CHAPITRE II.— *DE LA COURBURE DES SURFACES

si Ton compare les surfaces déveioppables de séries différentes, on verra quelles se coupent deux à deux suivant une normale de S, comme GMM'U et GMKV qui ont pour intersection la droite MG. De plus , cette intersection se fait toujours à angle droit, puisque les plans M'MG et KMG qui sont évidemment tangents à ces deux surfaces déveioppables, se trouvent perpendiculaires l'un sur l'autre, attendu que les éléments MM' et MK des deux lignes de courbure sont perpendiculaires entre eux et à la normale MG.

719. Or le plan M'MG tangent à une surface développable dé la première série, doit toucher (n° 717) la seconde nappe des centres 2'; et de même, le plan KMG sera tangent à la première nappe 1 : donc, puisque ces plans sont rectangulaires, toutes les fois que l'on considérera ces deux nappes d'un point de vue M pris à volonté sur S, les contours apparents de ces deux nappes paraîtront toujours se couper à angles droits.

720. Observons encore que le plan M'MG est le plan osculateur de l'arête de rebroussement GG'G". ... située sur la nappe 1; or, puisque ce plan est perpendiculaire sur KMG qui touche cette nappe (n^ 717), il s'ensuit que la

courbe GG'G" a tous ses plans osculateurs normaux à la nappe 1 ; et par

suite (n** 189) cette courbe est la ligne minimum entre deux de ses points sur la surface 1. La même conséquence a lieu pour toutes les autres arêtes de rebroussement situées sur cette nappe, comme aussi pour toutes celles qui composent la nappe 2'.

721. Si les deux nappes 1 et 1' se coupent quelque part, elles se couperont à angles droits, d'après ce que nous venons dédire; et leur intersection ^ s'appelle le lieu des centres de courbure sphérique, parce que chaque tangente à la courbe 0 sera une normale de S, qui ira percer cette surface en un point X pour lequel les deux courbures auront évidemment même rayon et même centre; de sorte qu'elles seront égales, comme cela arrive en chaque point d'une sphère. Aussi, l'ensemble de toutes les tangentes à l'intersection O, ira percer la surface S suivant une courbe XX' ).".... qui se nomme la ligne des courbures sphériques , et qui coupe nécessairement toutes les lignes de courbure de première et de seconde espèce.

722. « Il est bien évident » , dit Monge , « que la ligne des courbures sphériques sur la surface S, est une développante de la ligne des centres de courbure sphérique $. Ainsi, après avoir fixé un fil en un des points de cette intersection des deux nappes des centres , si en le tendant , on le fait mouvoir de manière qu'il s'enveloppe sur cette intersection, et que la partie rectiHgne

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du fil soit toujours tangente à cette courbe , un des points de ce fil parcourra la ligne des courbures sphériques. Mais si, en tendant le fil , on ne s'assujettit à aucune condition , et Ton suppose qu'il n'exerce aucun frottement sur les nappes des centres, dans quelque position qu'on le considère, il sera divisé en trois parties : la première sera enveloppée sur une partie de l'intersection des deux nappes; la seconde sera pliée et tendue sur la nappe des centres dont le fil se sera rapproché, et sera appliquée sur une des arêtes de rebroussement (*) dont cette nappe est le lieu , et ces deux parties de courbe se toucheront à leur point commun ; la troisième partie du fil en ligne droite sera tangente à cette arête de rebroussement, et normale à la surface S; enfin, l'extrémité du fil sera sur cette surface même. Ainsi, en agitant le fil constamment tendu , on pourra transporter le même point du fil successivement sur tous les points de la surface. On voit donc qu'une surface quelconque peut être engendrée par les deux mouvements continus du point d'un fil tendu qui s'enveloppe sur les nappes des centres, de même qu'une courbe plane peut être engendrée par le point d'un fil tendu qui s'enveloppe sur la développée de la courbe. "

725. « Voyons actuellement », continue Monge, « quelques exemples de l'utilité dont ces généralités peuvent être dans certains arts. Le premier exemple sera pris dans l'architecture.

" Les voûtes construites en pierre de taille sont composées de pièces distinctes , auxquelles on donne le nom générique de voussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans l'exécution: i"la face qui doit faire parement, et qui devant être une partie de la surface visible de la voûte, doit être exécutée avec la plus grande précision : cette face se nomme douelle; 2° les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s'appliquent les uns contre les autres : on les nomme généralement joints. Les joints exigent aussi la plus grande exactitude dans leur exécution; car la pression se transmettant d'un voussoir à l'autre perpendiculairement à la surface du joint, il est nécessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points, afin que pour chaque point de contact, la pression soit la moindre, et que pour tous elle approche le plus de l'égalité. 11 faut donc que dans chaque voussoir les joints approchent le plus de la véritable

(*) Parce que cette arête est la courbe minimum entre deux de ses points , comme nous l'avons démontré n° 720.