Nous renvoyons ce qui concerne les surfaces
34 PR£HliRK PARTIE,
courbes à la seconde partie de ce traité. Ce qui pré* cède suffît déjà pour montrer comment les données de tous les problèmes , dans lesquels on considère les trois dimensions de l’étendue , peuvent se représenter avec exactitude par des points et des lignes situés dans deux plans fî:tes qui se coupent , et qui ont entre eux une • inclinaison convenue.
Afin de réunir toutes les constructions sur un seul dessin, on fait tourner l’un des deux plans, a:ju(û§. 12), par exemple , autour de son intersection xj-a\ec l’autre plan xj-z , pour l’appliquer sur ce dernier , en xj’ié. De cette manière , les lignes tracées dans le plan xjz n’ont pas changé ; mais , pour concevoir nettement la position de celles qui sont dans l’autre plan , il faut , par la pensée, remettre ce plan dans sa vraie situation. Quant aux points situés hors de ces plans , ils ne doivent point paraître dans les figures.
13. Après le rabattement , les projections d’un même point ont entre elles une liaison qu’il est très-important de remarquer. Soient (fig. 1 2) a et fl' ces projections avant le rabattement : on sait (8) que les perpendiculaires abaissées de ces projections sur la ligne xj' vont tomber au même point p. Or, pendant que le plan xju tourne autour de xp, la droite yjo' ne cesse pas d’être perpendiculaire à xj\ donc, quand le plan xju s’appliquera en xj-U sur le plan xjz , la ligne pd sera le prolongement ptJ' de pa.
De là ce théorème , d’un usage presque continuel , que les projections (ton point sur deux plans sont situées sur une perpendiculaire à V intersection de ces plans.
LA LIGNE OaOlTE ET LE PLAN. 35
1 4. Jusqu’ici on n’a fait aucune hypothèse sur l’angle des deux plans de projection. Mais ahn de rendre les constructions plus simples , on prendra dans la suite ces plans perpendiculaires entre eux. L’usage étahli est de considérer l’un d’eux comme fwrizontal, quoiqu’il puisse avoir telle position qu’on voudra , et l’autre comme vertical. Leur intersection est nommée ligne de terre.
Suivant qu’une droite est pai’allèle au plan horizontal , ou qu’elle lui est perpendiculaire , on dit qu’elle est horizontale ou verticale. C’est dans le même sens qu’on dit d’un plan qu’il est horizontal^ ou qu’il est vertical. Il faut avoir grand soin de ne pas se tromper dans l’emploi de ces dénominations. Ainsi , parce qu’une droite est parallèle au plan vertical , il ne s’ensuit pas qu’elle soit verticale, à moins qu’elle ne soit en même temps perpendiculaire au plan horizontal.
Chaque projection , chaque trace de plan prend le nom du plan qui la renferme. Par exemple , les projections et les traces situées dans le plan vertical sont des projections et des traces verticales.
1 3. De ce que les plans de projection sont perpendiculaires entre eux , il résulte plusieurs conséquences.
I® Si un point ou une ligne est dans l’un des deux plans, sa projection sur l'autre plan sera sur la ligne de terre. En effet , les perpendiculaires qui déterminent cette projection sont toutes comprises dans le premier plan \lntrod. 36).
2° Si une ligne est dans un plan parallèle à F un des deux plans, sa projection sur l’autre plan sera une droite parallèle a la ligne de terre. Par exemple, si une
36 PHEMlillK PARTIE,
ligne est dans un plan horitonzal , les perpendiculaires qui déterminent sa projection verticale sont renfermées ‘ dans ce plan horizontal ; donc la projection verticale est l’intersection de ce plan avec le plan vertical de projection , laquelle est une droite parallèle à la ligne de terre (^Introd. 29).
3“ Si un plan est peri>encliculaire à r un des plans de projection, sa trace sur l'autre plan sera perjyendiculaire à la ligne de terre. Par exemple , un plan vertical a pour trace verticale une peipendiadaire à la ligne de terre (IrUrod. 37).
4" Ijbs perpendiculaires menées a la ligne de terre , parles projections d' un point, sont égales au.t distances de ce point aux deu.r plans de projection. En effet , soit A (fig. 1 3) un point dont les projections sont a et (é : de ce que les plans de projection sont à angle droit , il est facile de conclure que les intersections du plan akd avec t«s plans déterminent un rectangle Aapa! , et que par suite on a ka=dp et k.d=ap.
Quand le plan verticaV est rabattu sur le plan horizontal, on savait déjà (13) que la droite apd', menée par les projections a et d' d’un même point A , est perpendicidaire à la ligne de terre xy. Mais ici on voit de plus que la partie ti'p donne sur-le-champ l’élévation de ce point au-dessus du point horizontal , et que ap est sa distance au plan vertical.
16. Il n’ a été question jusqu’à présent que d’une seide espèce de projections : de celles qui se font en abaissant des perpendiculaires sur un plan (3) , et que pour cette raison on nomme orthogonales. Elles sont ,
LA LIGinS DROITE ET LE PLAW. 37
» la vérité , celles dont l’usage est le plus commode et le plus étendu ; mais il en existe encore d’autres. Ainsi , en prenant des droites parallèles entre elles , et obliques à l’égard d’un plan, on aurait des projections obliques ; et en faisant partir toutes les droites d’un point unique , on aurait des projections perspectives.
En général , on peut imaginer telle loi qu’on voudra pour déterminer, sur une surface donnée, des points qui correspondent aux différents points de l’espace ; et les points ainsi déterminés pourront encore être désignés par le nom de pi’ojections. Mais il faut avoir soin de bien spécifier la projection dont on veut faire usage : autrement, il est toujours entendu qu’on emploie la projection orthogonale. Dans le cours de ce traité , on n’en considérera point d’autre.
17. Maintenant, je vais exposer les solutions des problèmes principaux qu’on peut proposer sur la ligne droite et le plan. Le dessin qui contient toutes les constructions d’un problème se nomme une Épure. I^es données et les résultats y seront toujours figurés par des lignes pleines; et les lignes de construction , par des lignes ponctuées qu’on fera varier selon le besoin.
Pour rendre les explications faciles à suivre , j’aurai soin aussi de mettre une certaine uniformité dans la notation. Ijes grandes lettres A, B, C,... désigneront des points de l’espace , et paraîtront rarement dans les épures. Les petites lettres rt, A, c,... écrites sans accents, ' seront affectées au plan horizontal ; et en les accentuant, comme sont d, U, é , elles seront rései'vées au plan vertical . I^a ligne de terre sera toujours désignée par .rp;
38 FREMliRB PARTIR.
«t le plus souvent les lettres grecques a, y,... indiqueront des points situés sur cette ligne.
J’emploie aussi difTërentes abréviations consacrées par l’usage. Le point [«//] est celui qui a pour projections a et (J; la ligne [ah, dU\ , celle qui a pour projections ab et (iü ; et le plan art/i , celui dont les traces sont aa et a'a. Enfin , quand on dira qu’un point , une ligne, ou un plan , sont donnés , il faudra entendre qu’on connaît les projections du point, celles de la ligne, ou les traces du plan. De même, quand on proposera de déterminer un point, ou une droite, ou un plan, ce seront les projections du point , ou celles de la droite , ou les traces du plan , qu’il s’agira de trouver.
Problèmes. — Intersections des droites et des plans.
1 8. Problème I. Tjes projections â^une droite étant connues, trouver ses traces, c’est-à-dire les points où la droite rencontre les plans de projection.
La droite dans l’espace est l’intersection de ses deux plans projetants (9). Or, le point de rencontre des traces horizontales de ces deux plans est évidemment commun aux deux plans ; donc il est un des points de la droite : et comme il est dans le plan horizontal , il est la trace horizontale de la droite. Un raisonnement semblable prouve que l’intersection des traces verticales des deux plans projetants est la trace verticale de la droite.
Soient ab et dU (Prob. prem. part. fîg. 1-1) les projections données, qui rencontrent la ligne de terre xj en a et Le plan vertical élevé suivant ab est un plan projetant de la droite (6) : sa trace horizontale est ab, et sa trace verticale est une droite, telle que av, perpendi-
culaire à .r^( 1 5, 3“). L’autre plan projetant a pour trace verticale dV , et pour trace horizontale Uh perpendiculaire à xy. Le point h où se coupent les traces horizontales , et le point v où se coupent les traces verticales , sont donc des points de la droite située dans l’espace; et puisqu’ils appartiennent aux plans de projection, ils sont les traces mêmes de cette droite.
Ce qui précède se résume dans cette règle générale. Pour connaître la trace horizontale d’une droite, prolongez sa projection verticale jusqu’à la ligne de terre , et par le point de rencontre menez dans le plan horizontal une perpendiculaire à la ligne de terre : elle ira couper la projection horizontale de la droite au point cherché. Pareillement, pour avoir la trace verticale de la droite, prolongez sa projection horizontale jusqu’à la ligne de terre, et, au point d’intersection, élevez dans le plan vertical une perpendiculaire à la ligne de terre , cette perpendiculaire coupera la projection verticale de la droite au point demandé.
Remarques. En changeant les projections ab et dU, les traces h et u peuvent prendre une inhnité de positions différentes. Nous remarquerons quatre cas principaux.
Dans la fig. 1-1 , la trace horizontale /i est au-devant de la ligne de terre , et la trace verticale est au-dessus.
Dans la fig. 1-2, la trace horizontale b est encore devant la ligne de terre ; mais la trace verticale t ' est sur la partie inférieure du plan vertical.
Dans la fig. 1-3, c’est le contraire : la trace horizontale A est derrière la ligne de terre, et la trace verticale au-dessus.
40 PREMiKRE PARTIE.
Enfin , la fig. 1-4 représente le cas où la trace h est sur la partie postérieure du plan horizontal , et la trace t' sur la partie inférieure du plan vertical.
19. Prohlème II. Les traces de deiue plans étant connues, construire les projections de leur intersection.
Soient /« (fig. II-1) rintersection^des traces horizontales, et n’ celle des traces verticales. Ces points sont’cominuus aux deux plans, et la droite qui les joint dans l’espace est évidemment l’intersection de ces plans. Le point m étant sur le plan horizontal , il est lui-même sa projection liorizontale , et , en abaissant rnrrl perpendiculaire à xj, sa projection verticale sera ni. Pareillement, le point n' est lui-même sa projection verticale, et sa projection horizontale n se trouve en menant la perpendiculaire lin à .vy. Donc, en tirant les droites rnn et ni ri, on aura les projections de l’intersection demandée.
Cas particuliers. \ ” Quand l’un des plans donnés a une trace perpendiculaire h la ligne de terre , la trace horizontale par exemple , ce plan doit être perpendiculaire au plan vertical , et par conséquent sa trace verticale est la projection verticale de son intersection avec l’autre plan donné. Du reste, la constiTiction est la même.
2° Supposons que, sur un plan de projection, les traces des deux plans donnés soient parallèles entre elles; par exemple, que ce soient les traces horizontales (fig. II-2). Ti’intersection des deux plans sera parallèle à ces traces [Introd. 23); donc la projection horizontale mn de cette intersection leur est aussi parallèle [Introd. 26), et sa projection verticale nin' est parallèle à la ligne de terre. Ce cas n’a aucune difficulté.
3° G)nsidérons le cas où les deux plans donnés l'encontrent la ligne de terre au même point. Tels sont les plans apd et bpU (fig. II-3). Alors la construction générale étant en défaut , on peut couper ces plans par un plan quelconque, et chercher, comme plus haut, les projections des deux droites d’intersection. I.es points où ces projections se rencontrent sont les projections d’un point commun aux deux plans donnés; et comme le point P où ces plans coupent la ligne de terre leur est commun aussi , il s’ensuit que les projections de leur intersection sont complètement déterminées.
Assez ordinairement on prend le plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre : on le considère alors comme un nouveau plan de projection sur lequel on cherche les traces des plans donnés , et de cette manière on ramène la construction à celle du cas général. Cette solution est développée dans la figure.
I^s traces du plan auxiliaire y sont représentées par les droites , ^ol', perpendiculaires à rj-] elles rencontrent les traces du plan apti^ en n et et, si on conçoit pour un moment le plan vertical de projection rétabli perpendiculaire au plan horizontal, la droite qui joindrait a et serait la trace du plan apd sur le plan auxiliaire. Faisons tourner ce dernier plan autour de [3a pour l’appliquer sur le plan horizontal , le point a ne changera pas , la ligne se placera sur et le point a' se portera à la distance par conséquent, la droite
qui unit dans l’espace a et (J sera rabattue en aa".
On trouve de la même manière, sur le plan auxiliaire, la trace bl/' de l’autre plan donné ; le point d où elle coupe ad' est commun aux deux plans ; et il n’y a plus
qu’à déterminer les projections de ce point sur les plans primitifs.
Or , si on abaisse dm perpendiculaire sur , sa projection horizontale sera m; et si ensuite on mène dJ perpendiculaire sur et qu’on ramène ^ en sur sa projection verticale sera m'. Donc les projections de l’intersection cherchée seront les droites pm et pni.
4° EnBn, soit le cas où les plans donnés sont parallèles à la ligne de terre (fig. II-4). Alors leurs traces sont parallèles à cette ligne {Introd. 26) ; leur intersection l’est aussi , et la construction générale est encore en défaut. Mais on remédie à cet inconvénient au moyen d’un plan auxiliaire, tout à fait comme dans le cas précédent. Dans la figure, ce plan a été pris oblique à la ligne de terre : on aurait pu aussi le prendre perpendiculaire h cette ligne.
20. Problème III. Trouver V intersection d’une droite et dun plan.
IjC moyen de solution consiste à mener par la droite un plan quelconque, à chercher la droite suivant laquelle il coupe le plan donné, et à déterminer le point de rencontre des deux droites.
La construction est fort simple , quand le plan auxiliaire est perpendiculaire à l’un des plans de projection. Soient (fig. III-1 ) aa , oo' les traces du plan donné , et ùc, Ud les projections de la droite. Prenons pour plan auxiliaire le plan vertical qui contient la droite : sa trace horizontale sera hc , et sa trace verticale sera mrri perpendiculaire h xy. Soient deXrri les points où ces traces rencontrent celles du plan donné : abaissez dd perpendiculaire à x/y et en tirant rrid vous aurez la projection
verticale de l’intersection des deux plans. La projection verticale du point cherché doit donc être sur nid. Or , elle doit être aussi sur la projection verticale Vé de la droite donnée ; donc elle est à la rencontre d de ces deux droites. On conclut ensuite la projection horizontale o du point cherché , en menant sur xy la perpendiculaire 0 ^ 0 , qui va couper en o la projection horizontale be de la droite donnée.
On peut aussi obtenir directement le point o, comme on a trouvé d , en prenant le plan auxiliaire perpendiculaire au plan vertical. Les traces de ce plan auxiliaire sont rineX riUj et elles coupent en ra et en c' celles du plan donné. On abaisse donc de perpendiculaire à xj, puis on mène en qui doit rencontrer hrn au point cherché o.
La fig. I1I-2 représente les constructions qu’il faut exécuter quand le plan auxiliaire , qu’on mène par la droite donnée , a une position quelconque. Pour qu’il contienne cette droite , il faut que ses traces passent par celles de la droite. En conséquence, je détermine d’abord (18) les traces n et m ' de la droite donnée [4c, ê/d] ; puis, par ces traces et par un point P pris à volonté sur .r^, je mène les lignes ^/j et P//. On est assuré que la droite donnée est dans le plan /<P//, puisqu’elle y a deux points.
Cela fait, on détermine (19) la droite d’intersection des deux plans : c’est-à-dire que par les points d et d, où se coupent les traces de ces plans, on mène des perpendiculaires <4/ etc'csur.c^ qu’ensuiteon tire les droites f/c et dd; et que ces droites sont les projections de l’intersection des deux plans. Or, les projections du point cherché doivent être sur ces projections , et aussi sur celles de la droite donnée [4c, dd] ; donc les projections de ce point
sont déterminées. La projection horizontale est en o, et la projection verticale en c/, par conséquent la droite od , quijoint ces projections, doit être perpendiculaire
Cas particulier. Nous ne remarquerons qu’un seul ras particulier : celui où la droite donnée est perpendiculaire à l’un des plans de projection ; par exemple , au plan horizontal (fig. 111-3} . Sa projection sur ce plan sera un point unique o, lequel suffît pour déterminer la droite; et quant à sa projection verticale dd^ , elle est perpendiculaire à XJ. Ici le plan auxiliaire cdd doit être vertical , et par conséquent sa trace verticale dd est aussi perpendiculaii'e à xj\ mais sa trace horizontale n’est assujettie qii’.à la seule condition de passer au point o, La construction reste d’ailleurs la même que dans le cas général. La projection verticale du point cherché est marquée en o', et la projection horizontale en o.
On peut modifier la construction en prenant la trace horizontale du plan auxiliaire telle qu’est oe , parallèle à la trace horizontale aa du plan donné ; ou bien telle (ju’est of, parallèle à la ligne de terre. Dans le premier cas, l’intersection des deux plans sera aussi parallèle à au [Introd. 23), et sa projection verticale dd sera parallèle à XJ. Dans le second cas, l’intersection des plans sera parallèle h ud, et par suite la projection verticale fd le .sera aussi.
Dans le cas particulier qu’on vient d’examiner , on peut considérer le point o comme la projection horizontale d’un point situé dans le plan donné audy et il est clair que ce dernier point doit être l’intersection du plan aosi avec la verticale élevée en o. On voit ainsi que la construction précédente servira à résoudre cette
LA. LIGNK DROITE ET LE PLAtf. 45
question : Étant donnée F une des projections (t un point situé dans un plan, trouver Foutre projection.
21. Problème IV. Déterminer le [wint d’ intersection de trois plans donnés.
Les plans, pris deux à deux, déterminent trois droites qui passent au point demandé. En conséquence on cherche , par le problème II , les projections de ces droites ; et , quand les constructions sont exactes , les trois projections horizontales se coupent en un même point , qui est la projection horizontale du point demandé ; les trois projections verticales se coupent aussi en un même point, qui est la projection verticale du point demandé ; et enfin la droite qui passe par ces deux projections est perpendiculaire à la ligne de terre.
Dans la fig. IV, les projections horizontales des intersections des trois plans , pris deux à deux , sont ad, bf, ce', les projections verticales sont dd, Üf, dé', et le point cherché a pour projections o et d.
Droites et plans déterminés par diverses conditions.
22. Problème V. Connaissant les projections de deov j)oints, trouver les projections et la vraie grandeur de la droite qui joint ces deux /)oints.
Soient (fig. V) aetd, b et U, les projections de deux points  et B. Il est clair qu’en menant les droites abet dU, on a les projections de la droite AB qui joint ces deux points dans l’espace. Pour en avoir la vraie grandeur, rappelons d’abord que les lignes ad et4^(sont perpendiculaires à la ligne de terre, et que les parties rd etsU sont égales aux distances des points A et B au plan horizon-
46 PREMlàRB PARTIR,
tal (1 4*). Cela posé, concevons en a et 4 deux verticales , l’une égale à rd et l’autre à sU : les sommets de ces verticales ne sont autre chose que les points A et B , et la droite qui les unit est la distance cherchée, qu’il s’agit de construire en vraiegrandeuraveclesdonnéesdelafigure.
Les deux verticales étant perpendiculaires à où et situées dans un même plan , il s’ensuit que si on imagine par le point B une parallèle à terminée à l’autre verticale, on fonnera un triangle rectangle qui aura pour base cette parallèle égale à a/>, pour hauteur la différence des deux verticales, et pour hypoténuse la distance cherchée AB. Or , ce triangle est facile à construire : car il suffit de mener , parallèlement à xj-, la droite ô'm qui rencontre rd en /w, de prendre mn —ab, et de tirer dn. 11 est évident que dn est la distance cherchée.
On peut arriver à la même construction de cette autre manière. Quand une droite est parallèle à un des plans de projection , elle se projette sur ce plan en vraie grandeur : concevons donc que, sur ab, un plan vertical soit élevé , lequel contiendra nécessairement la droite AB ; puis faisons-le tourner autour de la verticale élevée en a, et amenons-le à être parallèle au plan vertical de projection. Pendant cette rotation, la ligne o4 tourne autour du point a , sans quitter le plan horizontal , et vient prendre la position de ac , ligne égale à ab et parallèle à :vj\ Alors le point B se trouve projeté horizontalement en c; et comme il n’a point changé de hauteur, sa projection verticale doit être à la même distance de la ligne de terre : par conséquent elle sera en /i, à l’intersection des droites en et Un, l’une perpendiculaire à xj-, et l’autre parallèle à xy. Ainsi , dn sera la projection verticale
de la droite AB, après qu’elle est devenue parallèle au plan vertical; donc dn est la vraie grandeur de cette droite. Cette construction revient à prendre mn—oc—ab^ comine dans la précédente.
On peut encore considérer que la droite AB , correspondante aux projections ab et dU , appartient à un trapèze dont les côtés parallèles sont perpendiculaires à ab, et égaux respectivement à rd et sU ; et que , si ce trapèze tourne autour de ab pour s’appliquer sur le plan horizontal , la droite AB elle-même s’y placera en vraie grandeur. En conséquence , perpendiculairement a ab, on prendra af=rd, bg=iU-, et cette vraie grandeur sera fg.
Enfin , on remarquera que toutes les constructions qu’on effectue sur le plan vertical peuvent l’être également sur le plan horizontal , et réciproquement.
25. Problème VI. Connaissant les projections d’une droite et dl un point, trouver celles d’ une parallèle menée à cette droite par ce point.
Soient aô et dU (fig. VI) les projections de la droite , c tX. é celles du point; menez cd parallèle a ab, et écH parallèle a dU vous aurez ainsi les pi’ojections de la parallèle demandée.
Pour légitimer cette construction , il faut démontrer que deux droites étant parallèles , leurs projections sur un plan quelconque le sont aussi. Et, en effet, d’après une proposition connue (Introd. 38) , les plans projetants de ces parallèles sont parallèles entre eux. Dès lors leurs intersections avec le plan de projection, ou, en d’autres termes , les projections des deux droites parallèles sont aussi parallèles entre elles.
48 PAEMliîBE PARTIE.
24. Problème VII. Les traces cV un plan dtant don^ nt’es , ainsi que l’une des projections d une droite si~ tue'e dans ce plan , trouver Vautre projection.
Supposons qu’on donne la projection horizontale de la droite , et concevons qu’un plan vertical soit élevé par cette projection : son intersection avec le plan donné sera la droite dont il faut trouver la projection verticale, ce qui revient au problème II (19).
Soit aa/é (fig. VII) le plan donné, et bc la projection donnée. Le plan vertical élevé suivant bc a pour trace verticale une perpendiculaire cd à et les points b et d, où se coupent les traces des deux plans , sont des points de la droite qui a pour projection bc. Or, le point b étant dans le plan horizontal , sa projection verticale sera sur .XJ, au pied de la perpendiculaire bd, et le point d, étant dans le plan vertical, est lui-même sa projection verticale ; donc la droite bd est la projection verticale demandée.
25. Problème VIII. Par un point donnd, mener un plan parallèle à un plan donnd.
Soientrtjrt' (fig. VIII-1 ) les projections du point donné, et les traces du pian donné. Les intersections de
deux plans parallèles sur un plan quelconque sont parallèles entre elles ; donc déjà on sait que les traces du plan cherché sont parallèles à celles du plan donné.
Par le point donné \a,ci\ , et dans le plan cherché , concevons une droite parallèle à la trace horizontale de ce plan ; elle sera aussi parallèle à ^4 , et dès lors ses projections sont faciles à construire : car sa projection horizontale ad doit passer au point a et être parallèle
à , taudis que sa projection verticale M doit passer au point «' et être parallèle à Soit la trace verticale de cette droite ; elle devra être sur la trace verticale du plan demandé : donc, si parce point on mène rfc/ parallèle à on aura la trace verticale du plan cherché. Pour avoir sa trace horizontale, on prolonge la trace verticale jusqu’au point y où elle rencontre .vy, et on mène yc parallèle à ^4.
Si l’on veut avoir une vérification , on peut chercher directement un point de la trace horizontale , comme on en a trouvé un de la trace verticale ; c’est-à-dire qu’on mènera par le point donné une parallèle à laquelle a pour projections ae et a'e'; qu’on déterminera le point e où elle perce le plan horizontal , et que ce point appartiendra à la trace horizontale du plan demandé.
Autre solution. Le problème se résout d’une manière plus générale en menant dans le plan donné une droite quelconque , et par le point donné une parallèle à cette droite. Cette parallèle devra être tout entière dans le plan cherché : par suite les intersection» de cette parallèle avec les plans de projection feront connaître un point de chacune des traces du plan cherché ; et comme les traces de ce plan doivent être parallèles à celles du plan donné, elles seront faciles à constmire. Il y aura une vérification , i-ésultant de ce que les deux traces doivent j’encontrer la ligne de terre au même point.
Soient encore a, ci (fig. VIII-2) les projections du point donné, et ^b, les traces du plan. Je prends à volonté sur ces traces les points m et ri, et j’abaisse les perpendiculaires mni, n'n, sur xy. Le point ni est la projection verticale du point r?i ; le point n est la pro-
50 PBEMIÈRE PARTIE,
jection horizontale du point et par suite les droites mn , ninl sont les projections d’une droite située dans le plan b^. Pour avoir les projections d’une droite parallèle à cette ligne et passant au point donné , je mène ap et t/fJ respectivement parallèles à mn et à nhi'. Alors je cherche les traces p et tj de cette parallèle , puis je mène les droites />y respectivement parallèles
à et p/y. Ces droites sont les traces du plan cherché , et elles doivent aller couper la ligne de terre au même point Y-
' 26. Problème IX. Faire passer un plan par trois points donnés.
Cet énoncé signifie que l’on connaît les projections de trois points , et qu’on veut trouver les traces du plan qui passe par ces points. A cet effet, on mène des droites par les points donnés , pris deux à deux , on détermine les points où elles rencontrent les plans de projection , et on a ainsi trois points de chaque trace du plan. Si les constiTictions sont faites avec précision , les trois points de chaque trace seront en ligne droite, et de plus les deux traces couperont la ligne de terre au même point.
Dans la fig. IX , les projections du triangle formé avec les trois points donnés sont représentées par abc et dUd’, le côté \ab , a'ô'] rencontre les plans de projection en h et r; le côté [oc, dd~\ en fi et d ) et le côté [ôc, üd~\ en fi' et d' . En consé(|uence , la trace horizontale du plan cherché passe aux points h, fi, fi'", la trace verticale aux points c, d, d'-, et ces deux traces doivent couper la ligne ty au même point t.
Remarque. Dans des cas particuliers , il peut se faire
LA. LIGNE DROITE ET LE PLAN. 5i
que la droite qui unit deux des points donnës soit parallèle à l’un des plans de projection , au plan vertical , par exemple. Alors le point où elle perce ce plan doit être considéré comme situé à l’infini, et il ne peut plus servir dans la construction. Mais aussi faut-il alors remarquer que la trace verticale du plan cherché doit être parallèle à la droite dont il s’agit, ou , ce qui est la même chose , à sa projection verticale.
27. Problème X. Par un point et par une droite donnes faire passer un plan.
Par le point donné , menez une parallèle à la droite donnée, elle sera comprise dans le plan cherché. C’est pourquoi l’on déterminera les traces de ces deux lignes : on mènera une droite par les deux traces horizontales , une autre par les deux traces verticales ; et alors on connaîtra les traces du plan cherché , lesquelles doivent croiser la ligne de terre au même point.
Dans la fig. X, les projections du point donné sont» ’ et cf celles de la droite donnée sont bc et Ué, et celles de la parallèle à cette droite sont «</, dd . Ces deux lignes ont pour traces horizontales les points c et e, pour traces verticales les points U et d'; et par suite les droits ce et Ud! sont les traces du plan cherché.
Remarque. Au lieu d’une parallèle à la ligne donnée, on pourrait employer une droite passant par un point quelconque de cette ligne et par le point donné. Il faut alors se procurer les projections d’un point appartenant à la ligne [bc, IJd] ; et pour cela , il suffit de prendre sur bc et Ud deux points qui soient placés sur une même pei”- • pendiculaire à xj (1 S, 4"). On joint ces deux points res-
f)2 .. . PLUMtiîHE PARTIE,
pcctlvement avec a et d, et du reste la construction s’achève comme plus haut.
28. Problème XI. Par une droite donnée faire passer un plan parallèle à une droite donnée.
Ou prendra (fig. XI) un point quelconque sur
la première droite [rtè , dlT\ , et par ce point on mènera une parallèle à la seconde {cd , édT\. Le plan demandé doit contenir cette parallèle et la première droite , de sorte qu’il suffît de déterminer les traces de ces deux lignes pour connaître deux points de chacune des traces du plan. La construction est facile à suivre sur la figure, et il est inutile de la développer davantage.
29. Problème XII. Par un point donné mener un plan parallèle à deu.v droites données.
Par le point donné on mène des parallèles aux deux droites données ; on détermine les intersections de ces parallèles avec les plans de projection, et on a ainsi deux points de chaque trace du plan demandé (voy. la fig. XII).
30. Problème XIII. Trouver une droite qui piuse par un point donné, et qui rencontre deux droites données.
, Première solutionifi^. XlII-i). Constmisez les traces d’un premier plan , passant par le point et par l’une des droites (27); construisez aussi les traces d’un second plan passant par le même point et par l’autre droite : la ligne demandée devant être dans ces deux plans à la , fois, ne sera autre <jue leur intersection , et dès lors elle est facile à déterminer (19).
Soient n et fi les projections du point donné , et soient bc et Vd, de et (fd celles des droites. En effectuant les constructions qu’on vient d’indiquer, on trouve que les traces du premier plan sont b% et ar'; que celles du second sont et jîc'; et que l’intersection des deux plans a pour projections gf et C’est cette intersection qui est la ligne cherchée.
Trois vérifications sont à remarquer : 1® cette intersection doit passer au point donné ; 2® elle doit rencontrer la première droite donnée; 3® elle doit rencontrer aussi la seconde.
Secomle solution (fig. XIII-2). On détermine le plan di^d, qui passe par le point donné [«, oQ et par la droite donnée [de , cfd] ] on cherche , au moyen de la constniction ordinaire (20), l’intersection [.Z,./’] de ce plan avec l’autre droite donnée [bc, d(T\’, puis on joint cette intersection avec le point donné. On a ainsi la droite demandée, qui devra, en général, rencontrer la première droite.
Troisième solution (fig. XIlI-3). Prenez à volonté les deux points [m, mf] et [n, rT\ sur la ligne donnée [de,d!d^ ; imaginez deux droites passant respectivement par ces points et par le point donné [n, «*] ; puis déterminez les points [yi, y/] et [q, où elles rencontrent le plan vertical élevé suréc, lequel contient évidemment l’autre droite donnée. Cette seconde droite rencontre la droite [pq,fif/\ qui passe par les deux points ainsi déterminés, en un point et il est clair qu’en joignant
ce point au point donné [a, t/], on a une droite [af, oj/'j qui est située dans un même plan avec la première des droites données , et qui par conséquent doit la rencon-
54 PR£MIÈR£ PARTIR,
trer. Cette droite, passant au point donné çt rencontrant les deux. droites données, est la ligne demandée.
Droites et plans perpendiculaires.
31 . Problème XIV. Abaisser d’un point donné une perpendiculaire sur un plan, et déterminer ensuite le pied et la vraie grandeur de cette perpendiculaire.
Démontrons d’abord que les projections de la perpendiculaire sont perpendiculaires aux traces du plan donné. Le plan qui projette cette ligne sur le plan horizontal est perpendiculaire à la fois au plan horizontal et au plan donné {Introil. 35) : donc, réciproquement, ceux-ci sont perpendiculaires à ce plan projetant , et par conséquent leur intersection l’est aussi (Introd. 37). Or, cette intersection est la trace horizontale du plan donné ; donc cette' trace est perpendiculaire aux lignes situées dans le plan projetant; donc elle l’est à la projection horizontale de la perpendiculaire. Même raisonnement à l’égard de la projection verticale.
' Cela posé , par les projections « et du point donné (fig. XIV) , menons ab , dU respectivement perpendiculaires aux traces aw , a/n' du plan donné ; il est clair qu’on aura ainsi les projections de la perpendiculaire demandée. Par une construction connue (20), on détermine les projections b el U du pied de cette perpendiculaire , c’est-à-dire du point où elle rencontre le plan donné. Enfin , par une construction également connue (22) , on en trouve la vraie longueur de.
32. Problème XV. Par un point mener un plan et luiç droite periyendicu,laires à une droite donnée.
Cliei'chons d’abord les traces du plan perpendiculaire à la droite donnée. D’après le numéro précédent, elles doivent être perpendiculaires aux projections de cette droite ; par conséquent il suffira d’avoir un point de de l’une de ces traces pour les connaître toutes deux. Soient a, d (fig. XV) les projections d’un point donné, et ic, celles d’une droite donnée. Par le point [a, d], imaginez une horizontale parallèle à la trace horizontale du plan cherché : sa projection horizontale devant être parallèle à cette trace , sera perpendiculaire à la projection horizontale de la droite tlonnée, et dès lors cette projection est une ligne connue ad. Quanta la projection verticale de cette horizontale, ce sera une droite dd parallèle à xj-. Or, cette horizontale est tout entière dans le plan demandé ; donc on aura un point de la trace verticale de ce plan en cherchant la rencontre d de cette horizontale avec le plan vertical. Alors on mène, par ce point, la droite rnJ perpendiculaire à Ud’, puis on mène am perpendiculaire a.bc:\e plan cherché est ma///'.
11 faut encore trouver les projections de la perpendiculaire abaissée, du point donné, sur la droite donnée. A cet effet, on cherchera les projections, // et y/, de l’intersection de cette droite avec le plan ma///; puis on mènera les droites ap et d/J : ces droites seront les projections demandées.
Remarque. On aurait pu préstmter la construction du plan perpendiculaire ///a//Z d’une autre manière, comme il suit. D’un point quelconque de la ligne de terre abaissez des perpendiculaires sur les projections de la droite donnée; elles seront les traces d’un plan perpendiculaire à cette droite, et alors il ne s’agira plua
5G. PREMIÈRE PA.RTIE. '
<{ue de faire passer par le point donné un plan parallèle à un plan, problème déjà résolu (2o).
Angles des droites et des plans.
33. Problème XVI. Étant ilonnées les projections dune droite , tramer les angles qu'elle fait avec les plans de projection.
Si d’un point pris sur une oblique à un plan, on abaisse une perpendiculaire sur ce plan , et si on tire une droite du pied de l’oblique à celui de la perpendiculaire , c’est l’angle compris entre cette droite et l'oblique , qui mesure l’inclinaison de l’oblique par rapport au plan i^Introd. 18). C’est-à-dire, en d’autres termes, que l’inclinaison d’une droite à l’égard d’un plan se mesure par l’angle qu’elle fait avec sa projection sur ce plan.
Soient donc (fig. XVI) ab et dU les projections d’une droite : je vais construire d’abord l’angle de cette droite avec sa projection horizontale. A cet effet , je détermine les traces a et de la droite, puis je fais tourner le ^ plan aW autour de bU pour le rabattre sur le plan vertical. Dans ce mouvement la ligne ab ne change pas de grandeur ; et comme elle reste toujours perpendiculaire à bU , elle prendra une position telle que bm sur xy. En même temps , la droite qui joint , dans l’espace , les points a et H se place en Uni, et par suite l’angle cherché se rabat en vraie grandeur sur l’angle Umb.
On pourrait aussi obtenir cet angle dans le plan horizontal , en faisant tourner le plan abU autour de ab : aloi-s la verticale bU se placerait sur une perpendiculaire à ab ,' c6mme est nb , et l’angle cherché serait nab. , 1 ■
LA LIOXE DBOITE ET LE PLAN. 57
Quant à l’angle de la droite avec le plan vertical , on le construit d’une manière analogue. C’est ap(i sur le plan horizontal , ou qUd sur le plan vertical.
Quand les points a et sont très-cloignës , voici comment on peut en éluder l’emploi. Prenez deux points quelconques sur la droite, et soient c et </, d et </', les projections de ces points. Pour avoir l’inclinaison de la droite sur le plan horizontal, imaginez par le point [r/, une parallèle hab, et cherchez l’angle qu’elle fait avec la droite. Pour cela , il suffit de faire tourner le plan vertical qui contient cet angle autour de la verticale élevée en c , afin de l’amener à êti’e parallèle au plan vertical de projection. Alors l’angle cherché se projette, sur ce plan, suivant sa vraie grandeur drs. On trouverait de la meme manière l’angle de la droite avec le plan vertical.
34. Problème XVII. Connaissant les traces <tun plan , trouver les angles de ce plan avec chaque plan de projection , ainsi que t angle des deux traces.
Soient qp et (qr (fig. XVII) les traces d’un plan : cherchons l’angle qu’il fait avec le plan horizontal. En général , l’angle de deux plans est mesuré par celui que forment entre elles deux perpendiculaires élevées , dans chacun de ces plans, au même point de leur intersection commune {Introd. 40). En conséquence, dans le plan horizontal je mènea^» perpendiculaire à la trace pq^ et dans le plan vertical j’élève bc perpendiculaire à la ligne de terre : la droite qui joint, dans l’espace, les points a et c , est dans le plan donné , et , d’après un théorème eonnu, elle est perpendiculaire à pq {^Introd. 1 9). Ainsi,
PRXMIÈBE PABTIE.
l'angle qu’elle fait avec ab est celui qu’il s'agit de çonstruire.
Cet angle fait partie d’un triangle rectangle dont ab est la base , dont bc est la hauteur, et qu’il est facile de rabattre sur l’un des plans de projection. Pour le rabattre sur le plan vertical , on le fait tourner autour de bc : alors on prend, sur la ligne de terre, b\=ba, et l’angle cherché est cAb. Pour le rabattre sur le plan horizontal , on élèverait à ab la perpendiculaire bC égale k bc, et l’angle cherché serait Cab.
L’angle du plan donné avec le plan vertical se construit de la même manière. On mène bd perpendiculaire à la trace qr, et be perpendiculaii-e à .vj. La droite qui , dans l’espace , unit les points d et e, fait avec db l’angle demandé , et on peut rabattre cet angle soit sur le plan horizontal, et ce serait eDb, soit sur le plan vertical, et alors ce serait Edb.
Il reste encore à connaître l’angle des deux traces , et l’on y parvient au moyen d’un nouveau rabattement. J’ai dit plus haut que la droite menée , dans l’espace , entre les points a et c, est perpendiculaire à pç’, et de là il résulte que, si le plan donné pqr tourne autour de sa trace pq pour s’appliquer sur le plan horizontal , cette droite viendra se diriger suivant ad perpendiculaire à pq. D’ailleurs, la distance cq ne change pas : donc le point c ira se placer à l’intersection d, de I9 droite ad et de la circonférence décrite du centre q avec le rayon cq. Par suite , la trace qr coïncidera avec la droite qs menée par les points q et et l’angle des deux traces sera pqs. Remarquez qu’on doit avoir flc'=aC=çA.
LA. LIG^E DROITE ST LS PLAN. Stf
35. Problème XVIII. Construire Cangle de deux droites dont on cannait les projections.
Quand les deux droites ne se coupent pas, on en est averti parce que le point de rencontre de leurs projections horizontales et celui de leurs projections verticales ne sont pas sur une même perpendiculaire à la ligne de terre (13). Alors on leur mène des parallèles par un point quelconque, et c’est l’angle de ces parallèles qu’on prend pour celui des droites données.
Soient (fig. XVlII-1 ) a et </, ub et dU^ ac et dé, les projections de ce point et des deux parallèles. Déterminez les points de rencontre Z» et c de ces deux lignes avec le plan horizontal, et tirez l>c. On pourra considérer cette droite comme la hase d’un triangle dont le. sommet est projeté en a et r/ : c’est l’angle opposé à cette base qu’il faut trouver , et pour cela on construira le triangle.
A cet effet, j’abaisse ad perpendiculaire sur bc, et j’imagine qu’une droite soit menée du point d au sommet \a,d\. En vertu d’un théorème connu {Introd. 1 9), elle sera perpendiculaire à de sorte que , si le triangle
tourne sur sa base bc pour s’appliquer sur le plan horizontal , cette perpendiculaire ira se placer dans la direction de da. Il ne reste donc plus qu’à trouver la vraie longueur de cette perpendiculaire. Or , il est évident qu’elle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés sont égaux à ad et am ; par conséquent , sur xy on prendra eidd! sera cette hypoténuse. On la portera de den A, et on mènera les droites bK, cA. Alors le triangle est construit, et l’angle cherché est bhc.
Pour construire le triangle on s’est servi de sa hau-
leur : on aurait pu aussi employer les côtés. Les projections horizontales de ces côtés sont ab et ac , les projections verticales sont dV et dd", donc, pour avoir leurs vraies longueurs, on prendra mé'=ac, puis
on tirera les hypoténuses dU\ dd' . Alors on décrira deux arcs , l’un du centre h avec un rayon égal à dU', et l’autre du centre c avec un rayon égal à dd' : l’intersection de ces deux arcs détermine le sommet A, et par suite l’angle ôAc.
Cas particuliers. 1“ IjR construction générale suppose que les deux côtés de l’angle rencontrent le plan horizontal. Supposons (fig. XVIII-2) que l’un d’eux, celui dont les projections sont ac et dd, soit parallèle à ce plan. Dans ce cas la trace horizontale^ du plan qui contient l’angle est parallèle à ac. Du reste , on peut encore rabattre cet angle sur le plan horizontal au moyen de la perpendiculaire ad. Ija seule difîérence qu’il y ait avec la constniction générale, c’est que le côté horizontal doit rester parallèle à bf, et prendre une position telle que AC. Si les deux droites données étaient parallèles au plan horizontal , il est évident que leurs projections sur ce plan formeraient un angle égal à celui des droites elles-mêmes.
2® I^a construction générale suppose aussi que le sommet de l’angle est hors du plan horizontal. S’il n’en est pas ainsi, on peut mener, par un point pris sur l’un des côtés de l’angle , une parallèle à l’autre côté : l’angle que cette parallèle forme avec le premier côté est égal à l’angle cherché, et se détermine sans difficulté. Le cas dont il s’agit est développé dans la fig. XVIII-3. Les droites dont on cherche l’angle ont pour projections ab et dU, ac et dd\ la parallèle menée, à la seconde droite,
par un point de la première , est projetée en et U'’’ ; Pt l’angle de cette parallèle avec la première droite est rabattue en aAy-
56. Problème XIX. Par le point dl intersection de deu.r droites données , mener une droite qui tUvise en deux, parties égales V angle de ces droites.
Supposons (fig. XIX) que les projections de la première droite soient ab , dU, et que celles de la seconde soient ac , dd. Je construis d’abord , comme dans le problème précédent , l’angle bA.c formé pai’ ces lignes , et je mène Ay’qui divise cet angle en deux parties égales. Il est clair que si on relève le triangle bA.c pour le remettre dans sa première situation , la ligne Ay deviendra celle qui est demandée , et dont il faut déterminer les projections. Or, pendant ce mouvement, le point y où cette ligne coupe la base bc , ne change pas ; et comme il appartient au plan horizontal , il est lui-même sa projection horizontale. On obtient sa projection verticale en abaissant perpendiculaire à x^. Ia!s projections de la droite cherchée doivent donc passer , l’une au point y, l’autre au point f. D’ailleurs elles doivent passer aussi par les projections a et d du sommet de l’angle; doncenSn les projections de cette droite sont af et df.
Renuirque, Si l’on veut<[ue la droite cherchée divise l’angle des droites données en deux parties qui soient dans un rapport quelconque, il suffira de mener la ligne kf de manière qu’elle divise l’angle bkc selon le rapport donné. Du reste la construction ne change pas.
62 PBKMliRB PARTIE.
57. Problème XX. Construire t angle d’une droite et d’un plan .
Il est facile de reconnaître que si d’un point quelconque de la droite on abaisse une perpendiculaire sur le plan , l’angle de ces deux droites aura pour complément l’angle cherché. Ainsi la question est ramenée à construire l’angle de deux droites.
Soient donc(fig. XX) a.m, ani, les traces du plan, et ab, dU, les projections de la droite. Sur ces projections je prends les points a et a' de manière qu’ils soient dans une même perpendiculaire à xjr^ et par ces points je mène les perpendiculaires ac , dd, sur les traces du plan : elles seront les projections d’une perpendiculaire abaissée sur le plan par un point de la droite donnée (51). Alors je construis, comme dans le n“ 55, l’angle de cette perpendiculaire avec la droite ; et l’angle bkc , ainsi trouvé , a pour complément l’angle cherché. Donc, si on élève kh perpendiculaire à Ac, cet angle cherché sera bkh.
