La propriété établie ci-dessus à l'égard des

EXSRCICES.

cônes qui sont circonscrits à trois sphères , prises deux à deux, conduit à cette proposition remarquable de géométrie plane : Étant donnex trois cercles situes ilans un plan , si on mène h ces cercles, pris dewr h deux , des tangentes extérieures, et qu'on les prolonge jusqu’à ce qu’elles se coupent, les trois points de concours sont toujours en ligne droite.

En effet , iTgardons ces cercles comme les grands cercles de trois sphères, et considérons les trois cônes dont chacun serait circonscrit extérieurement à deux de ces sphèit's : d’après ce (pii a été dit ci-dessus, les sommets de ces cônes sont situés en ligne droite sur le plan conduit par les centres des trois sphères. Or, ce plan coupe ct's sphères suivant les cercles donnés , et les cônes suivant les tangentes désignées dans l’énoncé ; donc le théorème est démontré.

Par des raisonnements analogues , <[ue le lecteur aperçoit sans doute, on arrive encore à cette conclusion : Si aux trois memes cercles , pris deu.r à deux, on mène des tangentes intérieures, c’est-à-dire qui se croi- .Kent entre les centres des cercles, on aura trois nouceau.K points de concours, dont deux quelconques sont en ligne droite acec un des trois premiers ; en sorte que les .«‘.r points de concours sont toujours les intersections de quatre droites.

149. Problème XIV. Une droite et une sphère étant dtmnées, un cylindre est déterminé s’il doit être parallèle à la droite et circonscrit à ht sphère : on propo.'te de construire , dans ce cas, les projections de la courlte de contact et la trace horizontale du cyiimlre.

. Coupez la sphère suivant un grand cercle par un plan parallèle à la droite donnée ; menez à ce cercle une tangente parallèle à cette droite ; puis imaginez que le cercle et la tangente tournent autour d’un axe mené par le centre parallèlement à cette même droite. Le point de contact décrit sur la sphère un grand cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe de révolution; et la tangente engendre un cylindre droit dont les génératrices sont parallèles à cet axe , et qui a , en chaque point du grand cercle, même plan tangent que la sphère. Tel est le cylindre déterminé par l’énoncé; et le grand cercle, dont le plan est perpendiculaire à la droite donnée, est la courbe de contact dont il faut d’abord construire les projections. A cet effet, on se sert d’une projection auxiliaire sur un plan vertical parallèle à la droite donnée; le grand cercle de contact s’y projette selon un diamètre perpendiculaire à la projection, sur ce plan, de la droite donnée , et de là il est facile de passer aux autres projections.

Soient (fig. XIV) a^, cép', les premières projections de la droite donnée, et «, d, celles du centre de la sphère. Ayant mené à volonté ue parallèle à a^, j’imagine que la projection auxiliaire soit faite sur un plan vertical élevé sur «e , et je fais tourner ce plan autour de ue pour l’appliquer sur le plan horizontal. En menant a^d' perpendiculaire à «e et prenant d'd' = dd, le point d' sera la nouvelle projection du centre ; et comme le rayon de la sphère est donné, on peut décrire, avec ce rayon et des centres a, dy d', des cercles qui seront les projections des grands cercles de la sphère parallèles aux trois plans de projectioui Parai-

L,gle

DigiliZ'

£X£RC1CES.

lèlement à [ap, «'p'], menez la ligne [«4, dU^ qui renconti'e le plan horizontal en 4, abaissez W perpendi* culaire à et tirez d'ü' : les génératrices du cylindra se projetteront sur le nouveau plan suivant des parallèles à dW ; et le cercle de contact , de la sphère avec le cy» lindre, s’y projettera suivant le diamètre d'd!' perpendiculaire à d'U' .

Pour montrer comment on obtient les projections de ce cercle sur les deux autres plans , je considère , par exemple , les points projetés en rd'. Ils sont situés sur un cercle horizontal dont on obtient la projection horizontale en menant par le point rd' la corde d'f" parallèle à uVj et en décrivant un cercle du centre a sur le diamètre ef égal à d'f . Alors , en abaissant la ligne td'm perpendiculaire à uv, ses intersections m fX n avec ce cercle appartiendront à la projection horizontale du cercle de contact. Si , dans le plan vertical primitif, on mène l’horizontale df à la même hauteur au-dessus de xy que d'f au-dessus de «c, on devra prendre sur cette horizontale les projections rd et d correspondantes à m et ri. En répétant ces constructions pour autant de points qu’on voudra, on détermine les deux projections , cmdn et drdd'd, du cercle de contact.

La projection d'd' met en évidence les points situés sur le grand cercle horizontal de la sphère. Ils y sont projetés en d'\ les projections correspondantes sur le plan horizontal sont ^ et 4 , et sur le plan vertical primitif elles sont ^ et H. Le point le plus élevé et le point le plus bas sont également en évidence : leurs projections sont d' et d' sur le plan auxiliaire , et on en conclut les projections c et d et d', sur les deux autres.

248 QLATRlàMS PARTIE.

Pour satislaire à rônonoé , il faut encore coustruii-e la trace liori/.ontale du cylindre circonscrit, ce qui revient à détciTîiiner les traces horizontales d’un certain nombra de génératrice. Par exemple , qu’on mène /«M et «N parallèles à a^, ainsi que /n!'y! parallèle à (J’y, on aura les projections de deux génératrices du cylindre; et leurs traces horizontales M et N seront à la courb<* cherchée. Les autres détails s’expliquent assez deux-mêmes.

Remarque I. Les constrùctions effectuées plus haut apprennent à trouver les points du ceirle de contact placés sur un plan horizontal quelconque : on peut aussi déterminer ceux qui sont situés sur des plans parallèles au plan vertical primitif. Prenons, par exemple, celui dont la trace horizontale est pq. L’intersection de ce plan , avec celui dans lequel se trouve le cei’cle de contact, est une droite qui contient les points cherchés, et dont les projections sont pq sur le plan horizontal, et «■"W" sur le plan auxiliaire. Pour avoir la projection de cette droite sur l’autre plan vertical , je mène par les points P et q, pris arbitrairement sur pq, les lignes fiq'jj', perpendicidaires à iw, et les lignes /xp//,

q'^(^, perpendiculaires à puis je prends (fp' ,

et enfin je tire fj(^ : c’est la projection dont il s’agit. D’un autre côté, le plan vertical élevé sur^^ coupe la sphère suivant un cercle, dont la projection verticale est un cercle tracé du centre sur un diamètre z V égal à la corde rs (cette corde est ici un diamètre) ; donc les points du cercle de contact, qui sont dans ce plan, ont leurs projections verticales aux intersections i* et k. Ou en déduit ensuite les projections i et k.

EXERCICES

Hemarque II. problème qu’on vient de traiter est le même qu’il faut résoudre quand on suppose qu’une sphère opaque est éclairée par des rayons de lumière parallèles entre eux, et qu’on demande : 1® la courbe qui sépare, sur cette sphère, la partie éclairée de la partie obscure ; 2“ l’ombre portée par cette sphère sur un plan horizontal.

ItSO. Problème XV. Déterminer la courbe de contact d’un ellipsoïde à axes inégaux avec un cône, dont le sommet est donné et qui doit être circonscrit à cette surface.

Imaginez trois droites ou axes, de longueurs données, qui se coupent mutuellement .à angles droits en leurs milieux ; et sur ces axes , pris deux à deux , décrivez trois ellipses. Si on fait mouvoir l’une de ces ellipses de manière que son plan reste parallèle à lui-même, et si en même temps on change ses axes de manière que ses sommets soient toujours sur les deux autres ellipses, on engendre la surface qu’on appelle ellipsoïde. Le point où se coupent les trois axes donnés est le centre de la surface, et les trois ellipses décrites sur ces axes se nomment ellipses principales .

Parmi les propriétés de cette surface se trouvent les suivantes, dont je ferai lusage. 1“ Toutes les sections faites par des plans sont des ellipses , et, quand ces plans sont parallèles, les ellipses sont semblables, c’est-à-dire que leurs axes sont proportionnels; d’où il suit que les droites semblablement tirées dans ces ellipses sont aussi proportionnelles. 2® Si, par différents points d’une même section , on mène des plans tangents à la surface , ils

iront tous se couper en un même point; et réciproquement, si d’un point donné extérieurement on mène des plans tangents à la surface , tous les contacts seront sur une même section plane de cette surface. En joignant les points de cette section plane avec le point extérieur, commun à tous les plans tangents, on détermine un cône circonscrit à l'ellipsoïde.

Dans l’énoncé, le sommet du cône circonscrit est donné , et il faut trouver les projections de la courbe de contact. A cet effet, je prendrai les plans de projection parallèles à deux des ellipses principales, je ferai desseotions horizontales dans la surface, et je déterminerai les points de contact situés sur ces différentes sections. Il y a aussi quelques points remarquables que je construirai.

Soient (fig. XV) O, o' les projections du point donné, et a , ci celles du centre de l’ellipsoïde. Soient bc et de les projections des axes de l’ellipse principale qui est parallèle au plan horizontal, et que je nommerai H. Enfin soient Üd et les projections de l’ellipse principale qui est parallèle au plan vertical , et que je nommerai V. Ces deux ellipses, H et V, sont en vraie grandeur dans les plans de projection. Je supposerai bc edeted Cela posé , considérons la section horizontale projetée sur /ii' : cette section est une ellipse semblable à H, et son grand axe a pour projections hi et h'i'. Menons les tangentes /i/i, i'l\ qui se croisent en ci' : le point [a, o"j peut être regardé comme le sommet d’un cône qui toucherait l’ellipsoïde à tous les points de l’ellipse projetée en /iV'; et eu menant par le point donné [o, d\ des plans tangents à ce cône, on déterminera sur cette ellipse deux points de la courbe de contact cherchée. D’après

SXERCICE8.

la méthode expliquée n° 80, il faudrait faii'e passer une droite par les points [o, d] et [a, a"] , chercher le point de l’encontre de cette droite avec le plan horizontal et, de ce point, mener des tangentes à l’ellipse située dans ce plan. Pour avoir d’autres points de la courbe de contact, il faudrait mener des tangentes à d’autres ellipses : or, on peut modifier les constructions de manière a opérer toujours sur l’ellipse bdce^ et c’est ce qu’on va expliquer.

Par le point [o, d\ conduisons un plan horizontal, dont la trace est dd. Le cône d'Hi' (cette expression abrégée désigne le cône projeté sur d'Hi’) est coupé par ce plan suivant une ellipse semblable à H, et dont le grand axe est égal à Or, si on tire td qui rencontre dd' en d", et si on prend le point [a, «'"] pour sommet d’un cône ayant pour base l’ellipse H, il est facile d’apereevoir que ce cône sera coupé par le plan dd selon la même ellipse que l’autre cône. Ces deux cônes peuvent être regardés comme ayant cette ellipse pour base commune ; et comme d’ailleurs ils ont leurs sommets sur la même verticale, il s’ensuit que les arêtes de contact de ces cônes, avec les plans tangents menés par le point [o, d]^ auront les mêmes projections horizontales. Ainsi, on pourra trouver ces projections en se servant du dernier cône au lieu du premier : alors les points de contact situés sur l’ellipse di' seront faciles à connaître.

Pour le moment il faut donc mener, par le point [o, t/], des plans tangents au cône d"di'. En conséquence, je trace les projections oa, dd", de la droite qui passe par ce point et par le sommet [a, d"]; j’en déduis les projections m et /«' du point où elle rencontre le plan de

253 QUATfUèME PARTIE,

l’ellipse H; je m^e les tangentes rnn, mp, à la projection horizontale de cette ellipse; et, en tirant an et ap, ou a les projections horizontales des deux arêtes de contact.

Si la projection horizontale de l’ellipse Hi' était tracée , ses intersections avec an et ap seraient les projections horizontales des points cherchés. Mais cette projection étant une ellipse semblable à hdve, et ayant hi pour grand axe, ces intersections doivent diviser an et op comme ac l’est en /; donc on aura ces intersections en tirant les droites c«, cp, et leui-s parallèles iq, ir. En prenant sui‘ fii' les projections verticales et correspondantes A q et r, les deux points projetés en q, et en /•, /, appartiendront à la courbe de contact que l’énoncé propose de tléterminer. En répétant les mêmes constructions , on obtient les projections de cette courbe, telles que l’épure les présente.

Maintenant voici les points remarquables qui ont été construits.

i° Les points situés sur les ellipses principales. Pour avoir les projections de ceux qui sont sur l’ellipse H, il suffit de mener les tangentes oi' et o^à l’ellipse Ac/ce, et de tirer les lignes de projection ss', tt! . On a déterminé les points qui sont sur l’ellipse V en menant, par le point c/, des tangentes à la projection Upé^ de cette ellipse; et on trouverait semblablement les points situés dans le plan de la troisième ellipse principale, en projetant le point [o, f/j sur ce plan, et en menant, par cette projection, des tangentes à cette ellipse.

2" Ia's points situés ilans le plan Vertical conduit par le point donné [o, c/] et par le centre [a, a']. Ce plan coupe la surface suivant une ellipse dont les axes sont

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EXERCICES

«•gaux à et J^^’, et si on mène, par le point doniu*, de.s tangentes à cette ellipse, les points de contact seront ceux dont il s’agit. Pour les obtenir, ou rend le plan de l’ellipse parallèle an plan vertical en le faisant tourner autour de la verticale élevée en a. Aloi’s l’ellipse se projette en vraie grandeur sur le plan vertical, et, si on prend (io!= a%, les axes de cette projection seront : supposons qu’en même temps le point

donné vienne se projeter en f/'. Quand on connaît les axes d’une ellipse, on sait trouver ses foyers, et ensuite on peut, sans tracer la courbe, construire les points oîi elle est touchée par les tangentes partant d’un point «lonné les traités ordinaires d«î Géométrie ajva-

lytiqxîe). Dans l’épure le procédé est indiqué, et les points de contact sont y' et S*. En remettant l’ellipse dans sa pmnière position, on trouve sans difficulté les projections u et i/, e et e', des deux points cherchés.

L’un de ces points est le plus bas de la courbe de contact, et l’autre est le plus élevé. On s’en assure eu remarquant que si l’on voulait chercher, jiar la métho<le générale, des points de cette courbe qui fussent situés sur une section horizontale faite au-dessous de ou audessus de e', le point donné [o, d\ serait renfermé dans l’intérieur des cônes auxquels il faudrait, de ce point, mener des plans tangents, ce «pii serait impossible.

L’épure présente encore les constructions qui font connaître les points situés dans le plan conduit, perpendiculairement au plan vertical , par le point donné et par le centre de l'ellipsoïde. Elles ne difiî*rent des précédentes que parce que le plan vertical remplace le plan horizontal et vice versa .

Dtuiiizéu uy

254 QüATaiàMB PABTIE.

Remarque. Le problème qui vient d'être traité st au long est évidemment le même que celui-ci : Un ellipsoïde étant éclairé par un point lumineux, quelle est , sur cette surface , la courbe qui sépare l’ombre de la lumière ?

ISl. PaoBLèwK XVI. On suppose qu'une droite glisse parallèlement à elle -même sur le contour d’une niche; et on demande la ligne qu’elle trttcc dans l'intérieur de la niche, ou, ce qui est la même chose, Pombre portée dans la niche par son propre contour.

Soit (fig. XVI) la ligne do terre , qu’on supposera tracée sur le sol même. Dans un plan horizontal, dont la trace verticale est -éy, décrivons un demi-cercle tel que celui dont les projections sorAacbrxd'U' . Concevons qu’un cylindre vertical, ayant ce demi-cercle pour base, soit terminé à un plan horizontal indiqué par db y et qu’il y ait au-dessus de ce cylindre un quart de sphèi-e ayant même centre [o, c/] et même rayon dd que la base supérieure du cylindre. L’espace vide formé dei’-' rière le plan vertical , et compris par le cylindre et le quart de sphère, est une niche. On suppose qu’une droite glisse parallèlement .à une droite donnée [a^ , sur le contour ddHb , et on demande les projections de la ligne qu’elle décrit sur la surface intérieura de la niche. Cette ligne se compose de trois parties qu’on va déterminer successivement.

V Une partie est déciite sur la surface cylindrique pendant que la droite se meut le long de la verticale projetée en d'd. Or, dans ce mouvement, il est clair que la droite reste dans un plan vertical dont la trace ho-

EXERCICES

rizontale oc est parallèle à et dont l’intersection avec

le cylindre est une génératrice projetée horizontalement en c et verticalement en d'd : donc, si on mène dd parallèle à et qu’on arrête d'd à cette parallèle, on aura la ligne que la droite mobile décrit dans le cylindre en s’élevant jusqu’au point [a, a'].

2“ La seconde partie provient de l’intersection du cylindre de la niche avec le cylindre oblique qu’engendre la droite mobile en glissant sur le cercle vertical projeté en dZ/l/. En conséquence , on prendra difTérentes génératrices [cfe, d'd^, [./^ > > • • • ‘lu cylindre oblique; on remarquera que les points où elles rencontrent le cylindre de la niche sont projetés en e, sur le plan horizontal; et on aura leurs projections verticales en élevant les lignes de projection ed, gg'..-. On a obtenu ainsi la courbe ddg'd, comprise entre le point d et l’horizontale dl/. On verra tout à l’heure, dans la remarque, le moyen de construire le point d placé sur cette horizontale.

3“ La dernière partie de la ligne cherchée est une courbe résultant de l’intersection du quart de sphère , qui termine la niche , avec le cylindre oblique dont on vient de parler. On obtiendra les points de cette courbe* en coupant les deux surfaces par des plans parallèles aux génératrices du cylindre, et qu’on choisira, pour plus de commodité, perpendiculaires au plan vertical de projection. Chacun de ces plans contient une génératrice du cylindre et un cercle de la sphère; et l’intersection de ce cercle avec la génératrice est un point de la courbe. Mais ici il convient de ifcourir à une projection auxiliaire, qu’on fera sur un plan parallèle h ceux des sec-

256 QUATHlèSTE PABTIE.

tions, afin que les cercles fie ces sections s’y projettent

en véritable grandeur.

Tirons à volonté 6>y) parallèle à et par wvi imaginons un plan perpendiculaire au plan vertical : c’est sur ce plan que je fierai la projection auxiliaire , de sorte qu’on doit se le l'cprésenter comme rabattu sur le plan vertical autour de la ligne m». Toutes les sections parallèles de la sphère sont des cercles projetés verticalement sur des droites ////, parallèles à et on

obtient les projections de ces cercles sur le nouveau plan en abaissant sur wr, les perpendiculaires </m, Ut,, et en décrivant des cercles du centre oj avec les rayons i»n, wX,... Il y a encore à déteraiiner, sur le nouveau plan , les projections des sections faites dans le cylindre oblique, c’est-à-dire, des génératrices parallèles à [a|3, a'|3'] et partant des points projetés en /j',

Soient la génératrice [M, //A'], et [A, A'] un point de cette génératrice : la projection horizontale fait connaître la distance rA à laquelle ce point est placé derrière le plan vertical. On abaissera donc A'Ç perpendiculaire sur myi, on prendra et on joindra ny : la génératrice

[AA, lUf\ sera projetée sur le plan auxiliaire suivant rjy. Les autres génératrices s’y projetteront suivant des parallèles à cette droite; et les intersection ip, ;{/,... de ces parallèles avec les cercles correspondants, déterminent sur le plan auxiliaire la projection de la courbe cherchée.

Alors il est facile d’avoir ses projections t/nV, ««/', sur les plans primitifs. Si, par exemple, on considère le point projeté en v, on en déduit d’abord la projection verticale et ensuite la projection horizontale n. Dans

EXERCICES. 25i

ces constructions on doit remarquer le point [m,!/] qui est donne par la parallèle tangente au cercle dHU .

Remarque. La projection de la dernière courbe sur le plan auxiliaire est une ligne droite. En effet, tirez

wy, ov]/, : tous les triangles , . . . . sont iso-

scèles et ont leurs bases Xj*, parallèles : donc les

angles wy'js, sont égaux entre eux, ainsi que

les autres angles adjacents à ces bases. Les angles ywip, -

yMi}/, sont donc aussi égaux, et par suite les points

6), (p, '},.... sont en ligne droite : ou bien, ce qui est la même chose , la courbe décrite dans l’intérieur de la sphère est un grand cercle, dont le plan est perpendiculaire au plan de la projection auxiliaire *.

De là résulte un moyen facile d’obtenir les points de la courbe qui sont situés sur des cercles quelconques de la sphère. Supposons qu’on veuille avoir le point situé sur le cercle horizontal dl/ : on cherchera la droite d’intersection du plan de ce cercle avec celui de la courbe, et la rencontre de cette droite avec le cercle donné sera le point cherché. Cette droite est projetée en dd sur le plan vertical, et en sur le plan auxiliaire : donc on aura, sur ces plans, les projections U, <r, d’un point de cette droite , en menant ad B perpendiculaire à wy; et la distance de ce point au plan vertical sera égale à 9or. Alors, sur bd' on prend et le point s ap-

partiendra à la projection horizontale de l’intersection

* En général , si deux surfaces du second ordre ont une courbe plane commune, et qu’elles se coiqwnt encore suivant une seconde ligne, cette dernière ligne est plane aussi. La sphère et le cvlindre Ji base circulaire sont des surfaces du second ordre.