CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

descriptive établies dans les départements, le professeur s'occupât de la détermination et de la construction des lignes de courbure des surfaces employées ordinairement dans les arts , afin que, dans le besoin, les artistes , qui ne peuventpas consacrer beaucoup de temps à de semblables recherches, pussent les consulter avec fruit et profiter de leurs résultats.

724. » Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans lart de la gravure.

» Dans la gravure, les teintes des différentes parties de la surface des objets représentés, sont exprimées par des hachures que l'on fait d'autant plus fortes ou d'autant plus rapprochées, que la teinte doit être plus obscure. Lorsque la distance à laquelle la gravure doit être vue, est assez grande pour que les traits individuels de la hachure ne soient pas aperçus, le genre de la hachure est à peu près indifférent; et, quel que soit le contour de ces traits, l'arliste peut toujours les forcer et les multiplier, de manière à obtenir la teinte qu'il désire et à produire l'effet demandé. Mais, et c'est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est destinée à être vue d'assez près pour que les contours des traits de la hachure soient aperçus, la forme de ces contours n'est plus indifférente. Pour chaque objet, et pour chaque partie de la surface d'un objet, il y a des contours de hachure plus propres que tous les autres, à donner une idée de la courbure de la surface; ces contours particuliers sont toujours au nombre de deux, et quelquefois les graveurs les emploient tous deux à la fois, lorsque, pour forcer plus facilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contours, dont les artistes n'ont encore qu'un sentiment confus, sont les projections des lignes de courbure de la surface qu'ils veulent exprimer Comme les surfaces de la plupart des objets ne sont pas susceptibles de définition rigoureuse, leurs lignes de courbure ne sont pas de nature à être déterminées, ni par le calcul, ni par des constructions graphiques. Mais si, dans leur jeune âge, les artistes avaient été exercés à rechercher les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces différentes, et susceptibles de définitions exactes, ils seraient plus sensibles à la forme de ces lignes et à leur position, même pour les objets moins déterminés; ils les saisiraient avec plus de précision, et leurs ouvrages auraient plus d'expression.

» Nous n'insisterons pas sur cet objet qui ne présente peut-être que le moindre des avantages que les arts et l'industrie retireiaient de rétabfissement d'une école de Géométrie descriptive dans chacune des principales villes de France. »

35o LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

FiG. i35. 725. DÉTERMINATION GRAPHIQUE des lignes de courbure. Nous avons déjà cité (n°* 707, 708,....) plusieurs genres de surfaces pour lesquels il est aisé d'apercevoir immédiatement la forme de ces lignes; mais, si l'on voulait trouver leurs directions pour un point M donné sur une surface quelconque S , voici la marche qu'il faudrait suivre, en supposant d'abord cette surface convexe. Imaginons, sans le construire, l'ellipsoïde osculateur de S au point M, lequel a déjà été représenté dans la ficj. i35; puis, rappelons-nous (n° 696) que tout plan normal coupe ces deux surfaces suivant des couibes MD , MD', qui ont le même rayon de courbure p en M, et qu'en outre ce rayon est lié avec les demi-axes MO = c, OD' z= d àe l'ellipse MD', par la relation

|S» = — , ou </ = sjcp. Il suit de là que, connaissant p et c qui a une longueur arbitraire, on peut trouver OD' = d par une moyenne proportionnelle; d'ailleurs cette dernière ligne sera toujours, pour chaque plan normal, un demi-diamètre de l'ellipse A'B'E' dont les axes, inconnus ici de position et de grandeur, suffiraient évidemment pour retrouver la courbure et la position des sections principales MA et MB de la surface S en M ; aussi , par cette raison , nous appellerons indicatrice cette ellipse A'B'E'qui est la section faite dans l'eUipsoide osculateur, par un plan mené du centre, parallèlement au plan tangent du point M.

726. Pour construire cette indicatrice (*), on conduira par la normale en M divers plans sécants assez rapprochés les uns des autres, et après avoir construit en vraie grandeur les sections ainsi produites dans S , on cherchera par la méthode du n 666, leurs rayons de courbure p, p\ p"y.. relatifs au FiG i35 point M; puis, sur un plan quelconque et à partir d'un point arbitraire m, on et 137. tracera des rayons vecteurs mt/, md\ md"y..^ formant entre eux les mêmes angles que comprenaient les plans sécants, et ayant des longueurs égales aux moyennes proportionnelles suivantes, , .

• md =. <tj cp , md' = \l cp', md" = \/cp'\....,

où c désigne une longueur arbitraire, mais constante. Alors, la courbe qui passera par tous les pointsti, d\ d",..., sera l'indicatrice dont nous avons parlé

(*) Cette marche a été employée d'abord par M. Dupin, dans ses Développements de Géométrie.