CHAPITRE I. — PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR. l

On aurait pu trouver directement les points M et N, en projetant H' en H , et menant par ce dernier point des parallèles HM et HN aux cordes DP et DQ; car, dans deux ellipses semblables, telles que G' H' et A"D", les rayons vecteurs OM et OP sont proportionnels aux demi-axes OH et OD.

371. Pour toute section horizontale autre que G' H', on opérera d'une manière analogue; mais s'il arrivait que le sommet T' du cône auxiliaire fût à une distance incommode, on pourrait adopter pour base de ce cône, la section R'L' faite par le plan horizontal mené du point (V, V); et alors il suffirait de concevoir par ce dernier point , des tangentes à cette elhpse K'I/. Or ces droites, ainsi que leurs points de contact, sont très-faciles à déterminer par une construction directe , sans décrire la courbe , et d'après la seule connaissance des axes, qui sont ici proportionnels avec AD et BE, et dont l'un est K'L'. Cette construction se trouvera expliquée tout à l'heure, dans un cas analogue (n° 374).

372. Points sur les contours apparents. On les déterminera comme dans le problème précédent (n° 362) , en menant les tangentes V'X' et VY' au contour apparent de l'ellipsoïde sur le plan vertical , et projetant les points de contact X' et Y' en X et Y, sm* AD. De même, les tangentes V.t et Vj au contour apparent sur le plan horizontal, fourniront deux points x et j qu'il faudra projeter en x' et y' sur A'D'. D'ailleurs , ces deux systèmes de points indiqueront les extrémités des arcs visibles sur les deux plans de projection.

373. Les points limites , c'est-à-dire ceux où la tangente de la courbe sera horizontale, se trouveront nécessairement situés dans le plan vertical VO. FiG. 85, En effet , il résulte évidemment de la construction générale qui a donné

les points P et Q , ou M et N , que les points de la courbe de contact sont deux à deux sur des cordes horizontales (MN, M'N'), constamment parallèles au diamètre conjugué avec OR dans l'ellipse ABDE; et par suite, chacune de ces cordes est divisée en deux parties égales par le plan vertical VOR. Donc, lorsqu'un de ces points correspondants se trouvpra dans le plan VOR, l'autre y sera pareillement; et la corde qui les réunissait sera devenue tangente à la courbe, sans avoir cessé d'être horizontale.

374. Maintenant, pour construire ces points dont la hauteur sera maximum ou minimum, il suffira évidemment de mener par le point (V, V), deux tangentes à la section produite dans l'ellipsoïde, par le plan vertical VOR. Or cette section est une ellipse dont les demi-axes sont O'C et Oa; et si nous la rabattons sur le plan vertical, ainsi que le point (V, V) qui se transportera en V", il s'agira de mener par ce dernier deux tangentes à une

,88 LIVRE V. - PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'EST PAS DONNÉ, ellipse dont les demi-axes deviendront O'C et O'a', problème q«i peut se résoudre sans tracer k courbe. En effet, après avoir construit les foyers f et ; de eette ellipse, je déeris un arc de cercle avec le rayon Y',, et un second L de cercle du point ^ comme centre, avec un rayon égal au grand axe de l'ellipse- alors, ces deux circonférences se coupant anxpomts ê et 7, on sait ) 1 la d'roite V"<? menée par le milieu de l'arc ,g, est la taugente demandée et aue son point de contact e' est fourni par sa rencontre avec la droite +e. Par conséquent il n'y auraplus cju'à ramener le point(.', e) dansle pian verticll VO, au moyen d'un are de cercle horizontal, et l'on obtiendra ainsi le Doint fX, X'1 le plus bas de la courbe de contact. .

' De même, la' seconde tangente à l'ellipse précédente, sera la droite V . passant par le milieu de l'arc r/i «' ^» rencontre avec 4,7, détermmera son Tolnt de contact (^, .), lequel ramené dans le plan vertical VO, deviendra le point (tt,u.') le plus haut de la courbe en question.

575 On pourrait encore construire, d'une manière analogue, les deux points de cette courbe qui seraient placés dans le plan VO', perpendiculaire au plan vertical; car la section produite dans l'ellipsoïde par ce plan sccant VO' serait une ellipse dont les axes sont faciles à trouver r mais, pour ne pas rendre l'épure difficile à lire, nous laisserons au lecteur le soin de s exercer à cette construction, qui est entièrement semblable à la précédente.

576 Nous ferons observer, en terminant, que la méthode employée ici pour un ellipsoïde, est également applicable à «n hyperboloïde, ou même a un paraboloïde, avec les modifications légères qu'amènerait tout natureUement la nature des sections planes qui seraient faites dans ces surfaces.