TRAITÉ

Notions fondamentales.

1 . La géométrie descriptive a pour objet spécial (l’exposer les méthodes au moyen desquelles on ramène la résolution des questions (jui embrassent les trois dimensions de l’étendue, à des constructions qu’on puisse effectuer sur un plan.

Un seul exemple suffira pour montrer toute l’importance de cette partie des mathématiques. Supposons <[u’on demande le centre de la sphère circon.scrite à une pyramide triangulaire. On reconnaît facilement que les plans perpendiculaires aux milieux des arêtes se coupent au centre de cette sphère; mais comment réaliser cette construction ? comment obtenir ces plans ? et comment trouver leur intersection ?

Ici on sent la nécessité d’établir des procédés au moyen desquels on puisse représenter exactement sur

28 PHEMifeRE PARTIE,

un plan toutes les données d’un problème, et faire ensuite avec ces données, des constructions qui, sans sortir de ce plan , conduisent à des résultats sur lesquels il n’y ait plus à effectuer que des opérations simples et faciles , pour en déduire les véritables détennidations exigées par l’énoncé du problème.

2. Toutes les méthodes qui remplissent ces conditions sont du ressort de la géométrie descriptive; mais celle des projections est la plus simple de toutes et en même temps la plus fécondé : c’est elle qui sert de base à toutes les autres, et c’est elle que je me propose de développer dans ce traité. En sommaire, on peut dire qu’elle consiste à prendre deux plans fixes qui se coupent , à y rapporter tous les points de l’espace par des perpendiculaires abaissées de ces points sur les deux plans , et à faire tourner ensuite l’un de ces plans autour de son intersection avec l’autre , pour le rabattre sur celui-ci. Entrons dans les détails.

3. On appelle projection d'un point sur un plan le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan.

Ainsi, concevez que par le point P (pl. II, fig. 1 ), on mène Vp perpendiculaire au plan MN : le pied p de cette perpendiculaire est la projection du point P sur le plan MN. Le plan MN se nomme alors /;/«« de projection. Il est clair que le point p est en même temps la projection de tous les points de la droite Vp.

4. La PROJECTION d’une ligne sur un plan est la ligne formée par les projections de tous les points de celte ligne.

LA LIG«È UROltK fit LÈ PLAN. 29

Des différents points de la courbe AB (fig. 1 ), abaissez des perpendiculaires sur le plan MN : la ligne ab , formée p.ir les pieds de ces perpendiculaires , est la projection de la courbe AB. Ces perpendiculaires étant parallèles entre elles , leur ensemble forme une surface qui appartient à la classe de celles qu’on appelle cylindres ; et , pour cette raison , on la désigne souvent sous la dénomination de cylindre projetant.

• On peut considérer la projection ab comme l’intersection de ce cylindre par le plan MN, et il est évident que toutes les courbes tracées sur ce cylindre ont aussi ab pour projection .

5. Quand la courbe AB est plane, et que son plan est perpendiculaire au plan de projection (fig. 2), le cylindre projetant n’est autre chose que le plan même de la courbe ; car les perpendiculaires, qui déterminent les projections des points de cette courbe , sont toutes renfermées dans ce plan [Introd. 36). Alors la projection de la courbe se réduit .à une droite ab.

Tx>rsque la courbe est dans un plan parallèle au plan de projection , il est clair qu’elle a pour projection une courbe qui lui est parfaitement égale.

6. Lorsque la ligne .à projeter est une droite AB (fig. 3), les perpendiculaires, abaissées de ses différents points sur le plan de projection MN, sont encore dans un même plan , et par conséquent sa projection est une droite. Or, deux points déterminent une droite ; donc , pour projeter la droite AB sur le plan MN , il suffit de faire les projections a et /.» de deux de ses points , et de mener une droite par ces deux projections.

30 PUEHIÈBE PARTIE.

Remarquez aussi que, pour avoir le plan projetant de la droite AB , il suffît de mener , par un de ses points , une perpendiculaire Ka au plan MN , et de faire passer un plan par les deux droites vVB et ku.

Si la droite A£ était perpendiculaire au plan MN , sa projection se réduirait à un seul point, et ce serait celui où elle rencontre le plan MN.

7 . Un point est complètement détermine' quand on connaît ses projections sur deux plans qui se coupent. En effet , ce point doit se trouver sur les perpendiculaires menées à ces plans par les deux projections données ; et ces perpendiculaires ne peuvent se couper en plus d'un point.

Mais il y aurait erreur de croire que deux points , pris à volonté dans deux plans qui .se coupent , sont toujours les projections d’un même point de l’espace. Pour que cela soit , il faut que ces points remplissent une condition qu’on va établir.

8. Pour que deii.x points, situés respectivement dans deux plans qui se coupent, soient les projections (fun meme point de t espace , il faut, et cette condition est suffisante , que les perpendiculaires menées par ces jM)ints sur t intersection des deux plans , tombent au même point de cette intersection.

Soient (fig. 4) deux plans .xyz, xj'u, dont l’intersection est xjr. D’un point A, pris à volonté dans l’espace, abaissez sur ces plans les perpendiculaires Aa, Ar/; puis, menez par ces lignes le plan kapd qui coupe la ligne xy au point p, et les deux plans suivant les droites a/;, dp. D’après des théorèmes connus {^Introd. 35, 37), la

LA UGHS DHOITE ET LE PLAN. 31

ligne x^sera perpendiculaire au plan kapd, et par suite aux droites ap , dp , qui passent par son pied dans ce plan ; donc les perpendiculaires abaissées sur xy, par les projections a et du point A , doivent tomber au même point.

Il faut encore prouver que cette condition suffit, c’està-dire que deux points a et a' qui y satisfont sont toujours les projections d’un même point de l’espace. En effet , la ligne xf étant perpendiculaire aux droites ap , dp , doit l’être aussi au plan apd, et par suite les plans xjrz, xyu sont perpendiculaires à ce dernier , ou réciproquement le plan apd est perpendiculaire aux plans xjz^ xju. Donc , si en a et on élève des perpendiculaires à ces plans, elles seront dans le plan apd [Introd. 36); et dès lors il est évident qu elles doivent se couper en un point A , dont les projections sont a et d. s

9. Une droite est de'terrninee quand on connaît ses projections sur deux plans qui se coupent. En effet , par chaque projection, concevez un plan perpendiculaire au plan de cette projection ; vous aurez ainsi deux plans qui doivent contenir la droite (6) , et leur intersection fera connaître cette droite.

Par exemple, si al) et dU (lig. 5) sont les projections d’une droite , on imaginera suivant ah un plan perpendiculaire au plan xjrz , et suivant dll un plan perpendiculaire à xyu. L’intersection AB des deux plans ainsi déterminés est la droite qui a pour projections ah, dU.

Quand les droites ah , dtl sont perpendiculaires à xy (fig. 6), et coupent cette ligne en des points différents m et n , elles ne peuvent pas être les projections

32 MEWlfelUE PABTIÉ.

d'une même droite. Pour le prouver, il suftit de faii*e voir que le plan amp , conduit par la ligne am perpendiculairement au plan xyz, est parallèle au plan dnq, mené suivant dn perpendiculairement à xyu. En effet , de ce que les plans amp et xyz sont perpendiculaires entre eux, et de ce que mx est perpendiculaire à am^ il s'ensuit que la ligne xj est perpendiculaire au plan amp [Introd. 3S). Par une raison analogue, la ligne xj- est perpendiculaire au plan dnq-, donc les deux plans amp, dnq sont perpendiculaires à la droite xj-, et par conséquent ils sont parallèles entre eux [Introd. 28).

Mais si les deux projections ah , dU, perpendiculaires à xy, rencontrent cette ligne au même point m (fig. 7), alors le plan amd de ces droites est perpendiculaire aux deux plans xyz , xyu, à la fois; de sorte que toutes les droites situées dans ce plan ont pour projections ab et dU . Dans ce cas , pour achever de déterminer la droite, il faut donner sa projection dW sur un nouveau plan sxt qui ne passe point par la ligne xy.

10. En général , les projections dune courbe quelconque sur deu.c plans qui se coupent, déterminent cette courl>e. En effet, abc et dUd (fig. 8) étant les projections de la courbe ABC sur les plans xyz et xyu , concevez des perpendiculaires à chacun de ces plans , par les différents points de ces deux projections : elles formeront deux surfaces cylindriques flcCA, rt'c'CA, qui doivent contenir la courbe ABC , et qui par conséquent déterminent cette courbe par leur intersection.

Si les surfaces cylindriques ne se coupent pas , c’est

que les projections données n’appartiennent pas à une même ligne.

Quand la courbe ABC est plane , et que son pian est perpendiculaire à les deux cylindres projetants ne sont autre chose que ce plan lui-même , et la courbe ABC n’est plus déterminée. Cette indétermination* est analogue à celle qui a été remarquée pour la ligne droite à la fin du numéro précédent , et on y remédie de la même manière.

1 1 . ü/i plan est détermine quand on cannait ses traces sur deux plans fixes qui se coupent, c’est-à-dire les droites suimnt lesquelles il rencontre ces deux plans.

Cette proposition est déjà connue : elle l’evient à dire que deux droites qui se coupent déterminent un plan.

Pour fixer la position d’un plan , on pourrait aussi employer les projections de trois de ses points sur les deux plans fixes ; mais ses traces sont d’un usage plus commode. En général , un plan rencontre la ligne d’intersection des deux plans fixes ; et il est clair que le point de rencontre a(fig. 9) doit appartenir aux deux traces aa, da..

Si le plan est parallèle à x^(fig. 1 0), ses traces seront aussi parallèles à xy {Introd. 26). S’il est perpendiculaire à xy, elles seront perpendiculaires à xy.

S’il est parallèle à l’un des deux plans , sa trace sur l’autre plan sera parallèle à xy, et alors cette trace suffit pour le déterminer. Enfin , si le plan dont il s’agit passe par la ligne xy, ses deux traces se confondent avec cette ligne, laquelle ne suffit pas pour le déterminer : alors il faut donner sa trace hx sur un nouveau plan s.xt (fig. 11).