CHAPITRE III. — INTERSECTIONS DE DEUX SURFACES COURBES. l

S'C qui toucheront la même branche et?, entre laquelle et les deux axes, se trouve compris le point donné S'. Par-là nous avons suffisamment justifié l'assertion émise à la fin du n° 523, sur le nombre des normales que l'on pouvait mener à la base elliptique du cône, par le point S.

525. Méthode par une courbe d erreur. Pour résoudre le problème de la Fig. 77. normale menée d'un point S à une courbe plane AA'A'^A'" , on donne quelquefois une méthode qui, malgré le défaut grave quelle présente, mérite cependant d'être connue. Par un point arbitraire A de la courbe proposée, menons-lui une tangente AT , et abaissons sur cette dernière la perpendiculaire ST. Si le point A était vraiment celui où doit aboutir la normale partant

de S, il est évident que le pied T de la perpendiculaire abaissée sur la tangente, devrait coïncider avec A, c'est-à-dire se trouver sur la courbe donnée AA'A".... : la supposition précédente est donc erronée ; mais eu menant diverses tangentes A'T', A"T",.... et abaissant dessus les perpendiculaires SP, ST",...., les pieds T, T', T",.--- formeront une courbe d erreur ou courbe auxiliaire TT'T".... qui, par sa rencontre avec AA'A"..., fournira le point cherché N; et alors la normale demandée sera SN.

526, Malheureusement, il arrive que la courbe auxiliaire TT'T".... , loin de couper AA'A".... sous un angle bien prononcé, ce qui serait nécessaire pour accuser nettement la position du point N, se trouvera toujours tangente à la courbe primitive. Par conséquent cette marche laissera autant d'incertitude sur la position de N que si, après avoir mené les normales aux deux points voisins A et A', et avoir reconnu que l'une passait au-dessus de S et l'autre au-dessous, on se fût contenté d'estimer, à vue d'œil, la situation de N entre les points A et A'. Il faut donc avoir soin , dans tous les problèmes où l'on emploira une courbe d'erreur, d'éviter l'inconvénient que nous venons de signaler, et qui aurait encore été plus sensible, si le point S eût été placé en dedans de la ligne AA'A"....; parce qu'alors la courbe d'erreur aurait tourné sa concavité vers AA'A"...., et qu'elle eût ainsi laissé plus d'incertitude sur le lieu du contact véritable.

Quoi qu'il en soit, observons que quand la ligne donnée AA'A".... sera fermée, la courbe d'erreur TT'T".... sera pareillement fermée; et que si le point S est placé au dehors de la courbe primitive, la courbe d'erreur passera deux fois par ce point S , en y offrant un nœud suivant la forme

r64 LIVRE IV. — INTERSECTIOISS DE SURFACES.

D'ailleurs elle touchera une seconde fois en n la ligne donnée AA'A",..., ce qui fournira une seconde normale Sn , dont la direction ne coïncidera pas en général avec celle de la première normale SN , quoique cela arrive ici à cause de la forme circulaire que nous avons adoptée pour la ligne pri- ' mitive.

FiG. 77. 527. Mener une tangente à une courbe plane BB'B"... par un point S donné dans son plan. Quoiqu'il suffise , pour obtenir la direction de cette tanpente SM avec toute l'exactitude que comportent les opérations graphiques, de diriger une règle de manière qu'elle passe par le point S et qu'elle s'appuie sur la courbe BB'B"..., néanmoins il reste quelque incertitude sur la position du point de contact M ; et si l'on a besoin de connaître celui-ci avec précision , on pourra le déterminer au moyen d'une courbe d'erreur, en admettant toutefois que Ton sait mener les tangentes à ligne BB'B".., par des points donnés sur cette courbe.

On construira les normales BT, B^T', B"T",... pour divers points pris sur la ligne donnée, et l'on abaissera sur ces normales, les perpendiculaires ST , ST', ST",... Alors on sent bien que si B", par exemple, était le point de contact de la tangente partie de S, il devrait arriver que le pied T" de la perpendiculaire abaissée sur la normale en B", coïncidât avec le point B", c'est-à-dire que T" devrait se trouver sur la courbe donnée; et puisqu'il n'en est pas ainsi, la supposition précédente est erronée : mais il en résulte que la courbe d'erreur TT'T"... devra passer par le point de contact que l'on cherche, et par conséquent ce point M sera fourni par l'intersection de la ligne TT'T"... avec BB'B"... Ici ces deux courbes se coupent véritablement, et la méthode n'est pas sujette à l'inconvénient signalé au n° 526; d'ailleurs, comme la courbe d'erreur rencontre une seconde fois en m, la ligne donnée BB'B"..., il y a une seconde tangente Sm que l'on peut mener du point S. Fir ^A ^2^- ^lit^^ solution. Voici une nouvelle méthode qui aura l'avantage de ne bis. pas exiger que l'on sache construire les normales, ou les tangentes de la courbe proposée , pour des points assignés sur cette ligne. Soit XMY la courbe à laquelle il s'agit de mener une tangente par le point S : je tire de ce point une sécante quelconque SBA sur laquelle j'élève deux perpendiculaires Aa et Bê, égales chacune à la corde interceptée AB , et partant des deux extrémités de cette corde , mais dirigées l'une en dessus et l'autre en dessous de la sécante ; je répète cette opération pour d'autres sécantes SB' A', SB" A",..., et la courbe a'aêê" déterminée par les extrémités de toutes ces perpendiculaires, devra