CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES.- 3o

ordonnées verticales des points (O, a') et (Ô, $') sont proportionnelles à leurs abscisses comptées iiu point (T, T' ); donc ces trois points se trouvent en ligne droite.

624. Il suit de là que les tangentes (DT, D'T') , {âQ.â'Q'), ((|>Ç, tl>'Ç'),... aux hélices décrites par les divers points de la génératrice (DO, D'f/'), s'appuient toutes sur les deux droites fixes (TO, T'a')et(DO, D'd'); et d'ailleurs, comme ces tangentes sont évidemment parallèles à un même plan vertical DT, il en résulte (n° 549) qu'elles forment, par leur ensemble, un paraboloïde liyperholique qui touche la surface de l'hélicoide tout le long de la génératrice (DO, D'à').

625. C'est à ce résultat que nous serions parvenus si , d'après la méthode générale du n° 577, nous avions voulu former thyperboloïde de raccordement le long de la droite (DO, B'd'). Car, en définissant Thélicoïde comme au n° 615, parle moyen des trois directrices (ABCD...., A'B'C'D'....), (aêyc?...., a'§y&'....), (O, O'Z'), cet hyperboloïde aurait eu lui-même pour directrices les droites (DT, D'T'), {âd, c?'Ô'), (O, O'Z'); et puisqu'elles sont évidemment toutes trois parallèles à un même plan vertical , cette dernière surface dégénère (n" 555) en un paraboloïde hyperbolique, qui est celui dont nous avons parlé tout à l'heure.

626. Ce paraboloïde a pour plan directeur du premier système de génératrices, le plan vertical DT ; quant au second système, le plan directeur devrait passer par (TO, T'a') et par une parallèle à (DO|, D'd'). Or, si l'on fait partir cette parallèle du point (O, a'), il est aisé de voir qu'elle ira percer le plan horizontal en D ; de sorte que TD sera encore la trace horizontale du second plan directeur, et il sera incliné d'une quantité angulaire égale à a'A'O', ce qui achève de fixer sa direction. On voit ainsi que les deux plans directeurs sont à la fois perpendiculaires au plan vertical OD qui contient la génératrice de l'hélicoide; d'où Ton peut conclure que l'axe du paraboloïde (n° 572) est horizontal et parallèle à DT.

Pour toute autre génératrice que (DO, D'</'), il est évident que le paraboloïde de raccordement demeurerait constant de forme, et prendrait seulement une position analogue par rapport à la nouvelle génératrice.

627. Trouver le point de contact de ihélicoïde gauche, avec un plan donné Fie. ii^. qui passe par une génératrice connue. Ce problème qui serait utile dans la Perspective et les Ombres , pour trouver la courbe de contact de l'hélicoïde avec

un cône ou un cylindre circonscrit à cette surface, pourrait se résoudre comme on l'a indiqué n°* 585 et 587 ; ou plus simplement , par les procédés

3o4 LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES.

des n"' 586 et 588 , si l'on commençait par substituer à l'IiéJicoide le paraboloide de raccordement le long de chaque génératrice. Mais les opérations graphiques sont encore très-laborieuses, et nous allons donner une méthode beaucoup plus courte, fondée sur la remarque du n° 622 (*).

Soit Vt la trace horizontale du plan donné qui passe par la génératrice (DO, D'd'); après avoir construit le triangle rectangle TDO qui détermine la tangente de l'hélice au point (D, D') de la génératrice proposée, menez par le point t une parallèle tQ à DO, puis une perpendiculaire Qâ; cette dernière fera connaître le point ((J*, c?') où le plan donné touche l'hélicoide. En effet, pour construire le plan tangent relatif à ce point (c?, c?'), il faudrait (n*** 621 et 622) tirer dans le triangle ODT, la droite âQ perpendiculaire sur âO, puis prendre â^ égale à DV, et la ligne 0^ serait la trace de ce plan tangent sur le plan de naissance a'w' de l'hélice passant par (cJ^, &'). Or il est évident que, d'après les constructions employées ci-dessus, la ligne 6^ se trouvera parallèle à Vf; ainsi, le plan donné et le plan tangent pour le point {â' , c?'), auront leurs traces horizontales parallèles ; et comme ils passent tous les deux par la droite (ODV, f/'D'V) , ils coïncideront certainement l'un avec l'autre.

628. HÉLIGOIDE à plan directeur. La définition générale du n° 610 suppose que In droite mobile glisse sur une hélice et sur son axe , en formant avec ce dernier un angle constant, mais quelconque : lorsque cet angle est droit, toutes les positions de la génératrice se trouvent évidemment parallèles au plan horizontal qui devient ainsi un plan directeur de la surface; et celle-ci, toujours gauche, rentre alors dans le genre des couoïdes droits (n° 520). 11 est facile de voir comment toutes les propriétés reconnues dans Ihélicoïde gauche général, se reproduiront avec des simplifications remarquables, dans l'hélicoide particulier qui nous occupe; c'est pourquoi nous nous contenterons d'indiquer la forme de ce dernier, en employant un seul plan de projection, comme dans la FiG. 1 26. fig- 1 26 qui doit nous servir plus tard à représenter une vis. On y aperçoit l'hélice directrice ABCDE...., et les diverses positions Ao, Bi , G2, de la droite

mobile; puis, on démontrera plus facilement encore qu'au n° 614, que tout point a de la génératrice, décrit une hélice aêyc^s.... concentrique avec la première , et qui a le même pas et le même plan de naissance que celle-là.

( * ) Cette méthode a été indiquée dans le Traité des sur/aces réglées par M. Gascheau , ancien élève de l'École Polytechnique.