CHAPITRE II. —PLANS TANGENTS PARALLÈLES A UNE DROITE

dans l'intérieur de S) : si par la ligne VO nous conduisons divers plans sécants, ils couperont la surface S suivant des courbes ABD, AB'D, AB"D,... qui pourront toujours être construites par les méthodes générales du livre IV; et en menant à ces sections des tangentes BU, B'U% B"U",.... parallèles à VO, elles formeront un cylindre qui sera circonscrite. S, c'est-à-dire qui touchera cette surface tout le long de la courbe BB'B"E. En effet, le plan tangent de S relatif au point quelconque B", renfermera évidemment l'arête B"U" du cylindre, ainsi que la tangente B"t à la courbe BB'B"... qui lui sert de base; donc ce plan sera aussi tangent au cylindre, et dès lors cette dernière surface aura un véritable contact avec S au point B", comme aussi tout le long de la ligne BB'B'E.

578. Gela posé, pour mener à la surface S un plan tangent qui soit parallèle à une droite donnée VO, il suffira de chercher la courbe de contact BB'G de cette surface avec un cylindre circonscrit parallèle à VO,puis de construire le plan tangent de S pour un quelconque des points de cette ligne de contact; car ce plan touchera nécessairement le cylindre circonscrit, et par suite il renfermera une de ses arêtes qui sont toutes parallèles à VO ; donc lui-même sera parallèle à cette droite.

Réciproquement , tout plan parallèle à VO et qui touchera la surface S en un certain point que j'appelle b , contiendra nécessairement une droite menée parallèlement à VO, par ce point b ; donc cette dernière droite sera une arête du cylindre circonscrit, et son point de contact b devra par conséquent se trouver sur la courbe BB'G, qui devient ainsi le lieu exclusif de toutes les solutions du problème proposé.

Ge problème sera donc impossible , quand le cylindre circonscrit parallèlement à la droite donnée, n'existera pas; ce q^ui arriverait, entre autres exemples, dansunparaboloïde, si la droite proposée était parallèle à l'axe de la surface; car alors les sections ABD, AB'D,... seraient des paraboles, lesquelles n'admettent pas de tangente parallèle à leur diamètre principal.

579. Il résulte de ces principes que la question générale qui nous occupe, est susceptible d'une infinité de solutions, ou bien elle n'en admet aucune. On doit seulement excepter le cas où S est une surface développable, parce qu'alors, d'après la remarque faite au n"' 549, le plan mobile qui engendre une telle surface et qui est en même temps son plan tangent, se trouvera complètement déterminé par la condition nouvelle d'être parallèle à une droite donnée, G'est ce que nous avons déjà reconnu pour les cylindres et pour les cônes, dans le chapitre lll du livre II.

190 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

580. Le problème de mener à une surface S non développable , un plan tangent parallèle à une droite donnée, redeviendrait déterminé, si l'on ajoutait la condition que ce plan dût avoir son point de contact sur une courbe connue; parce qu'alors ce point serait fourni par la rencontre de cette courbe avec la ligne de contact du cylindre circonscrit.

Quant à la construction de cette dernière ligne, qui est aussi fort utile dans la théorie des ombres y la seule méthode générale est celle que nous avons indiquée n ^11 ; mais nous donnerons bientôt des procédés plus commodes pour certains genres de surfaces qui se rencontrent fréquemment , après que nous aurons fait quelques remarques sur ces lignes de contact dans les surfaces du second degré.

581. La courbe de contact d'un cylindre circonscrit à une surface du second degré, est toujours PLANE, et située dans le plan diamétral qui se trouve conjugué avec le diamètre parallèle au cylindre.

FiG. 80. En effet, si l'on conçoit parle centre O de la surface du second degré S, une droite VO parallèle à la direction du cylindre, les diverses sections ABD, AB'D, AB'D,.... produites par des plans menés suivant VO, seront des courbes du second degré qui auront toutes un diamètre commun AOD; or, en coupant ces courbes par le plan diamétral BB'E conjugué avec AD (c'est-àdire le plan qui diviserait en deux parties égales , chacune des cordes parallèles à AD), les intersections seront des droites OB, OB', OB", qui se

trouveront nécessairement diamètres conjugués avec OA, dans chacune des courbes correspondantes. Donc, les tangentes BU, B'U', B"U",.,. que l'on mènera à ces sections par les divers points B, B', B",.... seront parallèles à OA, et formeront ainsi un cylindre circonscrit à la surface S, dont la ligne de contact BB'B" sera placée tout entière dans le plan diamétral BB'E conjugué avecOA(*).

Au reste, ce résultat important peut être regardé comme une conséquence du théorème démontré n" 555, pour la ligne de contact d'un cône VMM' N circonscrit à S; car, si le sommet V s'éloigne à l'infini sur la droite OAV, il

(* ) Dans le cas particulier où la surface proposée est une sphère, la courbe de contact du cylindre circonscrit devient un grand cercle , perpendiculaire à la direction VO des arêtes du cylindre ; résultat qui se prouve directement , en faisant tourner autour de VO , un grand cercle et sa tangente parallèle à cette droite.