CHAPITRE H. — DES ÉPICYCLOlDES

à répicycloïde s'obtiendra en menant MT perpendiculaire sur AR , et M'T' perpendiculaire sur AS.

■" 489. 11 importe d'observer qu'aux points de rebroussement D et F , la projection horizontale de l'épicycloide a pour tanjjentes les rayons OD et OF. En effet, la droite variable ( AM, AM') à laquelle la tangente dans l'espace est toujours perpendiculaire, étant prolongée indéfiniment, est une sécante par rapport au cercle mobile, comme on le voit par son rabattement Am. Or, ses deux points de section A et m se trouvant réunis quand le point de contact A est arrivé en D, la droite indéfinie rabattue suivant Am devient alors tangente au cercle mobile dans le point m, et par suite au cercle fixe qui, à cette époque du mouvement, touche l'autre en D; donc la tangente au point D du cercle fixe DA, se trouvera être précisément la trace horizontale du plan normal, et conséquemmeut la tangente de l'épicycloïde sera projetée horizontalement sur le rayon ODX'.

Quant à la projection verticale de cette même tangente, il suffira de projeter son pied D en D' sur la ligne de terre, et d'abaisser de ce dernier point une perpendiculaire sur la trace verticale du plan normal relatif au point D. Or cette trace s'obtiendra fort aisément , puisqu'elle passera évidemment par le point S', et par le point où la ligne de terre rencontrera la seconde normale qui est,, comme nous venons de le prouver , confondue avec la tangente de l'arc DA.

On agira d'une manière toute semblable, pour trouver les projections de la tangente à l'autre extrémité F de l'épicycloïde ; et l'on doit apercevoir que chacune de ces tangentes en D ou en F, coïncide précisément avec la tangente du grand cercle vertical de la sphère constante dont le rayon est S 'A.

i90. Pour le sommet de l'épicycloïde, qui est projeté en G, la tangente sera horizontale et perpendiculaire au plan vertical OKG; car ce plan contiendra évidemment les deux normales du n° 488 , quand le point générateur sera parvenu à l'extrémité supérieure B' du diamètre mené par le point de contact du cercle mobile. -.,.\. . .

491. Lorsque nous avons cherché (n° 487) la trace QX du plan tangent à Fig. loo. la sphère variable dont le l'ayon est (AM, AM') , nous nous sommes appuyés sur ce que ce plan devait contenir la tangente rabattue suivant Qmb. Or , quand elle sera relevée dans le plan B'AV du cercle mobile, elle ira percer le plan vertical en B'j donc B'X est la trace verticale du plan tangent à là sphère variable : en outre, cette trace doit se trouver perpendiculaire à B'A, car c'est sur cette dernière droite que se projette le rayon (AM, AM') mené au point de contact de ce plan tangent.

24o LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

492. Observons d'ailleurs que, dans les diverses positions A, A g,..,, que prend le point de contact du cercle mobile, la projection AB' de ce cercle, sur les plans verticaux correspondants OA, OAg,... aura toujours la même grandeur et la même inclinaison; de sorte que pour tous ces plans, le triangle rectangle AB'X restera invariable de grandeur, et par suite, les traces XB' des divers plans tangents aux sphères variables, iront toutes rencontrer la verticale OS' au même point Z'. De là il résulte que si l'on avait à considérer un cône dont le sommet fût enZ', et qui eût pour base l'épicycloïde sphérique, tous les plans tels que Z'XQ lui seraient tangents, puisque chacun d'eux renfermerait le sommet et une tangente de la base. En outre, tous ces plans tangents viendraient passer successivement par la droite fixe Z'X, lorsque le cône épicycloïdal , en tournant autour de OZ', amènerait en M les divers points N", G, N'",.... Cette propriété est employée dans les engrenages coniques , qui servent à faire mouvoir les roues </'an^/€ ; Voyez le n° 883 (*).

('•') Cherchons les équations qui déterminent l'épicycloïde sphérique {^g. loo), en rapportant cette courbe aux trois axes rectangulaires OX', OY', OZ', dont le premier passe par le point de rebroussement D. Si l'on pose

OS'=/i, OA = R, C'A=R', angleB'Ab = ^, on aura évidemment

(i) a:'»-f-y='-hz'— 2z/t = R^

pour l'équatiou de la sphère constante, sur laquelle est située l'épicycloïde tout entière; de sorte que cette courbe se trouvera complètement définie , en joignant à l'équation précédente celle de sa projection horizontale DMGF. Or, si nous appelons a l'angle DOA , nous en conclurons que

R. a = AD := A/w ; d'où angle Acm =: —j ; et alors nous aurons pour les coordonnées du point M rapporté d'abord aux axes OX et OY,

x = 0A-f-AH = R4- ( R' — R'cos-^ Jcosw,

, j = — MH = — R'sin^.

Mais pour revenir de ces axes , qui seraient mobiles avec le point de contact A , aux axes fixes OX' et OY', il faut employer les formules connues

x'= .rcosa — ysinoc, r'= x sina -hjycosa;