CHAPITRE m

Sur les sphères et les pyramides.

497. Trouver l'intersection de trois sphères données. Adoptons pour plan ho- Fjq ,q rizontal celui qui contient les centres A, B, G, des vSphères proposées, et décrivons les grands cercles qui sont les traces horizontales de ces surfaces. Alors

le cercle vertical projeté sur DE, sera évidemment l'intersection des deux sphères A et B , tandis que les sphères A et G se couperont suivant un autre cercle vertical FG ; par conséquent ces deux circonférences auront pour intersections, les deux points projete's horizontalement en M, et ce seront aussi là les seuls points communs aux trois sphères en question. Pour achever de fixer la position de ces points dans l'espace , projetons-les sur un plan vertical quelconque XY; en rabattant le cercle DE autour de son diamètre horizontal, et tirant l'ordonnée Mm, cette droite mesurera évidemment la hauteur de l'un des points cherchés au-dessus du plan horizontal ; donc , en prenant au-dessus et au-dessous de XY, les distances IM' et IM" égales à Mm, on obtiendra les projections (M , M') et (M, M") des deux points demandés.

498. Si l'on avait cherché l'intersection des deux sphères B et G , on aurait obtenu un cercle vertical dont la projection HR aurait dû nécessairement passer aussi par le point M; d'où l'on peut conclure ce théorème de géométrie plane : quand trois circonférences tracées dans un même plan , se coupent deux à

deux, les points de section correspondants se trouvent situés sur des cordes qui passent toutes trois par un même point du plan.

Fi G. I02. 499. Construire une pyramide triangulaire dont les six arêtes sont connues de (jrandeur. On tracera d'abord, sur le plan horizontal , une des faces ABC de la pyramide , au moyen des trois arêtes données qui se rapportent à cette face ; ensuite, on déterminera le quatrième sommet (M, M') en cherchant, comme dans le problème précédent, l'intersection de trois sphères qui auraient pour centres les points A , B , G , et pour rayons les longueurs des trois autres arêtes assignées par la question. 11 y aura évidemment deux pyramides symétriques l'une de l'autre, puisque le dernier sommet peut être placé en (M, M') ou en (M, M"); et d'ailleurs on trouvera, par les méthodes du livre F', tout ce qui peut intéresser sur les angles plans, les angles dièdres, etc., de cliacune de ces pyramides.

FiG. io3. 500. Circonscrire une sphère à une pyramide triangulaire donnée. Soient (A, A'}, ( B, B'), ( G , G') , (S , S' ) les projections des quatre sommets , sur deux plans rectangulaires dont un renferme la face ABG; si ces projections n'étaient pas données immédiatement , elles se détermineraient comme au problème précédent. Le centre de la sphère cherchée, devant être à égale distance de ces (|uatre sommets, se trouvera à la fois dans les deux plans verticaux FO et GO , élevés perpendiculairement sur les milieux des arêtes AB et AG ; donc ce centre sera quelque part sur la verticale ( O, F O') intersection de ces plans. De même, il doit être contenu dans le plan élevé perpendiculairement sur le milieu d'une troisième arête appartenant à une autre face, telle que (SA, S'A'); donc si l'on prend la peine de construire les traces de ce plan, ainsi que le point où il ira couper la verticale (0,1'0'), on obtiendra le centre demandé: mais comme ces dernières opérations seraient un peu longues , à moins qu'on n'ait eu le soin de choisir le plan vertical parallèle à l'arête (SA, S'A'), on pourra les remplacer par la construction suivante.

En traçant avec le rayon OB , le cercle circonscrit au triangle ABG , cette circonférence qui appartiendra à la sphère demandée, sera coupée par le plan vertical SD parallèle à la ligne de terre, en un point (D, D'); donc la droite (SD, S'D') sera u?ie corde de la sphère, parallèle au plan vertical, et dès lors le centre de cette surface devra être situé dans le plan KL' élevé perpendiculairement sur le milieu de cette corde. Or ce plan va couper la verticale (O, l'O') point (O, O') ; donc c'est là le centre de la sphère en question.

Quant au rayon de cette sphère, qui est évidemment (OB, O'B'), on ob-