CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

plans normaux limites (n° 694) qui séparent les sections normales placées audessous du plan tangent, d'avec celles qui sont situées au-dessus. Or, comme le plan tangent en M coupera la surface gauche suivant une seconde branche Ma , si on lui mène sa tangente MQ qui sera la trace du second plan normal limite, et que l'on divise par moitiés l'angle PMQ et son supplément, au moyen des droites MA et MB, ces dernières seront les traces des deux sections principales sur le plan tangent, et ce seront aussi les tangentes aux deux lignes de courbure parlant de M.

713. Des résultats semblables auraient lieu pour une surface S qui , sans être gauche , serait non convexe , parce que le plan tangent d'une telle surface la couperait nécessairement suivant deux branches passant par le point de contact , et dont les tangentes indiqueraient encore la position des plans normaux limites; d'où l'on conclurait, comme ci-dessus , la direction des sections principales et des lignes de courbure en ce point.

714. Après ces divers exemples, rentrons dans la théorie générale, et con- FiG. i42. cevons qu'à partir d'un point M pris à volonté sur une surface quelconque S,

on cherche , parmi les points infiniment voisins , les deux seuls M ' et K pour lesquels les normales vont couper celle de M; puis, qu'à partir de M', on fasse la même recherche qui fournira les points M" et R', et que Ton continue à opérer serablablement pour les points M", ..., K, K',..., R , R',... ; on obtiendra ainsi deux séries de lignes de courbure,

MM'U, KR'U', RR'U", et MKV, M'KV, M'K' V",. -,

lesquelles partageront la surface proposée en quadrilatères curvilignes dont les côtés se couperont toujours à an^/es droits (n" 702), et indiqueront les directions des deux courbures de la surface , c'est-à-dire les directions où elle présentera, autour de chaque point, une courbure maximum ou minimum (n" 705).

715. Maintenant si , par tous les points d'une des lignes de la première courbure MU , on conçoit les diverses normales de la surface S , ces droites qui se rencontreront consécutivement , formeront une surface développable dont l'arête de rebroussement GG'G" tangente à toutes ces normales, sera la suite des centres de la première courbure de S, relatifs à la ligne MU. Observons , d'ailleurs, que cette arête de rebroussement sera une développée (n° 658) de la ligne MU, et que cette dernière se trouvera aussi une ligne de courbure (n" 711) pour la surface développable formée par les normales en question. En opérant ainsi pour chaque ligne KU', RU ", TU '",.... de la première courbure,

on obtiendra une série de surfaces développables, chacune normale à S, et dont les arêtes de rebroussement GG'G"..., G4G/G/'..., formeront, par leur ensemble, une surface 2 lieu des centres de la première courbure de S, et à laquelle toutes les normales de cette dernière seront tangentes. De même, il existera une seconde surface 2' lieu des centres de la seconde courbure de S, et qui sera formée par les arêtes de rebroussement, telles que HH'H"..., de toutes les surfaces développables produites par les normales menées le long de chaque ligne de seconde courbure, MV, M'V, M"V",....; et cette surface 1' sera encore touchée par les mêmes normales que 1.

716. Ordinairement, les lieux 1 et 1' de tous les centres de courbure, ne seront autre chose que deux nappes distinctes d'une même surface courbe, assujetties à une génération commune , et représentées par une équation unique. Mais quelquefois aussi , ce seront deux surfaces indépendantes ; comme dans les surfaces de révolution , où la nappe 2' des centres de courbure relatifs aux parallèles , se réduit à l'axe de révolution lui-même (n° 707), et où la nappe 1 des centres de courbure relatifs aux divers méridiens , est une nouvelle surface de révolution engendrée par la rotation de la développée plane du méridien (n° 707) autour du même axe. Au reste, les deux nappes des centres de courbure de la surface S sont, par rapport à celle-ci, ce que les développées sont par rapport aux lignes courbes. FiG. 142. 717. Il faut bien observer que les surfaces développables, normales à S le long des lignes de première courbure MU , KU', RU", . . . , sont tangentes , à la seconde nappe des centres 2', tandis que la première nappe 21 est touchée par les surfaces développables qui passent par les lignes de seconde

courbure MV, M'V, M" V", En effet, les normales parties de M, M', M",

se coupent sur la première nappe 2 en G, G', aussi bien que les normales parties de K, K', K" qui se coupent en G,, G/; mais la rencontre des normales de M à K , de M' à R', de M" à K", se fait en H, H , , Hg, sur la seconde nappe 2' : donc cette nappe est le lieu des intersections consécutives de toutes les surfaces développables de la première série , ou bien elle est leur enveloppe (n° 190), et conséquemment elle se trouve tangente à chacune d'elles. On verra de même que la nappe 2 est V enveloppe de toutes les surfaces développables relatives aux lignes de la seconde courbure.

718. Ce qui précède montre que deux surfaces développables normales à S , et qui appartiennent à la même série , ou qui passent par deux lignes de courbure de la même espèce, comme MU et KU', se coupent suivant une courbe HH,H2 qui est située sur la nappe des centres de l'espèce opposée. Mais