est clair que le point M reste sur une sphère décrite du point A comme centre avec le rayon AM; pendant la rotation autour du sommet B, il reste sur une sphère décrite du point B comme centrc avec le rayon BM ; et ainsi de suite. Donc la tangente , en un point quelconque de la ligne engendrée par le point M, doit êüe dans le plan tangent à une sphère dont le centre est situé au sommet autour duquel s'est effectuée la rotation qui a

LFGITES COLBBES âVKC LEURS TA1VGENTF.S. 213 amené ie point M dans la position actuelle. Cette conclusion étant indépendante de la grandeur des côtés des polygones, doit également convenir aux cas de deux courbes roulant l’une sur l’autre; c'est-à-dire que la courbe mobile étant dans une quelconque de ses positions, si on désigne par H son point de contact avec la courbe fixe, et par N la situation cori'espondante du point décrivant M, la tangente au point N de la courbe engendrée par le point M, sera toujours contenue dans le plan tangent au point N de la sphère décrite du centre H avec le rayon HN.

Entrons maintenant dans le détail des constructions exigées par l’énoncé.

Projection de V épicjrdoïde . C^ette projection doit être faite sur le plan de la base du cône fixe. Supposons que cette base soit le cercle «ôô/t, décrit dans un plan horizontal avec le rayon oa, que le point générateur de l’épicycloïde ait été primitivement en a, et que le contact des deux cercles soit actuellement en b : cherchons quelle est la position correspondante du point générateur. Je prends pour second plan de projection le plan vertical élevé sur ob. Il doit contenir le sommet d commun aux deux cônes, et couper le cône mobile suivant un triangle isoscèle dix! qui fait partie des données du problème, (’e cône a sa base dans le plan qui a pour trace horizontale la tangente bc^ et pour trace verticale la ligne bd, laquelle peut aussi être considérée comme la projection verticale de cette hase. Faisons le rabattement ôMC de cette base sur le plan horizontal. Pour avoir, dans ce rabattement , la position M du point générateur, il faut prendre l’arc ôM égal à l’arc ba ; car le point M ayant

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21 i ' TROrsritME PARTIE. ’

«té primitivemenl en a, et les différents éléments des deux arcs éM et ba ayant été successivement appliqués les uns sur les autres , ces deux arcs doivent être égaux.

Connaissant le rabattement M du point générateur, il est facile d’avoir sa projection verticale ni , et ensuite sa projection horizontale m. Si on place le contact des deux cercles en tout autre point /»,, on imaginera un plan vertical par le rayon o/.», , et des constructions semblables aux précédentes détermineront un nouveau point n de la projection horizontale de l’épicycloïde. En continuant ainsi on trouve, avec autant d’exactitude qu’on voudra, la courbe arnna^.

Pour simplifier, on peut exécuter au point h toutes les constructions qu’on devrait faii’e en 6, : c’est-à-dire qu’on prendra l’arc ^M, =/.>,«, et qu’on trouvera la projection horizontale m^ de la même manière qu’on a trouvé le point m. Mais aloi's il faut remettre le point m, à sa vraie position , et c’est ce qu’on fera en prenant le point n dans la même situation à l’égard deoA, que celle du point //i, à l’égard de o/>. Or, pour cela , il suffit de décrire , du centre o , la circonférence n^^de, et de prendre l’arc en—dn\. Ün voit par là qu’on peut obtenir tous les points de la projection amna, en se servant toujoure du même plan vertical.

Construction de la tangente. L'épicycloïde, ainsi qu’il a été dit plus haut, est située sur la sphère qui a pour centre le sommet d, et pour rayon l’apothème db ; par conséquent la tangente au point [/7^, w'] de cette courbe est dans le plan tangent à cette sphère. On a vu aussi qu’elle doit être dans le plan tangent à la sphère

LIGNES COVRiiKS AVEC LEt’RS TANGENTES. 215

dont le centre serait en A, et le rayon égal à ; donc elle est l’intersection des deux plans tangents.

I^e cercle rabattu en éMC appartient à la premièi-e sphère ; donc si on mène à ce cercle la tangente Mf, elle sera le rabattement d’une droite située dans le plan tangent à cette sphère; et par conséquent le point f, où rencontre hc, est sur la trace horizontale de ce plan. Donc cette trace est la perpendiculaire «/ abaissée du point f sur la projection om du rayon qui passe au point de contact. ' \

Le cercle décrit du rayon ^»M est le rabattement d’un cercle de la seconde sphère ; par conséquent , si on lui mène la tangente qui rencontre bc en g, et si on abaisse ^ perpendiculaire k bm, la ligne sera la trace horizontale du plan tangent à la seconde sphère.

I.ies traces »f et ^g se coupant en un point r qui doit appartenir à l’intersection des deux plans tangents , on tirera la droite mr, et ce sera la projection horizontale de la tangente à l’épicycloïde , ou , ce qui est la même chose, la tangente à la projection amn de cette courbe.

Un obtient des vériScations en construisant les traces verticales des delix plans tangents. Il est clair que celle du premier est la perpendiculaire af menée sur la projection dm' du rayon de la première sphère; et je vais prouver que celle de l’autre plan est la perpendiculaire (/jÿ élevée sur bd. En effet, la tangente étant perpendiculaire à la corde doit passer au point C , et par suite , en relevant le cercle éMC dans sa vraie posi*tion , cette tangente doit rencontrer le plan vertical en d : d’ailleurs , la projection verticale du rayon tombe sur bd 'y de là il s’ensuit que la trace verticale du pian

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216 THOISliHE PABTU.

tangent à la seconde sphère est la perpendiculaire dÇ^ élevée sur bd. Celte trace doit donc rencontrer xj- au même point que la trace horizontale j3^,'’ce qui offre déjà une vérification. De plus, comme les traces verticales oLf, |3V, des deux plans tangents, se coupent en d, la droite mld doit être la projection verticale de la tangente à l’épicycloïde ; par conséquent , si on cherche, au moyen des projections rnr et m'd, en quels points cette tangente perce les deux plans de projection , on . doit retrouver les points r et ce qui donne de nouvelles vérifications.

Pour ne rien laisser à désirer dans l’épure, on y a aussi construit la tangente au moyen des normales (114). Ces lignes ne sont ici autre chose que les rayons des deux sphères , et il est évident que la trace verticale de leur plan se confond avec l’apothème db. Quant à la trace horizontale de ce plan , elle passe déjà au point b’, et on en obtient un second en menant par le point de contact, et parallèlement à la trace bd, une droite [/nt, dont on détermine l’intei-section i avec le plan horizontal. Ainsi la droite bi sera la trace horizontale du plan des deux rayons, et les |>rojections de la tangente à l’épicycloïde devront être respectivement perpendiculaires aux traces bi et bd.

150. Renuirque. Nous avons vu tout à l’heure que la trace (dd, du plan tangent à la sphère du rayon &M , est perpendiculaire à l’extrémité de la droite 6c/ : de là résulte une conséquence importante que nous allons faire connaître. Prolongeons l^'d jusqu’à son intersection d ' avec l’axe od, et imaginons un cône qui aurait son somntet en ce point et pour hase l’épicycloïde sphérique.

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LIGNER COURBES AVEC LEURS TENGEITTES. 217 Si on voulait avoir le plan tangent à ce cône épicjcloïde , selon la génératrice qui passe au point [/«,///'], on remarquerait d’abord qu’il doit contenir cette génératrice, et par conséquent passer au point d' . On remarquerait aussi qu’il doit renfermer la tangente à l’épicycloïde en ce meme point ; or, cette tangente

est dans le plan tangent à la sphère de rayon ùM, et c’est pour cela que le point y, où elle rencontre le plan vertical, est situé sur la trace (BV; donc le plan tangent au cône épicycloïde passe par la droite </V.

Concevons le cône épicycloïde comme invariablement ' attaché au cône dabb^, et formant corps avec lui; puis faisons tourner le système de ces deux cônes autour de l’axe od' dans le sens indiqué par la flèche ut', et imaginons que le point ô, vienne occuper la place du point b. Parce mouvement, le point [uî, «/] quittera le plan cbd, que nous supposons fixe; mais un autre point de l’épicycloïde viendra s’y placer, et il est évident que ce sera précisément celui qui est rabattu en M,, et projeté en /U, et ml. Si on voulait avoir la position que vient occuper alors le plan tangent au cône épicycloïde suivant la génératrice sur laquelle ce point est situé, on reconnaîtrait qu’il doit encore passer par la droite d^d . La même chose arrive à tous les plans tangents au cône épicycloïde, qui se succèdent les uns aux autres à mesure que les points de l’épicycloïde viennent se placer dans le plan cbd , Donc ces plans tangents successifs ne sont autres que les différentes positions d’un plan qui serait mobile autour de la droite fixe oV, et qui serait poussé par le cône épicycloïde.

Donc encore , si on suppose ce plan mobile lié inva-

218 ' TROISIÈMK PARTIE. '

riablemcnt avfcc un cercle décrit dans le plan cbd sUT lé diamètre bd'—2bil, il est clair que le mouvement de ce plan mobile forcera ce cercle de tourner autour de l’axe d'd en sens contraire au mouvement du cercle abb^ , et que cette rotation se fera de telle sorte que les points des deux circonférences décriront, dans le même temps, des arCs qui étant rectifiés auraient même longueur. Telle est la propriété que nous voulions établir, et sur laquelle se fonde la théorie des engrenages dits à roues d’angle.

EXERCICES

Objet de cet exercices. — Quelques questions sur la ligue droite et le plan, — Sphère circonscrite. — Sphère inscrite.

131. Tous les problèmes que j’ai résolus renferment (leux parties bien distinctes. Dans l’une on établit la suite des constructions qu’il faut effectuer, et par conséquent elle exige une connaissance étendue et approfondie des lignes et des surfaces ; dans l’autre on exécute réellement les constructions, et le lecteur a dû reconnaître qu’elle se réduit toujours à appliquer un petit nombre de procédés, qui sont constamment les mêmes, mais qui sont combinés diversement. Ce sont ces procédés qui , à proprement parler, constituent la GéoM;É- TBiE descriptive; et comme ils ont été mis dans le plus grand jour par l’ordre et le choix des exemples qui ont été développés précédemment , on doit regarder dès à présent ce traité comme complet. Aussi , cette quatrième partie n’a-t-elle d’autre objet que d’offrir quelques nouveaux exercices au lecteur qui ne serait point encore assez familiarisé avec les constructions et le tracé des épures.

- 132. Problème I. Par un point donné, mener une droite qui fasse avec les plans de projection des anr gles donnés.

220 QUATRlilttE PARTIE.

Je désignerai les angles donnés par * et ^ , et je rappellerai qu'ils ne sont autre chose que les angles formés par la droite cherchée avec ses deux projections. Cela posé, prenons à volonté le point [«, a'] sur le plan vertical (proh. 4* part. fig. I), et supposons pour un moment que la droite demandée passe par ce point. Elle forme , avec sa projection horizontale et avec ad, un triangle rectangle qu’il est facile de rabattre en vi*aie grandeur sur le plan vertical , car il suffit pour cela de faire l’angle r/Ba = a.

La distance r/B est la vraie longueur de l’hypoténuse de ce triangle, et dans l’espace cette même droite forme avec sa projection verticale un autre triangle rectangle , dont elle est encore l’hypoténuse et dont l’angle aigu adjacent au sommet d est égal à P ; par conséquent il est facile de construire le triangle B</B' égal à cet autre triangle. En décrivant l’arc du centre d et tirant o'^, on aura la projection verticale de la droite cherchée; puis , en élevant Ub perpendiculaire à xj-, décrivant l’arc Bb avec le rayon «B et joignant ah, on aura la projection horizontale de cette droite. Remarquez que W doit être égal à BR.

Jusqu’ici on a supposé que le point donné [a, d^ était sur le plan vertical ; donnons-lui une position quelconque [m, rd\ Pour résoudre la question, il suffira de mener les droites mn et rdd respectivement parallèles à ab et dU .

Le triangle nBo' pouvant être construit indifféremment à droite et à gauche de la ligne ad, le problème est susceptible de deux solutions.

EXERCICES

155. Problème II. Déterminer un plan qui passe par un point donnée et qui fasse des angles donnés arec les plans de projection. %

Je désignerai par a et P les angles du plan cherché avec le plan horizontal et avec le plan vertical. Prenons à volonté (fig. II) le point a sur le plan horizontal , et supposons pour un moment que le plan ax>b fasse avec les plans de projection les angles a et p. Menez ac perpendiculaire à et cd perpendiculaire à oé : la droite qui dans l’espace joindrait les points aet d forme avec cd l’angle connu p. De là on conclut que si on fait l’angle acc=P , on aura ce=cd', donc la trace oh est tangente à l’arc ei décrit avec le rayon ce.

Elevez cb perpendiculaire à jcjr, et imaginez une perpendiculaire abaissée du point c sur le plan aob : dans l’espace ces deux perpendiculaires comprennent entre elles un angle égal à a. I>a seconde est située dans le plan acd, et par conséquent, pour l’obtenir en vraie grandeur, il suffit de mener cf perpendiculaire sur ne. Alors il est évident ipie si on fait l’angle fcg= a. on doit avoir cg=cb. J je point b se trouve donc déterminé; par suite la trace Ijo sera connue puisqu’elle doit être tangente à l’arc ei , et enfin la trace ao le sera aussi.

Maintenant on connaît un plan qui fait avec les plans de projection les angles donnés a et p. Pour en avoir un qui remplisse les mêmes conditions et qui en outre passe par un point donné [m , m'] , il suffira de mener par ce point un plan parallèle à aob : c’est ainsi qu’on obtient le plan pqr.