CHAPITRE III. — INTERSECTIOISS DE DEUX SURFACES COURBES

(TR, T'R'), vienne coïncider avec le sommet (S, S'); puis, on constniira la trace horizontale de ce cône ainsi transporté, que nous appellerons le cône T". Pour obtenir cette nouvelle base qui sera une courbe semblable àAVB, il faudrait, en général, mener du point (S, S') divei'ses droites parallèles aux arêtes du cône primitif T, et chercher leurs traces horizontales : mais lorsque le cône T aura pour base un cercle , comme dans l'exemple actuel , il suffira évidemment de mener la droite {S'a\ Sa) parallèle à (T'A', TA), et la droite (S'6', S6) parallèle à (T'B', TB), puis de décrire un cercle sur la distance «/> comme diamètre. D'ailleui-s ce cercle, ou généralement la trace du cône T", devra être tangent aux deux plans limites RL et RK ; car ceux-ci touchaient le cône T, et comme ils passent par la droite (TR, T'R') le long de laquelle a glissé le sommet du cône mobile , ils continueront d'être tangents à cette surface transportée en T".

511. Gela posé, si la nouvelle base aQb n'a aucun point de commun avec la base DLE du cône immobile S, les deux cônes S et T" n'ont aucune génératrice de commune, et par suite les cônes S et T n'avaient point d'arêtes parallèles; car deux arêtes qui rempliraient cette condition, devraient évidemment coïncider, lorsque le sommet Test venu en S. Donc, dans ce cas, Im^ tersection des deux cônes n'admettrait aucune branche infinie.

512. Si, comme dans l'épure actuelle, la base aQb coupe quelque part, en Q par exemple, la base DLE du cône immobile S, les deux cônes S et T ' auront une génératrice commune SQ; puis, lorsqu'on ramènera T" en T, cette génératrice deviendra l'arête TP parallèle à SQ; ainsi ce seront là deux génératrices respectivement parallèles sur les cônes primitifs T et S, et leurs pieds P et Q devront évidemment se trouver sur une droite aboutissant en R, laquelle sera la trace du plan qui renferme ces deux arêtes. Alors , à mesure que les plans sécants se rapprocheront de RQP, deux des ai'êtes qu'ils fourniront seront plus près d'être parallèles, leur point de section sera plus éloij'né, et enfin il se trouvera à une distance infinie , quand on arrivera aux deux génératrices TP et SQ; de'sorte qu'il existera une branche infinie 6ju.V qui convergera vers l'une ou l'autre de ces génératrices. Une conséquence analogue aura lieu pour la branche gU , dont le prolongement indéfini est indiqué par les deux génératrices parallèles Sç et Tp, auxquelles conduit le second point de section q du cercle aQb avec l'ellipse DLE ; et d'ailleurs , les deux mêmes couples de génératrices parallèles, fourniraient aussi les points infiniment éloignés de la branche d'intersection produite par les deux nappes supérieures, mais que nous n'avons pas voulu rcpréseiifer dans notre épure.

l58 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

FiG. 7.3. 315. Des asymptotes. Lorsqu'une branche infinie êjuiV résulte, comme ici, d'un point de section véritable entre les bases DLE et «Q6, cette branche admet une asymptote. En effet, cette asymptote étant la tangente de la courbe pour le point infiniment éloigné vers lequel tendent les deux génératrices parallèles TP et SQ, elle sera fournie par l'intersection des plans tangents aux deux cônes, le long de ces génératrices; or, comme ceux-ci ont pour traces les droites PÔ et Qd tangentes aux bases, et non parallèles entre elles, le point Q où se couperont ces traces, appartiendra à l'asymptote demandée, laquelle sera la droite 5w menée parallèlement à SQ; car ces deux plans tangents étant parallèles à SQ , ils ne peuvent se couper que suivant une ligne parallèle à cette génératrice. ,

L'autre asymptote |« s'obtiendra d'une manière semblable , et à cause de la symétrie des données actuelles de part et d'autre du plan vertical RST, elle devra couper la première sur la droite RT; d'ailleurs, ces deux asymptotes seraient en même temps la limite des tangentes à la branche d'intersection des deux nappes supérieures.

514'. B^n projetant le point ^ ou ^ sur la ligne de terre, et menant une parallèle à la génératrice S'Q', on aurait l'asymptote commune aux deux branches p.'V et l'a' de l'hyperbole qui reçoit la projection verticale de l'intersection; mais les considérations précédentes ne fournissent pas la seconde asymptote de cette hyperbole. La raison de cette différence est facile à apercevoir : car les branches ^l' e' et X'c/', quoique indéfinies en elles-t-mêmes, ne reçoivent plus aucun point de l'intersection au-delà de s' et de d' ; ainsi elles sont vraiment limitées, en tant qu'on les considère comme appartenant aux deux cônes à la fois , et par suite elles n admettent pas d'asymptotes sous ce point de vue qui est celui du problème actuel. Au lieu que, des deux branches p.'\' et >/(?', la première est vraiment indéfinie sous tous les rapports (n°512); et quoique la seconde paraisse se terminer au point d*', quand on la regarde comme le lieu des points communs aux deux surfaces coniques, néanmoins, après un intervalle imaginaire sous ce rapport, cette branche redevient réelle à partir du point de rencontre des génératrices A'T' et E'S'; car elle reçoit alors la projection de lintersection des deux nappes supérieures (n° 508), qui est aussi une courbe indéfinie. Ainsi, par ce motif, la méthode des intersections devait fournir l'asymptote de cette branche d'hyperbole. FiG. 7.3. 3-15. Branche infinie sans asymptote. S'il fût arrivé, après la construction du n 510, que la base aQb du cône T" eût touché la base DLE en un point tel qneQ, alors l'arête SQ aurait été commune aux deux cônes S et T", et par