CHAPITRE in. — SUR LES SPHÈRES ET LES PYRAMIDES

tiendra sa véritable longueur en le rabattant parallèlement au plan vertical suivant (06, 0' 6'); donc si des points O et O', avec un rayon égal à 0'6', on décrit deux cercles, ce seront les contours apparents de la sphère demandée, qui est ainsi complètement déterminée de grandeur et de position.

501. Inscrire une sphère dans une pyramide triangulaire donnée. Prenons fiG. loA. encore le plan d'une des faces ABC pour le plan horizontal , et soit (S, S') le sommet situé hors de ce plan. Si par l'arête AB nous menions un plan qui divisât en deux parties égales^ l'angle dièdre formé par les faces SAB et GAB , ce plan bissecteur renfermerait évidemment tous les points de lespace qui sont à égale distance de ces deux faces; donc la sphère demandée qui doit touchei' chacune de celles-ci , aurait son centre situé nécessairement dans ce plan bissecteur. De même, deux autres plans bissecteurs menés suivant les arêtes AC et BC , de manière à diviser en deux parties égales les angles dièdres qui ont ces droites pour arêtes, contiendraient aussi le centre cherché; par conséquent ce centre est à l'intersection de ces trois plans bissecteurs, c'est-à-dire au sommet de la pyramide intérieure qu'ils forment avec la base primitive ABC : ainsi la question est ramenée à trouver le sommet de cette nouvelle pyramide, ou bien les trois arêtes qui y aboutissent.

Pour cela, mesurons d'abord l'angle dièdre SABC, en le coupant par un plan vertical SD perpendiculaire à AB , et rabattons sur le plan vertical la section ainsi faite , laquelle deviendra évidemment l'angle S'D"H ; construisons de même les angles S'E"H et S' F" H qui mesurent les angles dièdres AG et BG; puis , divisons ces trois angles plans chacun par moitiés , au moyen des droites D"I, E"L, F"K; alors ces trois droites ramenées dans les plans verticaux SD, SE, SF, appartiendraient aux faces de la pyramide intérieure qui a aussi pour base le triangle ABG. Par conséquent, si l'on coupe ces droites par un plan horizontal quelconque X' Y', on obtiendra trois points <?", s", <p", qui ramenés en (?, s, cp, appartiendront à la section triangulaire abc faite par le plan X'Y' dans la pyramide intérieure; donc ce triangle abc est maintenant facile à tracer , puisque ses trois côtés doivent être évidemment parallèles à ceux de ABG. Alors si l'on tire les droites A«, B6, Gc , ce seront les arêtes latérales de la pyramide intérieure , et elles devront aller se couper en un point unique O, qui sera la projection horizontale du centre de la sphère demandée.

Quant à la projection verticale O' de ce même centre, elle s'obtiendra en projetant le point O sur l'arête G'c' de la pyramide intérieure ; et le rayon de

la sphère sera la perpendiculaire O'B' abaissée du centre sur la face inférieure. Donc, en traçant avec cette droite O'R' deux cercles dont les centres soient en O et O', on aura les projections de la sphère cherchée.

502. èi l'on désire connaître les points de contact de cette sphère avec les faces latérales , on pourra facilement construire les traces du plan indéfini qui contient la face SAC par exemple ; puis, on abaissera du point ( O, O' ) une perpendiculaire sur ce plan, par la méthode générale. du n° 5o. Mais il sera bien plus court d'observer qu'un plan perpendiculaire à AG , et mené par le point O , couperait la sphère et la face SAC , suivant un grand cercle et une droite qui lui serait tangente ; d'ailleurs , cette droite rabattue sur le plan vertical, autour de (O, O'R'), deviendrait évidemment parallèle à S'E". Si donc, sans tracer cette parallèle on abaisse du point O' un rayon perpendiculaire sur S' E ', ce rayon ira couper le contour vertical de la sphère , en un point qui sera le rabattement du point de contact cherché; et il sera facile ensuite de ramener ce point dans sa véritable position. FiG. loL '"jOS. Les considérations employées au n" 501 , peuvent servir à résoudre ce problème général : trouver une sphère qui soit tangente à quatre plans donnés. En effet, les quatre faces de la pyramide SABC , étant prolongées indéfiniment, formeront autour des arêtes AB, AG, BG , trois angles dièdres extérieurs et supplémentaires de ceux que nous avons employés ci-dessus, et ces nouveaux angles auront pour mesures S'D"B', S'E"G', S' F" G'. Donc, si l'on divise ces derniers en deux parties égales, par des droites qui couperont le plan X' Y' en des points analogues à â'\ e", ç»', on pourra combiner trois à trois ces divers points, pour former plusieurs triangles tels que abc; et ceux-ci conduiront à divers centres, tels que (O, O'). Par exemple, adoptons la droite B" d" qui divise par moitiés l'angle extérieur S'D"B', et qui rencontre le plan X' Y' au point d" que Ton ramènera en d sur le plan horizontal; puis, conservons les deux anciens points £ et (p; alors nous obtiendrons le triangle ca"b" dont les sommets, étant joints avec A, B, G, fourniront le point (0",0"') pour le centre d'une sphère qui touchera la face SAB en dehors de la pyramide primitive, tandis qu'elle sera tangente aux trois autres faces prolongées à droite de SAB. De cette manière , on trouvera généralement Amî7 sphères tangentes aux quatre plans indéfinis qui contiennent les faces de la pyramide SABG ; car , en désignant par a, a', a", les trois angles dièdres intérieurs, et par w , w', co", les trois angles dièdres extérieurs, qui ont pour arêtes les côtés AB , AG, BG , on pourra évidemment adopter pour centre de la sphère demandée , le point d'intersection des trois pla?is bissecteurs qui diviseront les angles dièdres compris dans chacune des combinaisons sui-