CHAPITRE I. — PLANS TANGENTS PAR UN POINT EXTÉRIEUR. l

cercle (n"553, note) dont le plan se trouvera perpendiculaire à la droite (Vw, VO); et comme dans les points où ce petit cercle rencontrera le parallèle E'F', les plans tangents de la sphère seront communs à la surface S, il s'ensuit que ces points appartiendront à la courbe cherchée X'M'Y'. Or, si nous faisons tourner simultanément la sphère et son cône circonscrit , autour de la verticale O, jusqu'à ce que l'axe (V'w, VO) de celui-ci soit devenu parallèle au plan vertical , le sommet (V, V ) se transportera en V" ; et en menant les tangentes V"y, Y"â, le cercle de contact sur la sphère se trouvera alors projeté suivant la corde yâ. Dans cette situation, ce cercle de contact coupe le parallèle E'F' en deux points placés aux extrémités de la corde projetée verticalement sur le point s'; or, comme la distance de cette corde à l'axe de révolution, ne changera pas quand nous ramènerons la sphère et le cône circonscrit dans leurs positions primitives , il est clair qu'en reportant par un arc de cercle, le point £' sur le méridien primitif VO en £ , et en tirant par ce dernier point une corde perpendiculaire à VO , les intersections de cette corde avec le parallèle EMF , fourniront les points demandés M et N, qu'il faudra ensuite projeter en M' et N' sur E'F'.

PROBLÈME 2. Par un point donné, mener à une surface de révolution un plan tangent qui la touche sur un parallèle donné.

367. Il ne sera pas nécessaire ici, comme nous l'avions annoncé généralement au n° 551 , de construire la courbe de contact de la surface avec un cône circonscrit; il suffira évidemment d'appliquer au parallèle assigné par la question, la méthode du n° 357 ou celle du n° 366, et Ion obtiendra directement les points de contact des plans tangents demandés. Dès-lors ces plans seront faciles à construire (n° 132).

PROBLÈME 3. Par un point donné, mener à une surface de révolution un plan tangent qui la touche sur un méridien donné.

368. Ce problème se résoudra encore directement, en appliquant au méridien assigné par la question, la méthode expliquée au n° 360. On connaîtra ainsi les points de contact des plans tangents que l'on cherche , et ces plans seront alors faciles à déterminer (n** 152).

PROBLÈME 4. Trouver la courbe de contact d'une surface quelconque du second degré, avec un cône circonscrit dont le sommet est donné.

l86 LIVRE V. —PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

FiG. 85. 369. Prenons pour exemple un ellipsoïde à trois axes inégaux, et choisissons nos plans de projection parallèles à deux des trois plans principaux de ce corps. Alors, les contours apparents de la surface seront les deux ellipses ( ABDE , A' D' ) et ( A'C D' F', AD) , qui auront chacune deux axes communs avec l'ellipsoïde; et en désignant par (V, V) le sommet du cône circonscrit , nous chercherons à déterminer les points de la courbe de contact, qui se trouvent placés sur une section horizontale quelconque G'H'. Cette section est une ellipse semblable à ABDE, et dont (G' H', GH) est un des diamètres principaux; alors, si nous la regardons comme la base d'un cône auxiliaire qui aurait son sommet au point T' où l'axe vertical de la surface est rencontré par la tangente G'T', ce cône T'G'H' sera circonscrit à l'ellipsoïde. En effet , toutes les sections faites dans la surface par des plans menés suivant la verticale (O, O'T'), seraient des ellipses qui auraient un axe commun (O, G' F'); d'ailleurs, pour tous les points de ces ellipses placés sur G' H', l'abscisse G' V étant la même , la soutangente serait aussi constamment égale à FT'; par conséquent les tangentes à ces ellipses verticales aboutiraient toutes au point T', et formeraient bien le cône circonscrit T'G'H'. Gela posé , si nous menons à ce cône auxiliaire un plan tangent partant de (V, V), l'arête de contact rencontrera la base G' H' en un point qui appartiendra à la courbe demandée; car, en ce point, le plan tangent du cône auxiliaire touchera Tellipsoïde et passera d'ailleurs parle point (V, V), ce qui est le caractère distinctif (n° 548) de la courbe de contact de la surface avec le cône circonscrit dont le sommet serait en (V, V).

370. Maintenant, pour mener du point (V, V) un plan tangent au cône T'G'H', et afin de n'avoir à opérer que sur l'ellipse principale ABDE, donnée immédiate de la question, je prolonge ce cône jusqu'au plan horizontal A" D" qui a été choisi de manière à couper cette surface suivant une ellipse égale à la précédente; puis, en adoptant cette section (A"D", ABDE) pour base du cône , et joignant le sommet avec le point ( V, V ) , je cherche la rencontre de cette droite (Y'T'R', VOR) avec le plan A"D"'; et enfin, du point R je mène deux tangentes RP, RQ, à l'ellipse ABDE. Les points de contact de ces tangentes étant fixés avec précision (au moyen des cordes supplémentaires), je tire les rayons OP, OQ, qui seront les projections horizontales des arêtes de contact , et j'en conclus aisément leurs projections verticales T'P', T'Q'. Enfin, ces dernières coupant l'ellipse G' H' aux points M' et N', je les projette en M et N , et j'obtiens ainsi les deux points dé la courbe demandée, qui sont placés sur la section horizontale G' H' de rellipsoïde.