CHAPITRE II.— DE LA COURBURE DES SURFACES

plus haut; et si, après avoir tracé cette ellipse, on décrit avec le rayon md" un arc de cercle qui la coupe en /, la droite ma menée par le milieu de cet arc, et la perpendiculaire mb seront les deux demi-axes de l'indicatrice, lesquels sont aussi ceux de l'ellipsoïde osculateur qui a pour troisième axe, suivant la normale , la ligne ic. De là il résulte (n^* 696 et 703) que les rayons de courbure de la surface S en M , auront pour grandeurs

et la position des sections principales sera aussi connue, car leurs plans devront passer par la normale en M, et faire avec le plan de la section md des angles égaux à dma et dmb; ou plutôt, si l'on regarde le plan de la fig. iS^ comme parallèle au plan tangent de S en M {fig. i35), les droites ma et mb seront les traces des plans normaux qui contiennent ces sections principales ; et ce seront aussi les projections des tangentes aux deux lignes de courbure partant de M, de sorte que le premier élément de chacune de ces lignes, sera dirigé suivant ma ou m.b.

12tl . Lorsque la surface proposée S sera non convexe autour du point assi- pjc 135 gnéM,on imaginera, sans le construire, l'hyperboloide osculateur qui a déjà et i38. été représenté dans la^^. 1 36, et l'on se rappellera (n° 686) que les rayons de courbure des sections normales faites par le sommet M de cet hyperboloïde, sont liés avec les diamètres de la section* parallèle au plan tangent et passant

par le centre O, par la relation p = — ; puis, comme ces sections normales ont

la même courbure que celles qui sont faites par les mêmes plans dans la surface S, on en déduira le procédé graphique suivant.

Par la normale de S en M, on conduira divers plans sécants assez près les uns des autres, et après avoir construit en vraie grandeur ces sections et leurs rayons de courbure p, p', p",.... (n° 666) relatifs au point M, on cherchera les moyennes proportionnelles suivantes

d=s/~cp, d' = y/'cp\ d" = v/ëp, ,

où c désigne une ligne arbitraire, mais constante; puis, on portera ces longueurs c/, d\ (/",..., suivant les droites md^ md\ md'\...^ tracées sur un plan quelconque, mais formant entre elles les mêmes angles que comprenaient les plans normaux dont on s'est servi; et l'indicatrice qui passera par tous les points

f/, d\ d'\..., ainsi déterminés, sera l'hyperbole que produirait dans l'hyperboloide osculateur, un plan sécant mené par le centre parallèlement au plan tangent du point M.

728. Les constructions précédentes supposent que tous les rayons p, p% p"..., étaient positifs ; car, si l'un des plans normaux à S fournissait une section située au-dessus du plan tangent, le rayon de courbure pj de cette section se trouvant

négatif (n° 686, note), la moyenne proportionnelle y/c|52 serait imaginaire; résultat qui s'accorde bien, il est vrai, avec la nature des diamètres de l'byperbole d, d\ d'\..., lesquels ne rencontrent plus cette courbe quand ils s'écartent au delà d'une certaine limite, mais qui exige une modification dans les opérations graphiques. Lors donc qu'on rencontrera des sections normales situées audessus du plan tangent de S en M, on ne tiendra compte que de la grandeur absolue de leurs rayons de courbure p^-t p'^-, p"ir"-> ^t après avoir construit les moyennes proportionnelles

mè = y/ cp^ , ma' = \jcp \ , mè" z=. si cp " ^ ,

on aura soin de distinguer cette classe de rayons vecteurs, pour réunir leurs extrémités par une hyperbole particulière ^bè' qui sera une nouvelle branche de V indicatrice, et que l'on peut regarder comme la section que produirait dans l'hyperboloïde osculateur, un plan parallèle au plan tangent, mais mené au-dessus du point M, et à une distance égale à c. FiG. i38. 729. Cela posé, on construira le premier axe ma de Tindicatrice, en le menant par le milieu de l'arc de cercle ^décrit avec un des diamètres md, puis le second axe mb qui est perpendiculaire au premier, et l'on en conclura les asymptotes mP et mQ communes à ces deux hyperboles conjuguées. Alors, les deux rayons de courbure de la surface S au point M (n° 698) auront pour grandeurs

yj ma „ , mb

et les sections principales seront données par deux plans normaux qui formeraient avec le plan connu relatif à md, les angles dma et dmb; ou plutôt, si l'on regarde le plan de la fig. i38 comme parallèle au plan tangent de S en M, les droites ma et mb seront les traces des plans normaux qui contiennent ces sections principales, et ce seront aussi les projections des tangentes aux deux lignes de courbure qui partent de M.

730. Quant aux plans normaux lim,ites qui séparent les sections convexes ou

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situées au-dessous du plan tangent, d'avec celles qui se trouvent au-dessus et que nous appellerons concaves, nous savons (n° 694) qu'ils coupent la surface S suivant des courbes dont les rayons de courbure sont infinis au point M; donc ces plans auront pour traces sur le plan tangent, les diamètres infinis de l'indicatrice, c'est-à-dire les deux asymptotes mP et mQ qui se détermineront au moyen du rectangle construit sur les deux axes ma et mb. Il résulte de là que ces asymptotes auront chacune un contact du second ordre, au moins, avec les deux sections normales limites; et en effet, il est aisé de voir qu'elles sont précisément les intersections du plan tangent en M avec rhyperboloide osculateur.

731. D'ailleurs, comme ce plan tangent doit couper la surface S non convexe suivant une courbe à deux branches passant par le point M, il arrivera encore que les droites mP et mQ seront tangentes à ces deux branches. En effet, chacune de ces droites se trouve dans le plan tangent, et a deux éléments communs avec S, d'après ce qui a été dit au numéro précédent; donc ces deux éléments appartiennent à l'intersection de la surface par son plan tangent, courbe dont chaque branche offrira ainsi un contact du second ordre avec mP ou mQ. En outre, ce sont ces deux branches qui fourniront les limites précises des quatre régions tour à tour convexes et concaves (n° 094) , que présente la surface S autour du point M.

732. Les considérations précédentes permettent de simplifier la méthode dun" 727 pour une surface S non convexe, en admettant que l'on sait construire les tangentes au point multiple de l'intersection de cette surfgjce avec son plan tangent; ou en se bornant à les mener approximativement, hypothèse d'autant plus plausible que la direction de ces droites sera ici mieux indiquée, parce que chaque branche de l'intersection offrira un arc presque rectiligne (n° 731) dans les environs du point considéré M. Il suffira, en effet, de construire cette intersection sur un plan parallèle au plan tangent de S en M, de lui mener des tangentes mP et mQ au point multiple, lesquelles seront les asymptotes de /'iWica/rice qui n'aura pas besoin d'être tracée; puis, de diviser en deux parties égales les angles aigus et obtus que forment ces asymptotes : alors ces droites bissectrices ma et mb seront les traces des plans normaux principaux, et aussi les tangentes aux deux lignes de courbure partant de M. Ensuite, il restera à construire les sections faites dans la surface S par chacun de ces plans principaux, et à trouver (n'' 6i>G) les rayons de courbure de ces sections qui seront ceux de la surface elle-même.

Cette marche s'emploierait avec avantage pour un point quelconque d'un

hyperboloïde ou paraboloïde gauche , puisque la section du plan tangent serait ici composée de deux droites qui tiendraient lieu des tangentes qu'il fallait mener ci-dessus approximativement. Pour une surface gauche quelconque [fig. 143), une de ces tangentes serait la génératrice rectiligne GPM, et la seconde branche Ma de l'intersection s'obtiendrait par la marche générale ^ dun°585.

755. Au contraire, si l'on voulait construire rigoureusement les tangentes au point multiple de l'intersection d'une surface non convexe quelconque, avec son plan tangent, il n'y aurait qu'à déterminer comme au n" 727, les directions et les rayons de courbure des deux sections principales pour le point de contact assigné; puis, en déduire par le n° 750 les asymptotes de l'indicatrice, lesquelles seraient les tangentes cherchées.

FiG. 45. 754. Application au tore. Ce tore, représenté dans l'épure 45, a été coupé par son plan tangent M'T'T relatif au point (M, M'), suivant une courbe à deux branches MHRE.... et M/ire.... que nous avons construite au n 268. Pour trouver les tangentes de ces branches en M, nous observerons qu'ici où la surface est de révolution, le méridien A'M'B' est à la fois une première ligne de courbure et une section principale (n** 708) dont le rayon de courbure est R = M'w; l'autre section principale serait située dans le plan wM'Ç perpendiculaire au méridien précédent, et elle aurait pour rayon de courbure R' = M' Ç, c'est-à-dire la portion de la normale comprise entre le point M' et l'axe O'TJ de révolution (n° 708). Pour en déduire l'hyperboloïde osculateur au point (M, M'), il faut (n° 698) donner à l'axe réel de cette surface, dirigé suivant la normale (M'w, MB), une longueur arbitraire c que nous choisirons ici égale précisément au rayon M'w, parce qu'il en résultera pour le second axe réel dirigé suivant (wa, BG), cette valeur très -simple a = y'c . R = M'w ; c'est-à-dire que l'hyperboloïde sera de révolution, et aura pour cercle dégorge le méridien donné (A'M'B'a, AG). Quant à l'axe imaginaire qui sera perpendiculaire à ce méridien et passera par son centre (w, B), sa longueur déterminée par b = \/c.R', sera la droite M'ê moyenne proportionnelle entre M'w etM'Ç. Maintenant que l'hyperboloïde osculateur est complètement déterminé, nous sommes dispensés de construire par points l'indicatrice , puisque cette courbe n'est autre chose (n° 727) que la section faite dans l'hyperboloïde par le plan aw? parallèle au plan tangent M'T'T; ce sera donc une hyperbole ayant pour axe réel wa, et pour axe imaginaire une droite égale à M'ê et élevée par le centre (w, B) perpendiculairement au plan ver-