OI = |OB, OR = |OC, OS=|OD

D'après cela, on voit que pour un point quelconque W de la spirale, on aurait la relation générale

OW AF û

OF=ÂG' ^^ R =

en appelant p le rayon vecteur de ce point, 1/ l'angle correspondant mesuré dans le cercle qui a pour rayon l'unité , et R le rayon donné OA. Ainsi , puisque 1 équation précédente prouve que p et m croissent proportionnellement, la courbe est bien une spirale d'Archimède; mais pour y introduire, suivant l'usage, le rayon vecteur constant R' qui correspond à la première révolution totale , il n'y aura qu'à prendre

R' = i^ R , et il viendra p = R' —.

La fraction ^ exprime ici le rapport du pas de l'hélice A' A", avec la hauteur O'a' que nous nous sommes donnée arbitrairement, pour fixer la première génératrice de l'hélicoide gauche.

621. Du plan tangent pour un point donné sur une génératrice quelconque (DO, Jyd'). Supposons d'abord que le point assigné soit (D, D') situé FiG. 124. sur l'hélice directrice : alors, en tirant la droite DT égale à l'arc DA, et perpendiculaire sur DO, on sait ( n° 449) que le point (T, T') sera le pied de la tangente à l'hélice; par conséquent le plan tangent relatif au point (D, D') se trouvera déterminé par l'ensemble des deux droites (DO, D'd') et (DT, D'T'), et ce plan aura évidemment pour trace horizontale VT.

Maintenant, soit [^, â') un point quelconque de la même génératrice.

3o2 LIVRE VIL — DES SURFACES GAUCHES.

On sait (n" 614) que par ce point, il passe une hélice dont la naissance (a, a') se détermine en décrivant l'arc J^a, et projetant a en a' sur la génératrice A! a'. D'ailleurs , sans tracer cette courbe , sa tangente est facile à construire ; car, si après avoir mené la droite TO , on tire ^Q parallèle à DT, il est évident qu'on aurac?^ = âa ; donc , en projetant Q en 0' sur le plan de naissance a'w', on obtiendra le pied {ô, 0') de la tangente cherchée qui sera {âd,&'0'). Gela posé, le plan tangent au point (c?, â') de l'hélicoïde, devant contenir cette tangente ainsi que la génératrice (<3^0, &'d') qui vient percer le plan horizontal w'a' au pointai, ^'), il aura évidemment pour trace, sur ce plan de naissance, la droite ^$; et sur le plan horizontal primitif, sa trace sera V/ parallèle à ^6.

On opérerait semblablement pour un nouveau point ((|/, Y) ^^ la génératrice (DO, D'(/'), en employant toujours le triangle rectangle TOD, dans lequel on tracerait parallèlement à DT, la droite i|;Ç qui fournirait le pied (Ç, Ç') de la tangente à l'hélice passant par le point ((|i , (|i' ).

622. Il importe ici de remarquer que, pour tous les points d'une même génératrice (DO, D'c^'), les triangles rectangles TDV, Oâ^, auront des bases égales

DV = â^ = .. .. En effet, la hauteur du point (D, D') au-dessus de (A, A') , est évidemment la même que celle du point (d^, c^') au-dessus de (a, a') ; par conséquent les portions D'V et c?'|' de la génératrice sont égales, et il doit y avoir aussi égalité entre leurs projections horizontales DV et c?|. Mais l'angle à la base, V ou ç, de ces triangles est variable; tandis qu'il serait constant et la base variable, pour les divers points d'une même hélice, attendu qu'en passant du point D aux points G, B,...., les côtés DV et DT varient dans le même rapport.

Il résulte de là que les plans qui touchent l'hélicoïde dans les divers points d'une même hélice, sont également inclinés sur le plan horizontal.

623. Observons encore que, pour tous les points d'une même généra! rice (DO, D'd' ) , les pieds des tangentes aux hélices, sont tous situés sur la droite (TO, T'a'), ce qui permettrait d'obtenir la projection verticale Q' sans recourir (n^ 62 1) au plan de naissance a'w'. En effet, les hauteurs des deux points (O, a') et ($, 6') au-dessus du plan horizontal primitif, fournissent évidemment les rapports égaux