CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SUKFACKS GAUCHES

plusieurs hélices de même pas que C liëlice {AhCD....y A'B'G'D'....). En effet, si Ton compare deux positions de la génératrice qui soient situées dans le même méridien, telles que (AO. A'rt'U') et (OH, A'H'), on voit quelles se coupent en un point i/ commun aux deux nappes, et qui restera constamment sur l'une et sur l'autre, lorsfju'il sera entraîné par le mouvement simultané de ces deux droites autour de Taxe. Or nous avons démontré (n° 614) que dans ce mouvement, un point quelconque a' ou u' de la génératrice décrivait une hélice concentrique avec (A BGD , A'B'G'D' ) et de même pas que celle ci : donc,

c'est bien une telle courbe qui formera l'intersection des deux nappes de l'bélicoide; et il existerait d'autres sections analogues, si l'on prolongeait les génératrices assez loin pour que A'a'U' rencontrât A" H", /i"'H"', en des points m",

m'",.... qui décriraient encore des hélices communes aux deux nappes.

fii7. Représentation graphique de la surface. Elle est donnée par l'ensemble FiG. la/f. des génératrices successives que nous avons construites; et si l'on restreint l'hélicoïde à sa nappe inférieure, et que l'on termine les génératrices aux points

où elles s'appuient sur l'hélice directrice (^BGD , A'B'G'D'....), le contour

apparent de la surface sur le plan horizontal se réduira au cercle ABGHLA.

Quant au plan vertical de projection, le contour apparent se composera d'abord des portions A'B'G'D'G'H'L' et P'Q'A"B"G"F"H"L" de l'hélice directrice; puis, de diverses courbes symétriques X'Y'B', x'j'L', X"Y"B",.... qui seront les enveloppes des projections verticales des géuératdces. En effet, les droites A'«', B'6', G'c', D'f/', formant avec l'axe O'Z' des angles qui vont toujours en diminuant, produiront par leurs intersections successives un polygone dont la convexité sera tournée vers l'axe ; et si l'on conçoit ces génératrices multipliées indéfiniment, ce polygone deviendra une courbe X'Y'B' tangente à chacune de ces droites, et qui aura pour osjmptote la génératrice particulière a' A' dont l'inclinaison sur l'axe est maximum en projection verticale. Gette courbe touchera aussi l'axe O'Z', qui est lui-même la projection d'une génératrice de la surface , en un certain point X' situé entre d' et e'; puis, elle continuerait à avoir pour tangentes les prolongements des génératrices E'e', Y'f, 0'g\ H'/i', dont la dernière serait une nouvelle asymptote. Mais, comme ici la nappe supérieure de l'hélicoïde n'existe pas, la courbe enveloppe des génératrices se réduira à la partie comprise depuis le point X', jusqu'au point (situé vers B') où la génératrice de l'hélicoïde se trouve, en projection verticale, tangente à la sinusoïde A'B'G'D'; seulement, dans cette dernière partie, la courbe enveloppe se confondra sensiblement avec la droite B'^.

De même, la branche x'j'L' du contour apparent, se tracera en la rendant

tangente à Taxe entre les points n', p\ et tangente aussi aux génératrices n'N', m' M', Z'L', jusqu'à ce qu'elle touche la sinusoïde H'L'M'; et si l'on devait la prolonger plus loin, elle aurait pour asymptote la génératrice h'H\ Enfin, on opérera semblablement pour les autres branches X"Y"B", x'yi" (*),

618. Sections remarquables. Si Ton coupe t'hélicoïde gauche par un plan mené suivant Taxe (O, CK Z'), on aura évidemment pour section des lignes droites, qui seront autant de positions diverses de la génératrice; et si Ton employait, pour couper la surface, un cylindre vertical a^-^âln concentrique avec l'hélice directrice, il résulte de ce que nous avons prouvé au n° 614,

que la section serait une autre hélice a'&y'&'l'Tz' de même pas que

619. Maintenant, coupons l'hélicoide par un plan horizontal quelconque

G"n". 11 suffira de projeter sur le plan horizontal, les points G", W", s", S'',

où le plan sécant rencontre les projections verticales des génératrices de la surface, et l'on obtiendra la spirale OIKSsWG. ... qui s'étendrait indéfiniment, si l'on prolongeait assez loin les génératrices suivantes /i" H", /"L",.... D'ailleurs, si la nappe supérieure (n° 616) formée par le prolongement des

droites RV, Q'^', existait ici , elle serait coupée par le même plan

G"a'\ suivant une autre branche Oikâ appartenant à la même spirale ,

et ces deux branches auraient pour tangente commune le diamètre AOH ; car les rayons ORG , OIB , sont des sécantes , dont les deux points de section avec la spirale se réunissent en un seul O, quand on arrive à la position OA.

620. La section que nous venons d'obtenir est une spirale d' Archimède. En effet, d'après la manière dont nous avons construit (n° 611) les génératrices de l'hélicoide , chacune de ces droites a pour différence de niveau entre ses deux extrémités , un intervalle constant égal à O'a' qui comprend ici six divi-

(*) Nous conseillons ici de tracer les courbes X'Y'B', x'y'lJ, ..... en les rendant simplement tangentes à la sinusoïde et aux projections des génératrices , parce que ce procédé offrira toute la précision graphique que l'on peut désirer, en multipliant suffisamment les génératrices qui sont très-faciles à construire. Cependant, si l'on voulait déterminer les points de contact de cette courbe , il n'y aurait qu'à mener par chaque génératrice un plan perpendiculaire au plan vertical; puis, chercher le point où ce plan serait tangent à l'hélicoide, en employant la méthode que nous exposerons au n" 627; alors, la suite de tous ces points de contact appartiendrait rigoureusement au contour apparent X' Y' B' de la surface; mais cette marche serait trèslaborieuse.