CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SUKFACES COURBES. l5g

suite les surfaces S et T auraient eu aussi deux génératrices parallèles SQ et TP; par conséquent l'intersection présenterait encore une branche infinie, mais cette courbe n'admettrait plus d'asymptote. En effet, les bases DLE et aÇlb ayant, dans l'hypothèse actuelle , une tangente commune en Q , les plans tangents aux cônes S et T" le long de l'arête SQ , coïncideraient complètement: donc, lorsque T" serait ramené parallèlement à lui-même dans la position primitive T, les plans tangents le long des génératrices SQ et TP , se trouveraient parallèles entre eux; et dès lors leur intersection qui doit être l'asymptote demandée, se transporterait tout entière à une distance infinie, c'est-à-dire qu'elle n'existerait plus pour nous. C'est ce qui arrive dans une parabole ordinaire, où les tangentes n'ont pas de limite finie.

PROBLÈME 3. Intersection dun cane et d'un cylindre.

516. Gomme cette question a beaucoup d'analogie avec les deux problèmes FiG. 7 \. précédents , nous nous contenterons d'en indiquer la solution , par une figure

en perspective. Soient donc SAB le cône et GDE le cylindre proposés : on mènera par le sommet S , une parallèle SR aux génératrices du cylindre ; et en conduisant par cette droite divers plans sécants, ils produiront évidemment dans les deux surfaces, des sections rectilignes bien faciles à construire, et dont les points de rencontre mutuelle appartiendront à la courbe demandée.

517. Les plans sécants limites s'obtiendront encore en menant, par le point R, deux droites RK et RL dont chacune soit à la fois tangente à l'une des bases, et sécante par rapport à l'autre; et ces pléms fourniront des points où la courbe sera touchée par les arêtes du cône, ou par celles du cylindre, selon que le plan limite RL coupera l'une ou l'autre de ces surfaces {voyez n° 299).

518. Quand les deux bases seront des courbes fermées, il n'y aura de branche infinie qu'autant qu'une des génératrices du cône se trouvera parallèle aux arêtes du cylindre; et on le reconnaîtra immédiatement, puisque alors la droite SR devra aboutir précisément sur le contour de la base ALBK. Encore, faudra-t-il que la tangente en ce point puisse couper la base du cylindre ; sans quoi, aucune branche de l'intersection ne convergerait vers la génératrice SR, comme il est facile de l'apercevoir en construisant la figure relative à ce cas particulier.

PROBLEME 4. Intersection dun cône et dune sphère concentriques.

519. Soient (S, S') le sommet et ARCDE.... la base du cône proposé; soient FiG. 75.

1 6o LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

aussi XKY et X'Z'Y' les projections de la sphère qui a son centre en (S, S'), et que nous supposons réduite ici à l'hémisphère inférieur, afin de laisser voir la courbe d'intersection sur le plan horizontal. Nous emploierons, pour couper ces deux surfaces, des plans verticaux menés par le sommet (S, S'); celui de ces plans sécants qui a pour trace la droite quelconque SM, rencontre la base du cône au point M, et par conséquent il coupe cette surface suivant l'arête (SM, S' M'), tandis que dans la sphère il donne pour section un grand cercle. Si donc nous rabattons ce plan SM sur le méridien principal SY, le jyrand cercle coïncidera avec X'Z'Y', et la génératrice deviendra (SP, S'P'); alors ces deux lignes se coupant au point (Q, Q'), il suffira de ramener celui-ci, au moyen d'un arc de cercle horizontal, sur la génératrice primitive en (m, m'), et ce sera là un point de la courbe d'intersection du cône avec la sphère.

520. Il sera bon d'appliquer en même temps, la construction précédente aux deux plans méridiens SM et SN qui rencontrent la base du cône en deux points M et N situés à égales distances de S; parce que l'on obtiendra, au moyen du même parallèle RQ' de la sphère, un second point (n,n') situé sur la génératrice (SN, S'N'), laquelle viendrait évidemment se rabattre aussi sur S'P'. En outre, on devra spécialement construire, par le même procédé, les points de la courbe d'intersection qui seront situés sur les arêtes