Problème VII . Intersection de deux cylindres

On prendra les plans auxiliaires parallèles aux génératrices des deux cylindres , parce qu’alors chacun de ces plans ne pourra couper les cylindres que suivant des génératrices , d’où il suit que les points de l’intersection demandée seront donnés par des rencontres de lignes droites. Si donc, par un point [«, dy pris à volonté (fig. VII-1 ), je mène des parallèles aux génératrices des deux cylindres , et si je construis la trace horizontale ôc du plan de ces droites, les traces des plans auxiliaires devront être parallèles à bc.

Supposons qu’une de ces traces rencontre les bases des cylindres en d, e,J', g: on est certain que les génératrices qui passent par ces points sont situées dans un même plan , et, par suite, que les points où leurs projections se coupent appartiennent aux projections de l’intersection des deux cylindres. En conséquence , je construis les projections horizontales de ces génératrices, ce qui détermine quatre points h, i, A', /; puis je construis les projections verticales de ces génératrices, ce qui détermine les quatre points A', i', H y et l’on a ainsi les pro-

jectiôns de quatre points appartenant à l’intersectloft dêinandée. Remarquez en passant que si enjoignait 4 et A', i et a y k et l et on aurait quatre perpendiculàires

à xy. De nouveaux plans auxiliaires détermineront autan t d’autres points qu’on voudra) et par suité oh connàîtra les projections de l’intersection des cylindres.

Pour avoir les projections de la tangente en Un point quelconque, on remarquera que cette tangente appàrtient à la fois aux deux plans tangents menés par ce point à chacun des cylindres, et que par conséquent elle est leur intersection. Supposons qu’il s’agisse du point [rt, n'] déterminé par deux génératrices qui coupent les bases en m et yo; on mènera à ces bases lès tangentes mq et pq^ qui seront les traces horiEontales des deux plans tangents, puis on joindra le point n au point q où ces traces se rencontrent : la ligne nq set*à la projection horizontale de la tangente cherchée. Ort en aura la projection verticale en projetant le point q en sur xy, et en tirant ri<^ .

Remarque. Parmi tous les cas que peut présenter l’ihtersection des cylindres , deux principaux sont à distinguer : la pénétration et P arrachement. Dans le premier, toutes les générati’ices d’un cylindre entrent dans l’antre j et alors il y a courbe d’entrée et courbe de sortie 5 dans le second, une partie seulement des génératrices de chaque cylindre va rencontrer l’autre cylindre. Voici comment on reconnaît quel cas doit avoir lieu.

Imaginons qu’on ait mené à la base de chaque cyiindrè, parallèlement à 4c, deux tangentes qui comprennènl toute cette base) ét supposons d’abotd, comriiè éfelà artive dans la %. VIl-1 , que lés bangfentéS YS èt tep à

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l’une des bases aillent couper l’autre base. Les plans auxiliaires dont les traces sont rs et uv renferment entre eux tout le premier cylindre; mais ils ne comprennent sur le second que les portions de surface correspondantes aux arcs et tdz. Or, il est clair que le premier cylindre rencontre ces deux portions de surface et qu’il traverse l’intervalle qui les sépare ; donc il y a pénétration du second cylindre par le premier.

Supposons en second lieu, comme cela arrive dans la fig. VII-2, que chaque base soit coupée par une des tangentes à l’autre base. Alors les plans auxiliaires conduits suivant les tangentes rs et iiz comprennent, sur les cylindres , les portions de surface qui s’appuient sur les arcs un>, jrf; et il est évident que ces portions se rencontrent mutuellement , tandis que les portions extéiieures n’ont aucun point commun : dans ce cas on dit qu’il y a arrachement.

Les constructions qu’on vient d’indiquer, pour juger s’il y a pénétration ou ari'achement, déterminent les génératrices de chaque cylindre qui servent de limites à la courbe d’intersectiott. Ainsi, dan* la fig. VII-1 , la courbe d’entrée est limitée aux génératrices qui passent aux points s et et la courbe de sortie l’est à celles qui passent aux points C et z. Dans la fig. VII-2, la courbe d’intereection a pour limites, sur l’un des cylindres, les génératrices élevées en u et en et sur l’autre, celles qui passent en s et en t. Au reste , la construction générale donnée plus haut, pour trouver une tangente quelconque, montre qu’en effet ces génératrices sont tangentes à la courbe d’intei-section. Par exemple, imaginons qu’on mène les plans tangents aux deux cylindres.

l’un par le point r, l’autre par le point t. Ijc premier se confond avec le plan auxiliaire dont la trace est donc il va couper le second suivant la génératrice qui passe en t; donc cette génératrice est tangente à la courbe d’intersection. Par suite, les projections de cette génératrice sont aussi tangentes à celles de la courbe, ainsi que l’indique la 6gure.

J 24- Problème Vin. Intersection de deux cônes .

£n menant une suite de pians par la droite qui joint les deux sommets , chacun de ces plans coupera les cônes suivant des droites dont les intersections feront connaîti'e des points de la courbe demandée. La tangente en un point quelconque de cette courbe sera l’intersection des plans tangents aux deux cônes.

Supposons que les données soient celles de la fig.VIll, et convenons de nommer petit cône celui dont la base est moindre, et grand cône celui dont la base est plus grande. Soit c le point où la droite [aô, <iV\ qui joint les sommets , perce le plan horizontal ; les traces horizontales des pians auxiliaires passeront toutes par ce point. Menons à la petite base les tangentes cd et ce, qui coupent la grande en f, g, h, i. Tous les plans auxiliaires dont les traces horizontales sont comprises entre ces tangentes, comme l’est cm., rencontrent les deux cônes, et détenninent des points communs à ces surfaces; mais les plans dont les traces sont en dehors des deux tangentes n’en peuvent pas déterminer. Il suit de là que l’intersection demandée se compose de deux parties distinctes ; l’une située sur la portion du grand cône coiTcspondantc à W\x fmrg, et l’aiilre sur la portion

correspondante à hi. Dans l’épure on ne s’est occupé que de la première.

Les points a eX. b étant les projections horizontales des sommets, les droites ad et bf, ne et bg, sont celles des génératrices suivant lesquelles les cônes sont coupés par les plans auxiliaires qui ont pour traces <^et cg' (on néglige la partie /«) ; par conséquent , les points de rencontre ÿ et U appartiennent à la projection horizontale de la courbe d’intersection des deux cônes. De plus , on remarquera que cette courbe étant limitée, sur le grand cône, aux génératrices projetées sur bf et bg, doit avoir ces droites pour tangentes, et que par suite la projection horizontale de cette courbe a elle-même bj et bg pour tangentes.

Si maintenant on considère un plan auxiliaire quelconque, tel que celui dont la trace cm coupe les bases en A', /, m, il détermine, dans les cônes, les génératrices qui ont pour projections horizontales ah, al, bm ; donc les intersections n et o, de bm avec ak et al, seront des points de la projection horizontale de la courbe cherchée. En répétant ces constructions on obtient cette projection aussi exactement qu’on veut.

L’autre projection se trouve en construisant les projections verticales des génératrices déterminées par les plans auxiliaires. Ainsi, en faisant les projections verticales dd et Vf, dé et Vf, on obtient les points i c^xd qui correspondent à f et « , et dans lesquels la projection verticale de la courbe a pour tangentes A//’ et Ainsi encore, les projections dV , dl' , Vni font connaître les points d et d .

La tangente à la courbe est facile à trouver. Soit le

point [/>, //] déterminé par l’intersection des génératrices projetées en aq et br : on mènera aux bases les tangentes qs et rs, qui sont les traces des plans tangents aux cônes, au point que l’on considère; puis on joindra le points, où elles se coupent, avec le point p. I^a droite sp sera la projection horizontale de la tangente au point avoir la projection verticale, on abaissera sà perpendiculaire à xy et on joindra /// .

Si on applique ces constnictions aux points [f, et [iz , i/] , on retombe sur les droites [bt, et \bu, Utf\, ainsi que cela doit être.

|2S. Problème IX. Deux cônes étant donnés, on propose de reconnaître si la courbe d^ intersection a des branches infinies , et, dans ce cas, de déterminer les asymptotes , lorsqu’il en existe.

Prenons les données de la fig. IX dans laquelle les bases des cônes iont dmne, fhig. Pour que l’intersection ait des branches infinies, il faut qu’en menant les plans auxiliaires par les deux sommets on puisse en trouver un , ou plusieurs , qui rencontre les cônes suivant des génératrices parallèles. Donc, si on déplace l’un de ces cônes, le petit par exemple, de manière que ses génératrices demeurent parallèles à elles-mêmes et que son sommet vienne coïncider avec celui du grand, il devra arriver alors que les deux cônes aient une ou plusieurs génératrices communes. Or, pour qu’il en soit ainsi, il I faut et il suffit que leurs traces horizontales se rencontrent; cherchons donc quelle devient la trace du petit cône après sa translation.

Supposons qu’on ait mené les traces d’autant de plans

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1.IGNX8 COURTES 4.YEÇ LEURÿ TANGEIVTES. 19Q auxiliaires qu'çin vpqdra, imaginons qu’up polygone ait étç fpiTné en joignant les points ou elles coupent la base du petit cône, et considérons, au lieu de ce cône, une pyramide ayant ce polygone pour base et même sommet que |e cône. Quand on efTectue le déplacement dont il s'agit, les arêtes de la pyramide, qui se trouvent dans les plans auxiliaires , se transportent parallèlement à elles-mêmes au sommet du grand cône, sans quitter ces plans. Les faces de cette pyramide continuent donc à être aussi parallèles à elles^mêines , de telle sorte qu’elles détermineront sur le plan horizontal un polygone dont les côtés seront compris entre les traces des pians auxiliaires et dirigés parallèlement aux côtés du premier. Il suit de là qu’on pourra facilement construire ce polygone dès qu’on aura un seul de ses sommets. Qr, supposons que </soit l’intersection de la base du petit eône avec la trace cd d’un plan auxiliaire; en menant ad, et ensuite ôd parallèle à ad, on détermine sur cette trace le point i qui est un sommet du nouveau polygone : on peut donc achever ce polygone , et en joignant ses sommets par un trait continu pn aura la trace horizontale du cône dé? placé, On n’a représenté qu’une partie de cette trace, et c’est la courbe

Comme cette courbe rencontre la base du grand cône en A et on conclut ({ue les cônes proposés ont des génératrices parallèles, lesquelles sont contenues dans les plans auxiliaires dont les traces sont cAm, cln\ et dès lors on peut tracer leurs projections horizontales bA et am, hl et an. On n’a tracé sur la figure que les projections verticales drd et dd, correspondantes à <im et an,