CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. l6l

nappe inférieure, et qu ayant son sommet projeté au dedans de la base, elle n admet pas ici de plan tangent qui soit vertical (n° 505).

521. Il est intéressant de déterminer la position précise du point (j\ où la FiG. 75, projection verticale de l'intersection présente un nœud. A cet effet, nous observerons que ce nœud doit provenir de deux points ig-, g') et (y, g') qui seront, 1° placés sur deux arêtes SG, SV, confondues en projection verticale,

et dont par conséquent les pieds répondront à une corde GY perpendiculaire à la ligne de terre; 2° situés sur un même parallèle de la sphère, et dèslors il arrivera, comme précédemment pour les points m' et n', que les pieds des génératrices rempliront la condition SG = SV, de sorte que la corde inconnue GV devra avoir son milieu I placé sur S Y. Or la droite AE étant évidemment le diamètre conjugué de toutes les cordes parallèles à EE', il s'ensuit qu'elle contient aussi le milieu I de la corde GV ; par conséquent cette dernière sera déterminée par la rencontre de AE avec SY, et en appliquant alors aux génératrices SG, SV, le procédé général du n" 519, on trouvera les deux points qui se projettent en g' sur le plan vertical.

522. De la tangente. Pour obtenir cette ligne relativement au point quel- <;onque (m , m') , il faut chercher l'intersection des deux plans qui touchent la sphère et le cône en ce point. Or, d'après ce que nous avons dit (n° 155) pour une surface de révolution, il suffira évidemment de mener en Q' la tangente Q'T' au méridien principal de la sphère, puis de rapporter la distance D'T' en ST, sur le méridien SM, et enfin de tirer perpendiculairement à ce dernier plan la droite T5, qui sera la trace horizontale du plan tangent de la sphère pour le point (m, m'). Quant au plan tangent du cône, il touchera cette surface tout le long de la génératrice (SM, S'M'), et par suite il aura pour trace la droite Md qui touche la base au point M. Donc le point 6 où se coupent ces deux traces appartient à la tangente demandée, laquelle est par conséquent projetée sur Qm et sur 6 'm'.

525. On peut aussi construire le point le plus haut ou le plus bas de la courbe , c'est-à-dire plus généralement les points où la tangente sera horizontale. En effet, puisqu'une pareille droite se trouvera contenue à la fois dans les deux plans tangents aux surfaces proposées, il faudra évidemment que ceux-ci aient leurs traces horizontales parallèles l'une à l'autre. Or, en supposant que le point cherché soit sur la génératrice (SC, S'C'), le plan tangent du cône aurait pour trace la tangente au point C de la base, et le plan tangent de la sphère aurait sa trace horizontale perpendiculaire au méridien SGK ; ainsi , pour que ces deux traces soient parallèles, il faudra que SG se trouve

l62 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

normale à la courbe ABDE. Donc, en menant du point S dans le plan horizontal, une normale SC à la base du cône, et construisant par le procédé général du n" 319, la rencontre de la génératrice (SG, S' G') avec la sphère, on obtiendra le point (c, c') où la tangente de l'intersection se trouvera horizontale. Ge point est ici le plus bas, et l'on aurait le point le plus haut en menant une seconde normale qui aboutirait vers le point L de la base : mais nous n'avons pas exprimé cette dernière construction sur notre épure, parce qu'il en serait résulté de la confusion avec quelques autres lignes essentielles à manifester.

D'après les données actuelles, on ne peut mener du point S que deux normales à l'ellipse ABDE; mais, pour une autre position de S, le nombre de ces normales pourra s'élever jusqu'à quatre, ainsi que nous allons le prouver; et alors la courbe d'intersection présentera, avec des inflexions, quatre points où sa tangente sera horizontale.

FiG. 76. 324. Mener une normale à une courbe plane ABDE, par un point S donné dans son plan. Ce problème, dont la solution serait utile dans la question précédente, ne peut être résolu par une marche directe qu'en traçant d'abord la développée a^âs de la courbe primitive, laquelle développée s'obtient (n" 197) par les rencontres successives des normales menées en des points très- voisins sur la courbe ABDE; ensuite, il reste à tirer du point S une ou plusieurs tangentes à cette développée, opération qui s'exécute avec toute la précision désirable, en dirigeant une règle de manière qu'elle passe par le point S et qu'elle s'appuie sur la courbe a§âs. La seule incertitude qui pourrait rester ici , porterait sur la position précise du point de contact de cette tangente avec la développée ; mais cette position est tout à fait indifférente dans la question actuelle, tandis que le point G, où aboutira la normale sur la développante ABDE , sera clairement déterminé.

Si la courbe primitive ABDE est une ellipse , comme dans l'épure précédente, on sait (n° 200) que la développée aêc^s présentera quatre branches qui se réuniront par des points de rebroussement situés sur les axes ; et alors , quand le point donné S se trouvera au dehors de la développée, on ne pourra évidemment tirer à cette courbe que deux tangentes SG et SL, lesquelles seront les normales demandées pour la courbe primitive ABDE. Mais, si le point donné S' se trouve en dedans de la développée, on pourra mener à cette courbe quatre tangentes, savoir S' G et S' G'" qui toucheront, comme tout à l'heure, les branches c?e et êa; puis en outre, deux autres tangentes S' G' et