CHAPITRE II. — PLANS TANGENTS PARALLÈLES A UNE DROITE. igi

est facile de voir que les divers points de contact M, M', M",...^ se transporteront en B, B', B%

582. Pour étendre le théorème précédent aux deux paraboloïdes qui sont FiG. 82. dépourvus de centre, imaginez par l'axe principal OX de la surface, un plan EOF parallèle à la direction assignée pour les génératrices du cylindre, et menez dans cette direction une tangente VBU à la parabole EOF; alors, le plan diamétral qui coupera en deux parties égales toutes les cordes parallèles à VBU , passera évidemment par le point de contact B de cette tangente, et produira dans la surface, une section parabolique BB'B"G. Gela posé, toutes les droites B'U',B"U", menées par les divers points de cette dernière parabole, parallèlement à VBU, se trouveront nécessairement tangentes à la surface ; sans quoi leurs parties intérieures, ou cordes , ne seraient plus coupées en leurs milieux par le plan BB'G qui est supposé diamétral et conjugué avec VBU. Par conséquent, toutes les droites BU, B'U', B"U",.... formeront bien le cylindre circonscrit que l'on demandait , et l'on voit que sa ligne de contact BB'B"G avec la surface, sera plane et \.ovi]o\xvs, parabolique.

Un raisonnement semblable, fondé sur la définition même du plan diamétral , aurait pu être employé dans le \\ 581.

PROBLÈME 1. Trouver la courbe de contact dune surface de révolution , avec un cylindre circonscrit et parallèle à une droite donnée.

585. Soient (O, VZ') l'axe de la surface de révolution , et (E'G' E"D', GD) Fig. 86. le méridien principal, dont la forme particulière n'aura point d'influence sur le succès de la méthode. Soit d'ailleurs (AB, A'B') la droite à laquelle doit être parallèle le cylindre circonscrit : la courbe de contact x'm'y' (*) de ce cylindre avec la surface proposée, peut se construire en cherchant successivement les points qui sont situés sur chaque parallèle, ou bien ceux qui se trouvent sur chaque méridien; d'où résultent les deux procédés suivants.

584. Méthode du parallèle. Soit (E'F', EmF) un parallèle choisi arbitrairement sur la surface de révolution S; en substituant à celle-ci le cône droit engendré par la révolution de la tangente E'Z' du méridien , il est clair que ce cône touchera la surface tout le long du parallèle E'F', et qu'ainsi tout plan

( * ) Comme le problème actuel a beaucoup d'analogie avec celui du n" 3K6 , nous emploierons ici Ae petites lettres, afin qu'on aperçoive le> parties analogues, sans cependant confondre les deux courbes qui se trouveront reproduites à la fois dans l'épure 89.

192 LIVRE V. — PLANS TANGENTS DONT LE POINT... n'eST PAS DONNÉ.

tangent mené à ce cône, parallèlement à (AB, A'B'), touchera S dans le point où l'arête de contact rencontrera le parallèle E'F'; donc ce point appartiendra à la courbe demandée, dont la propriété caractéristique (n* 578) consiste en ce que, pour chacun de ses points, le plan tangent de la surface S se trouve parallèle à (AB, A'B').

Nous sommes ainsi ramenés à conduire un plan tangent au cône Z'E'F', parallèlement à une droite donnée; mais pour ne pas être obligés de recourir au sommet Z' de ce cône, qui pourrait se trouver à une distance incommode , et afin de n'avoir à mener des tangentes que d'un même point fixe , nous modifierons le procédé général du n° 124, de la manière suivante.

Imaginons que le cône droit Z'E'F' a été transporté parallèlement à luimême, avec le plan tangent demandé, jusqu'à ce que son sommet soit venu se placer en un certain point O' de l'axe vertical (O, TZ'); dans ce mouvement, on sent bien que l'arête de contact aura conservé la même projection horizontale; et la trace horizontale du cône ainsi transporté, s'obtiendra en tirant la droite O'e' parallèle à ZŒ', et en décrivant avec un rayon O e = l'e', le cercle epf. Alors, pour mener à ce cône un plan tangent parallèle à (AB, A'B'), je tire dans cette direction , la droite (O'a', Oa) qui vient percer le plan horizontal au point (a, a') duquel devraient partir les tangentes au cercle epf; mais comme je n'ai besoin que des points de contact, je décris sur Oa comme diamètre, une circonférence qui par sa rencontre avec le cercle epf déterminera ces points p et </; et les rayons Op, O9, seront les projections horizontales des génératrices de contact des plans tangents que l'on cherchait. Maintenant , ces génératrices vont rencontrer le parallèle (EmF, E'F') base du cône primitif, aux points (m, m') et (/i, n'); par conséquent ce sont là deux points de la courbe de contact de la surface de révolution avec le cylindre circonscrit.

385. Les points de cette courbe situés sur un autre parallèle, se construiront d'une manière semblable, en transportant toujours au point O' le sommet du cône droit circonscrit le long de ce parallèle; et par-là, la circonférence décrite sur le diamètre Oa, servira pour toutes ces opérations.

Mais il sera fort avantageux de chercher immédiatement les points situés sur le parallèle E'"F'" égal à E'F', surtout si le méridien se trouve , comme dans cet exemple, symétrique au-dessus et au-dessous du plan horizontal CD'; car alors il n'y aura aucunes nouvelles constructions graphiques à exécuter. En effet, si l'on conçoit le cône Z"'E'"F"' circonscrit le long du parallèle E"'F"', il est évident que ses génératrices seront respectivement parallèles à celles du cône Z'E'F'; de sorte que, quand nous le transporterons au point O', suivant la