QUATBlàW PABTIE

(les deux plans. D’ailleurs, ces deux plans passant par le centre de la sphère, leur intersection y passe aussi, et par suite sa prcyection horizontale est la droite os. Da rencontre r de cette droite ayec le demi-cercle aeà est donc la projection horizontale du point cherché , et la ligne de projection /•/ en fait connaître la projeption verticale /■',

Les constructions , par lesquelles on vient de déterminer le point [r, /], avaient déjà été employées ponr nn cas semblable dans le problème XIV.

132. Proupème XVII. Construire les projections de t intersection de deux ellipsoïdes de révolution dont les axes ne sont pas dans le meme plan.

Dans le cas général <le deux surfaces de révolution , pour trouver des points de leur intersection, on emploie des courbes qui elles-mêmes doivent être construites par points (127); mais dans la question actuelle, la ligue droite et le cercle peuvent souvent sufhre , je prendrai encore le plan vertical parallèle aux axes [aa,, dol"\ et Ub"''\ des surfaces ; mais la ligne de terre pourra être tracée à volonté dans ce plan- P» reste , j’adopterai les données telles que la fig. XVII les présente.

Coupons les deux ellipsoïdes par des plans parallèles entre eux et perpendiculaires au plan vertical , tels que ceux dont les traces verticales sont dll, i’ml, .... : dans les deux surfaces , les sections seront des ellipses. Les

cordes dp, i'H, sont des axes des ellipses résultant

fje la première surface, les autres axes seront des perpendiculairps au plan vertical, élevées aux milieux de

EXERCICES

ces cordes , et toutes ces ellipses sont semblables entre elles. De même, les cordes Vni,.... sont des axes des ellipses de la seconde surface , les autres axes de ces ellipses sont des perpendiculaires au plan vertical , élevées aux milieux de ces cordes , et ces ellipses sont aussi semblables entre elles.

Considérons les deux ellipses d’une même section, et imaginons deux cylindres auxiliaires décrits par une droite qui glisserait sur ces ellipses, parallèlement à une droite quelconque tracée dans le plan vertical. Les traces horizontales de ces cylindres seront en général des ellipses, dont chacune aura un axe perpendiculaire à xy et égal à l’axe horizontal de la section à laquelle elle correspond. Or, il est toujours possible de donner aux génératrices une direction telle que la trace d’un de ces cylindres soit un cercle, et alors, si les deux ellipses résultant des deux surfaces étalent semblables entre elles, la trace du second cylindre serait aussi un cercle, et par conséquent l’intersection des deux cercles ferait connaître les génératrices communes aux deux cylindres. Ensuite les intersections de ces génératrices avec le plan des deux ellipses donneraient deux points de la courbe cherchée, commune aux deux surfaces proposées. On voit qu’il importe d’abord de choisir les

parallèles éH^ i'rri, de telle sorte que les sections

faites dans un des ellipsoïdes soient semblables à celles de l’autre; et ensuite , de déterminer la direction que doit avoir la génératrice des cylindres auxiliaires pour que leurs traces horizontales soient des cercles.

Par le centre d de l’ellipse dd'cé", menez </(3, respectivement parallèles aux demi-axes d'U, de

l’autre ellipse; prenez dÇ! égale au demi-axe dd' de la première ellipse ^ gI d^ égale au quatrième terme de la proportion dfi' ; d’U \'.d^'‘.X’, puis décrivez sur les demi-axes dÇ> et d^ l'ellipse semblable à UU'U". Elle coupe la pi’emière ellipse en deux points, et je joins l’un d’eux , d , avec le centre d . Si un troisième ellipsoïde était engendré par l’ellipse |3(3'(5" autour de l’axe f'P , il est facile d’apercevoir que le plan mené par cV, perpendiculairement au plan vertical, couperait ce troisième ellipsoïde ainsi que le premier suivant des ellipses qui auraient les mêmes axes; donc les sections parallèles <àce plan, faites danslesdeux surfaces, seraient semblables ; et comme d’ailleurs les sections faites dans le second ellipsoïde , par ces mêmes plans , seraient semblables à celles du troisième , il s’ensuit qu’elles le seraient aussi à celles du premier. Ainsi la ligne dd détermine une direction qu’on peut donner aux plans coupants pour avoir, dans les deux surfaces, des ellipses semblables.

Menez du' parallèle à .zy et égale au demi-axe c'a", puis tirez une droite par les points d et rl. En prenant la génératrice des cylindres auxiliaires parallèle à cette droite, les traces horizontales de ces cylindres seront des cercles. En effet, si l’on considère en particulier le cylindre qui a pour base l’ellipse correspondante à ddf' sur la première surface, sa trace horizontale sera une ellipse dont un des axes est égal à 2c'«', et dont l’autre est égal à l’axe élevé en d dans la section perpendiculairement à dd : or ce dernier est égal à ou 2cW; donc la trace horizontale du cylindre est un cercle. Dès lors la trace du cylindre qui a pour base la section

EXEKCICES.

faite dans la seconde surface, par le même plan, est aussi un cercle; et il en est encore ainsi de toutes les autres sections parallèles à celles-là, faites dans les deux surfaces.

Avant d’aller plus loin, rappelons que dans une ellipse les milieux des cordes parallèles sont sur un diamètre. Par conséquent, en menant dans chacune des deux ellipses, données dans le plan vertical , une corde parallèle à et tirant une droite par le centre et par le milieu de cette corde , on aura les diamètres qui coupent en leurs milieux les cordes parallèles Soient 9p celui de la première ellipse, et celui de la seconde. Par rapport aux ellipsoïdes, on doit les considérer comme projections verticales de deux diamètres , dont les projections horizontales sont aa^ et bb ^ , et qui contiennent les centres des sections parallèles.

La question proposée n’a plus aucune difficulté , et les constructions viennent d’elles-mêmes. Soit le plan coupant dont la trace verticale est i'ni. On regardera les deux ellipses qu’il détermine dans les deux surfaces comme les bases de deux cylindres parallèles à la droite Ces ellipses ayant leurs centres projetés en J etyV, il est facile de mener par ces centres des parallèles à én\ et d’en déterminer les traces horizontales rj et /■ : ces points q et r sont les centres des cercles suivant lesquels les deux cylindres rencontrent le plan horizontal. La première ellipse ayant un de ses points projeté en V , et la seconde ayant un de ses points projeté en /', il est également facile d’avoir les traces horizontales j et ? des génératrices (pii passent par ces points. Les distances qs et rt seront les rayons des deux cercles; on peut donc

262 QX ATRièMÏ PARTIE,

les décrire , et leuis rencontres unit fout cOiiuaitre les deux, génératrices communes aux deux cylindres. En faisant les px’ojections verticales ^ de ces génë-‘

ratrices, on obtient sur Vni les projections verticales i/, vO ^ des points communs aux deux ellipses ; et ensuite on en déduit les projections horizontales e, w. D’autres sections donnent de nouveaux points , et on arrive ainsi aux deux courbes tracées dans l’épure, lesquelles sont les projections de l’intei-section des deux ellipsoïdes.

Remarque, Quand le pi’emier ellipsoïde est allongé j on a Alors on peut faire un triangle rectangle

qui ait dé pour hypoténuse j et dont un côté soit égal à de/'. Supposons, pour ne point changer la figure, que ddn' soit ce triangle, et que la ligne xj) qui est restée arbitraire, soit parallèle à dn'. Les deux cylindres auxiliaires deviendront perpendiculaires au plan horizontal, les sections elliptiques se projetteront sur ce plan suivant des cercles, et les constructions seront simplifiées. Mais cette solution ne pourrait point s’appliquer aux ellipsoïdes aplatis ÿ tandis que celle qui précède ne souffre exception que dans le cas où l’ellipse ne rencontre pas l’ellipse c/a"e/".

1S3. Problème XVIII. Déterminer un point dont on connaît les distances h trois points fixes, '

Il est évident que le point xpi’il s’agit de déterminer est l’intersection de trois sphères, dont les centres sont aux points fixes et dont les rayons sont égaux axix trois distances données. Prenons pour plan horizontal de projection celui qui passe par les trois points fixes , A, Bj C (fig. XVIII), et pour ligne de terre une per-

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EXERCICKS.

peridiculaire ;t:> à l’un des côtés du triangle ABC , à AB par exemple (on en comprendra la raison tout à l’heure). Des points A, Bj C, comme centres, avec des rayons égaux aux distances données, je décris trois cercles dans le plan horizontal ; on aura ainsi trois grands cercles appartenant respectivement aux trois sphères qui contiennent le point cherché. La première sphère coupe chacune des autres suivant des cercles verticaux, qui ont pour projections horizontales et pour diamètres les deux Cordes de et fg. Le point m où se rencontrent ces cordes est donc la projection horizontale du point cherché. Pour en avoir la projection verticale , on remarque que , de étant parallèle à le cercle vertical décrit sur de doit se projeter en vraie grandeur sur le plan vertical ; or, on obtient évidemment cette projection en abaissant sur xy les perpendiculaires dd'^ eé^ et en décrivant un cercle sur le diamètre d'd ; donc^ en menant la ligne de projection mrd, les deux intersections rti et ni', avec ce cercle, seront les projections verticales de deux points qui satisfont à la question.

^ Si les deux eordest/<?et^/nese rencontraient point dans l’intérieur des cercles , mais seulement dans leurs prolongements extérieurs, le problème serait impossible.

Remarque. Les deux points déterminés par les intersections de la première sphère avec les deux autres doivent également se trouver sur le cercle d’intei-section de la seconde et de la troisième. Or, ce cercle est projeté Sur la corde hi', donc cette corde doit passer au point ni. Donc les trois cordes déterminées par les intersections de trois cercles tracés dans un plan se rencoMtent au même point.

264 QUATRlàHE PARTIE.

Que les cordes sc coupent intérieurement ou extérieurement, cette proposition est toujours vraie, ainsi <pron le démontre aisément par la Géométrie.

134. Problème XIX. On a mesuré les angles formés par les rayons visuels dirigés d'un certain point de t espace vers trois points connus ; trouver lajxtsition de ce point.

Prenons encore (fig. XIX) pour plan horizontal celui qui passe par les trois points connus A, B, C, et pour j)lan vertical un plan perpendiculaire au côté AB du triangle ABC. Décrivons les segments APB, AQC, BRC , i capables des angles donnés, et engendrons trois surfaces de révolution en faisant tourner ces segments respectivement autour de leurs bases AB, AC, BC. Tout point pris sur la première surface jouit de cette propriété que l’angle formé par les droites qui le joignent auv points A et B est égal au premier angle donné ; mais , pour un point intérieur ou extérieur à cette surface, l’angle ainsi formé serait plus grand ou plus petit.

Il suit de là que le point dont on propose de fixer la position est sur celte surface; par des raisons semblables, il doit également se trouver sur les deux autres. Ainsi la question se réduit à chercher un point commun à trois surfaces de révolution dont les axes sont dans un même plan. A cet effet, on détermine (126) les courbes d’intersection de la première surface avec les deux autres; et les points communs aux deux courbes satisfont à l’énoncé.

En coupant, comme au numéro cité, les surfaces qu’engendrent les segments APB et AQC par des sphères

EXERCICES

qui ont le point A pour centre coininun, on a trouvé que rintei'section des deux surfaces a pour pi’ojcction horizontale la courbe Arn/iï)", et, en coupant la pre- * inièrc surface et la troisième par des sphères dont le centre commun est en B, on a trouve sur la projection Iiorizontale la courbe Les projections verticales

étant inutiles, on ne les a pas construites. Ia;s points m et «, où les deux courbes se rencontrent, sont les projections horizontales des points communs aux deux surfaces. Mais comme ils ont été obtenus par les l’encontres de deux courbes, on pourrait avoir du doute sur l’exactitude de leur position, et il convient de les vérifier. Or, j)our vérifier le poiiit m, par exemple, il suffit de mener les lignes/;^, r/ig, mh, respectivement peipendiculaires aux côtés AB, AC, BC, puis d’examiner si les points / et g' sont sur un cercle décrit du centre A, et si les points g et h sont sur un cercle décrit du centre B.

Les projections horizontales m et n une fois bien éta- Jdics, les projections verticales correspondantes en découlent. En effet, les points cherchés doivent se trouver sur les cercles décrits autour de AB par les points y et / : or, ces cercles étant parallèles au plan vertical , on obtient sur-le-champ leui-s projections sur ce plan en prolongeant AB jusqu’en J, en abaissant les perpendiculaires fj' et sur xy, et en décrivant des cercles du centre d avec les rayons df' et di'\ donc alors il n’y a plus qu’à mener les lignes de projection mnl^ nd, terminées respectivement à ces deux cercles. On doit trouver ainsi deux points au-dessus de xj', et deux audessous; mais, dans l’épure, ou n’a marqué que les

266 QUATIUÈMÈ PABTIS.

deux premifei-s, ce qui revient à supposer i^ue lé point d’où parlent les rayons visuels, qui font entre eux lès angles donnés, est placé au-dessus du plan horizontal. Malgré cette limitation, on voit qu’il y a deux points qui remplissent les conditions données, et même, dans cettâins cas , il pourrait y en avoir quatre.

133. Remarque. De Ce qu’un point est l’intèrsection des projections horizontales de deux courbes, on ne peut pas conclure , en général , qu’il réponde à uhe intersection de ces courbes. Par conséquent, toutes les fois que, pour déterminer un point situé sür trois surfaces , on construit les projections horizontales des courbes suivant lésqtielles une de ces surfaces coupe lés deux autres , il pourrait y avoir erreur à regarder un point commun aux deux projections comme corrëspottdant à un poiiit commun aux trois sUCfaces. Poürcettfe raison, il peut être utile de tracer aussi la projection de l’intersection de la seconde surface avec la troU sième, et alors on ne prendra que les points communs aux trois projections. Mais alors encore il pourra rester des doutes; et le moyen le plus sûr, en général, sera de déterminer les projections verticales des intersections de la première surface avec les deux autres, de comparer les points de rencontre de ces projections avec les points de rencontre des projections horizontales, et de ne prendre, sur chaque plan dè projection, que les points qui ont leure correspondants sur l’autre. Cependant, comme la construction des courbes est longue et difïicul tueuse, il sera pli is commode de chercher, dans chaque cas particulier, quelque moyen plus simple qui puisse lever toutes les incertitudes.

tlCRCtCËS. S67

Problèsie XXi On suppose qu’ an point élévi dans r espace , un aérostat, par exemple , ait été vU au même instant par trois observateurs, et que chacun, au lieu où il se trouve, ait mesuré l’angle formé ai>ec la verticale par le raj’on visuel dirigé vers l’aérostat : ces angles et leurs sommets étant connus, on demande la position de f aérostat au moment des observations.

Autour de la verticale élevée au point où chaqüe observateur était placé, concevez un cône droit dont le sommet soit en ce point, et dont la génératrice fassë avec la verticale l’angle observé. On aura ainsi trois surfaces coniques sur lesquelles l’aérostat était situé au moment des trois observations ; c’est donc l’intersection de ces trois surfaces qu’il faut déterminer : or, c’est ce qu’on ibra en ctterchant les projections horizontales des intersections de ces surfaces, prises deux à deux.

Soient (fig. XX) a et d, h et IJ, c et d, les projections des trois sommets. Les verticales indéfinies dd', b’b", dd'i, seront les projections verticales des axes des trois cônes. Menons les lignes ap , bq, cr, parallèles à xf, et les lignes df -, Üfj, dé, fornlant avec les verticales des angles respectivement égaux aux angles connus : on auraainsilesprojectionscrunegénératricedechaquecône. Voici maintenant les constructions qu’il faut effectuer.

Ayant mené dans la projection verticale une horizontale quelconque dd, on la considère comme la trace d’un plan horizontal auxiliaire par lequel on coupe les trois cônes. Les sections seront trois cercles dont les projections horizontales sont des cercles ayant respectivement leurs centres en a, b, c. Pour achever de déterminée Ces cercles f on remarquera ^que la tracé d/

uigitized

coupe les lignes tij), U(jf, dr^ en des points </', d, f, qui sont les projections verticales de ceux où le plan auxiliaire coupe les génératrices des trois cônes. En conséquence , on constiTiira les projections horizontales correspondantes d, <?, J", puis on décrira trois cercles avec les rayons ad, be, cf. Les rencontres de ces cercles , pris deux à deux , donnent deux points de chacune des courbes cherchées ; et en répétant ces constructions pour d’autres plans horizontaux, on en trouve autant de points qu’on veut.

Les trois courbes, ainsi déterminées dans la projection horizontale, sont gnh, ink, Inm. Elles^se rencontrent en n, et il est facile de s’assurer que ce point est véritablement la projection d’un point commun aux trois surfaces. En effet, comme le point n appartient aux deux courbes gnh, ink, il s’ensuit qu’il est la projection hol’izontale d’un point commun aux deux premiers cônes, et aussi celle d’un point commun au premier et au troisième; mais, sur le premier, il ne peut y avoir qu’un seul point qui se projette en n (dans la question on doit négliger la nappe inférieure); donc ce point est réellement commun aux trois surfaces.

La troisième coui’be Inm n’a ici d’autre usage que de fournir une vérification. Mais on en obtient une plus .sûre en traçant, des centres a, b, c, trois cercles qui passent au point «, et qu’on regardera comme les pi'Ojections horizontales de trois cercles horizontaux situés respectivement sur les trois cônes. On déterminera , ainsi que le montre la figure , la projection verticale de chacun d’eux ; et il doit arriver que ces trois projections soient sur une même horizontale Ud. Alors, en effet, il est

EXERCICES

clair que le plan auxiliaire, dont la trace verticale est coupe les cônes suivant trois cercles qui ont un point commun projeté en n.

Par ce qui vient d’être dit, on dctenninc la trace verticale dO du plan liorizontal dans lequel est situé le point commun aux trois cônes; par conséquent on obtiendra la projection verticale de ce point en élevant la ligne de projection qu’on termine en d sur d^K Remarquez d’ailleurs que, comme les courbes de la projection horizontale peuvent se rencontrer en plusieurs points, le problème peut aussi avoir plusieurs solutions.

1S7. Problème XXI. Déterminer un point dont on conmdt les distances à trois axes Jlces.

Nommons A, B, C les trois axes; et a, (3, y, les distances de ces axes au point qu’on veut déterminer. Parallèlement à l’axe A, et à la distance a, imaginons une droite et décrivons un cylindre en faisant tourner cette droite autour de l’axe A. Concevons qu’un second cylindre ait été décrit de la même manière autour de B par une parallèle à B, menée à la distance P; et qu’un troisième cylindre ait encore été décrit autour de C par une génératrice menée à la distance y- Cr question revient à trouver les points communs .à ces trois surfaces.

Pour plus de simplicité, je choisis le plan horizontal perpendiculaire à l’axe A, mais je laisserai la ligne de terre arbitraire dans ce plan. De cette manière, l’axe A sera projeté horizontalement en un point unique a (fig. XXI), et verticalement sur une perpendiculaire dd' à XJ-. Soient bb^ et Ubl, cc, et c/c/, les projections des axes B et C. La trace horizontale du premier cy-

;2T0 QCATRiiMÇ PABTXE. ‘ ’*

lindrc spva ua cercle pqm décrit du centre a Jivec )e fayon a : celles des deux autres cylindres seront des cIt lipses que je vais déterminer d’abord.

Au pointé», ou l’axe B perce le plan horizontal, élevez de perpendiculaire à W,, et prenez bd~be = Ç>\ de sera le petit axe de l’ellipse suivant laquelle le second cylindre coupe le plan horizontal. Pour en avoir le grand axe , il faut ti’ouver sur ce plan les pieds des deux génératrices situées dans le plan vertical élevé sur W,; et à cet effet je ramène ce plan à être parallèle au plan vertical de projection. Supposons qu’alors les projections de l’axe B soient bl, élevons X'u, ?.'v, perpendiculaires à Uyl et égales .à P; puis menons fxç', parallèles a U)1 : les deux génératrices dont il s’agit auront maintenant et pour projections verticales. Elles rencontrent le plan horizontal en cp et i{/; et en rantenant ces points sur bb^, on obtient le grand Eics deu$. axes de et étant connus, on construira l’ellipae dfegi et alors il sera facile d’avoir, ainsi que le montre la figure, les projections du second cylindi'e. Des constructions analogues font connaître la traçe et les projections du ti’oisièmc.

Maintenant, pour trouver les intersections du premier cylindre avec les deiut autres, appliquons le procédé du n" 125. Ici , les projections horizontales de ces intersections se confondent avec le cercle pqm , et ce sont leurs projeptions verticales qu’il faut construire. Pour obtenir celle de la première , je coupe les deux surfaces par des plans verticaux parallèles à bb^. Soit ernn la trace d’un dp ces plans : il coupe les deux cylindres suivapt. d^ génératrieps dpnt pq fera les projections

EXEBCICES.

verticales; et les rencontres ni et ri appartiendront à la projection verticale de la première courbe. Cette projection est ni(]/[Jri. On trouvera semblablement la projection verticale de la seconde intersection en prenant des plans coupants encore verticaux , mais parallèles à ccy

Avec les données de la figure, les deux courbes de la projection verticale se rencontrent en deux points //, (j/, qui sont réellement les projections de deux intersections : car, dans le voisinage des points yV, les arcs de ces courbes correspondent à des arcs qui, dans l’espace, sont situés sur la partie du cylindre vertical comprise entre le diamètre hi et la ligne de terre xj'. Cette remarque montre en même temps qu’on obtient les projections horizontales petq, des points qui satisfont à la question, en terminant les lignes de projection yy/, qrj, à la demi-circonférence hmi.

Au reste , les points [y>, yy] , \q,rj\ étant ainsi déterminés, on reconnaît facilement qu’ils sont en effet sur les trois cylindres en examinant si, par chacun d’eux, on peut mener trois génératrices qui appartiennent respectivement à ces trois surfaces. Les constructions indiquées sur la figure dispensent de toute autre explication.