CHAPITRE II. — DES ÉPICYCLOÏDES

495. DÉVELOPPANTE SPHÉRIQUE. Lorsque le cône mobile acquiert FiG. loi une ouverture telle que l'angle au centre ASB {fig. 99) devient égal à 180°, ce cône se réduit à un cercle dont le rayon égale l'apothème SA du cône fixe et

donc , en substituant ici les valeurs précédentes de x et y, il viendra

(2) a:'=(RH-R'cosw)cosa — R'cos— ^-cosw cosaH- R'sin— y sina,

(3) y=:(R-hR'cosw)sina — R' cos ^^ cos » sin a — R'sin — 7 cosa.

Il resterait maintenant à éliminer l'arc a entre ces deux équations , pour obtenir celle de la courbe DMGF sur le plan horizontal ; mais cette élimination ne pouvant s'effectuer que qiiand on aura fixé numériquement le rapport des rayons R , R', et que ce rapport sera un nombre commensurable , nous garderons les deux équations (2) et (3) qui suffiront pour calculer les coordonnées a/ et y' des divers points, en attribuant à a différentes valeurs successives.

Pour passer de là à l'épicycloïde plane , il suffira de poser cos w := db 1 , selon que le cercle mobile roulera au dehors ou au dedans du cercle fixe ; et si , en nous arrêtant à ce dernier cas , nous supposons d'ailleurs que R' est le quart de R, comme dans la fig. 5 de la planche 45, les équations ( 2 ) et ( 3 ) deviendront

(4) Jc'= |-Rcosa 4- 7Rcosacos4a + TRsinasin4a,

(5) j'=7R sina + jR sina cos4a — jRcosasin4a;

puis, si l'on substitue dans ces dernières , les valeurs connues

cos 4a = I — 8 sin* a cos' a , sin 4» = 4 ^^"^ ^ cosol (cos* a — sin'a ) ,

on trouvera , en supprimant les accents qui deviennent inutiles à présent ,

j:=:Rcos^a, j=:Rsin^a. / ,

Maintenant l'élimination de a est facile; car, en ajoutant ces équations "après les avoir élevées à la puissance y, il restera pour l'épicycloïde représentée dans iàjig- 5 de la planche 4^ ,

C'est donc un cas particulier de la développée de l'ellipsç qui a pour équation

ilf-i^f-'

«t ces deux courbes appartiennent à la famille des storotdes qui sont représentées généralement par

dont le plan est tangent à ce dernier cône; dans ce cas particulier, l'épicycloide décrite alors par un point M du cercle mobile, reçoit le nom de développante sphérique, attendu que la question revient à dire simplement que l'on fait rouler sur un cône fixe S'AO un de ses plans tangents S'AV, comme dans la^î^. 9 de la planche 45, nous avions obtenu la spirale développante du cercle en faisant rouler sur cette circonférence une de ses tangentes. Fi G. 101 . 494. Gomme la courbe en question est tout entière sur la sphère du rayon S'A, il suffira de construire sa projection horizontale. A cet effet, rabattons le cercle mobile dont le centre est au sommet (S', O) , autour de la tangente AV qui lui est commune avec le cercle fixe; et sur ce rabattement S" prenons un arc Am égal à l'arc AD, si l'on adopte D pour l'origine de la développante, c'est-à-dire pour la position qu'occupait le point générateur lorsqu'il se trouvait en contact avec le cône fixe. Alors m sera le rabattement de ce point générateur quand le contact est arrivé en A, et sa position véritable (M , M') se déduira aisément de là, en relevant le cercle S" dans le plan tangent S'AV, autour de la charnière AV.

Lorsque le cercle mobile aura roulé jusqu'à toucher le cercle fixe en A5 , on imaginera que tout le système tourne simultanément, sans rouler, autour de la verticale S'O , pour amener le rayon OA5 sur la ligne de terre OA ; alors, en prenant l'arc An = DA5, le point générateur se trouvera rabattu en n, et projeté en N et N' : mais ensuite, pour reporter le cercle mobile dans sa vraie position , on décrira avec le rayon ON une circonférence sur laquelle on prendra l'arc NNg ==115. On trouvera ainsi la courbe DMNg.... pour la projection horizontale de la développante sphérique.

495. La tangente au point quelconque (M, M') devra être menée perpendiculaire sur le plan des deux normales dont nous avons parlé au n° 488, lesquelles sont les droites qui réunissent le point générateur (M, M') avec le centre (O, S') et avec le point de contact actuel A. Or ce plan normal coïncide évidemment avec le plan S'AV où est situé le cercle mobile et qui est tangent au cône fixe; donc il suffira de tirer MT perpendiculaire sur AV, et M'T' perpendiculaire sur S'A.

'■ 496. On doit apercevoir que la branche DMPGQF qui sera décrite au bout

d'une révolution entière du cercle mobile, occupera sur la base du cône, un arcDAGF égal à l'excès de la circonférence S" sur la circonférence O : mais en outre, il faut bien remarquer que cette branche se composera de xleux parties réunies par un rebroussement au point G milieu de DGF , lequel est la projection de la position la plus élevée du point générateur. Pour se rendre compte