CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

hyperbolique (11° 595), qui serait propre à former le joint normal de cette petite voûte.

§ 4. ^^-s hélicoïdes gauches.

610. Après avoir construit une hélice à base circulaire (ABGD , FiG. 124.

A'B'G'D'H'A"H") , imaginons une droite mobile (AO, A!a') qui glisse sur cette hélice et sur son axe (O, O'Z'), en formant d ailleurs un angle constant avec cet axe :

nous produirons ainsi un liélicdide qu'il ne faut pas confondre avec ihélicdidc développable déjà considéré au n° 45l> ; car celui dont il est ici question est gauche, comme nous allons le démontrer, après avoir appris à construire les diverses positions de sa génératrice.

611. Pour obtenir celle qui passera par le point quelconque (F, F') de l'hélice, prenons sur Taxe vertical un intervalle a'f égal à la différence de niveau des points (F, F') et (A, A'), et la droite (F'/', FO) sera la génératrice demandée; car elle fornlera avec Taxe et le rayon du cylindre qui aboutirait au point (F, ¥') , un triangle rectangle évidemment égal à AVO'; de sorte que les angles aux sommets de ces deux triangles, seront bien les mêmes, comme l'exige la loi de mouvement citée plus haut. Mais , pour rendre cette opération plus uniforme et plus simple, on observera que le tracé de l'hélice primitive a déjà

conduit (n° 451) à diviser la circonférence ABGH et le pas de l'hélice A' A",

en un même nombre de parties égales, ici quatorze; par conséquent, si l'on commence par marquer sur l'axe vertical, à partir du point a', des intervalles a'b\ b'c', cfd\ d'e\ €ff\.... tous égaux aux divisions du pas de l'hélice, il n'y aura plus qu'à joindre par des droites, les points correspondants B' et 6% G' et t/, D'

et (/', pour obtenir les projections verticales B'6', GV, \)'d\.... des diverses

génératrices projetées horizontalement sur les rayons BO, GO, DO,

612. D'après cette construction, il est évident que deux génératrices , quelque rapprochées qu'elles soient, ne se trouveront jamais dans un même plan; puisque leurs projections horizontales se couperont toujours en O , et que les points situés sur la verticale O , y seront placés à des hauteui-s différentes : donc cet hélicoïde est une surface gauche.

613. Puisque les divers triangles rectangles , formés par chaque génératrice avec l'axe et le rayon du cylindre qui aboutit au point correspondant de l'hélice, sont (n" 611 ) tous égaux à A'a'O', il s'ensuit que la portion de la droite mobile, comprise entre l'axe et l'hélice directrice, conserve toujours la même longueur ; par conséquent on peut aussi regarder l'hélicoide gauche qui nous

2q8 LIVRE VIL — DES SURFACES GAUCHES.

occupe, comaie engendré par une droite de longueur constante (AO, A'a') qui

glisse sur une hélice à hase circulaire et sur son axe.

6! 4. Dans ce mouvement, où la longueur de la génératrice et son inclinaison sur Taxe demeurent invariables, il est évident qu'un point quelconque (a, a') de cette droite mobile, reste à une distance constante aO de l'axe vertical (O, O'Z'), c'est-à-dire que ce point se meut sur le cylindre droit qui a pour base le cercle aêy En outre, comme les deux extrémités de la génératrice s'élèvent, à la fois, d'une quantité égale a'b\ ou a'à', ou a'd\..., il en sera de même du point (a, a'), dont les ordonnées verticales comptées à partir du plan horizontal a'w', seront toujours égales aux ordonnées du point (A, A') audessus du plan A'O'. Or celles-ci sont , par la nature de l'hélice que parcourt le

point (A, A'), proportionnelles aux arcs AB, AG, AD, ou bien aux arcs

aê, ay, aâ, ; donc aussi ces derniers sont proportionnels aux ordonnées

des positions qu'occupe le point (a, a') au-dessus du plan horizontal a'w',

lorsqu'il se projette successivement en ê, y, &, ; par conséquent (n**446)

la courbe

( aSyâel , a'g'/d^e'X Va"g"7"X" )

décrite par un point quelconque (a, a') de la génératrice, pendant son mouvement, est une hélice de même pas que V hélice primitive, mais tracée sur un cylindre concentrique au premier.

Pour construire cette hélice, il suffirait, après avoir décrit le cercle du rayon

Oa, de projeter les points ê, y, d^,.... en ê', y\ â\ sur les génératrices déjà

tracées ; mais , afin d'éviter la rencontre de lignes très-obliques, il vaudra mieux couper ces génératrices par des horizontales élevées au-dessus de a'w', de I, 2, 3, fois l'intervalle a'b'.

615. D'après cette propriété, on pourrait aussi définir l'hélicoide gauche, comme engendré par une droite qui glisse constamment sur deux hélices concentriques, de rayons inégaux, mais de même pas, et sur laxe commun de ces deux courues. Par là , on assignerait trois directrices à la surface , et les autres conditions énoncées aux n°^ 610 et 615 se trouveraient remplies d'elles-mêmes.

616. Il est évident que l'hélicoide gauche admet encore une nappe supérieure, laquelle serait engendrée par le prolongement «'U' de la droite («'A', OA) qui a déjà décrit la nappe inférieure. Cette dernière est la seule que nous ayons voulu représenter ici, afin d'en laisser voir plus distinctement la forme; toutefois, nous ferons observer que non-seulement les deux nappes auraient de commun la droite (O, O'Z'), mais quelles se couperaient encore suivant une ou