CHAPITRE III. — PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES. SqS

d'où l'on conclut que la circonférence décrite avec le rayon OC sera le lieu de tous les centres de courbure de l'enveloppe AmB ; et conséquemment cette enveloppe est elle-même une développante du cercle OC.

850. Revenons, maintenant, au véritable état de deux roues dont l'une . transmet à l'autre le mouvement circulaire qui Tanime ; car , comme nous l'avons dit n° 808 , l'hypothèse que le cercle O' roulait sur le cercle O entièrement fixe, n'était quune fiction propre à simplifier l'étude et le tracé des enveloppes dont nous avions besoin. Ainsi, en réalité, les centres O et O' FiG. 'j. sont fixes tous les deux , et le mouvement de révolution qui est imprimé à la roue O se communique à la roue O' par la poussée de la courbe AB sur la courbe ab ; mais pour que ce mouvement satisfasse à la condition essentielle du n" 806, il faut (n" 808) que l'une de ces courbes soit l'enveloppe de l'autre dont la forme demeure arbitraire. Toutefois, on doit y mettre la restriction que, dans la portion de ab qui sera utilisée, les rayons vecteurs tels que O'm, aillent toujours en décroissant ou toujours en augmentant; et dès lors ceux de AB, tels que Om, varieront constamment en sens contraire des premiers. Cela est nécessaire pour qu'il y ait véritablement poussée d'une dent sur l'autre; car, si l'un des rayons vecteurs O'm était maximum ou minimum , il serait nécessairement normal à la courbe ab; or quand les deux dents viendraient se ton- ^ cher en m, la normale O'm qui doit à cette époque (n** 810) passer par le point de contact D des deux cercles, irait donc coïncider en direction avec la ligne des centres ODO'; et dès lors la révolution du cercle O autour de son centre immobile, produirait une vitesse précisément tangentielle à la courbe amb, ce qui ne donnerait lieu qu'à un simple frottement qui serait insuffisant pour entiaîner la roue O'.

851. Lieu des contacts. Dans le mouvement de révolution autour des centres FiG. 7fixes O et O', le point de contact m de l'enveloppe et de l'enveloppée, qui toutes deux participent à ce mouvement, occupe successivement des positions différentes par rapport à la droite invariable ODO' et au point D dans lequel les cercles mobiles se touchent constamment : la suite de ces positions du point m, sur le plan fixe des deux cercles, forme une courbe utile à connaître. En général, on l'obtiendrait en mesurant sur chaque position du cercle mobile de la^^. 2 , le rayon vecteur A3 e^ et l'angle e, A3 O'a , pour les rapporter ensuite sur la ^"^. 7,3 partir du point D considéré comme pôle; mais, dans plusieurs cas, ce lieu des contacts entre l'enveloppe et l'enveloppée s'obtient d'une manière directe et très-simple.

I . Si l'enveloppée se réduisait à un point de la circonférence O', il est évident que cette circonférence serait elle-même le lieu demandé. FiG. II. 2°. Lorsque l'enveloppée est le rayon O'A [fig. ii), le lieu des contacts successifs est la circonférence V décrite sur O'A comme diamètre; car, quelle que soit la position O'A' du rayon mobile , la normale AN' qu'il faut abaisser du point A (n" 811), aboutira toujours sur la circonférence V.

3°. Dans le cas peu usité de la.fig. 12, où l'enveloppe et l'enveloppée seraient deux épicycloïdes, leurs points de contact se trouveraient tous évidemment sur la circonférence U, placée tangentiellement aux deux cercles primitifs sur la ligne invariable qui joint les centres fixes. FiG. 1 3, 4°- Enfin, lorsque l'enveloppée et l'enveloppe seront deux développantes de cercle, le lieu de leurs contacts successifs sera précisément la droite G'aC, tangente commune aux deux cercles auxiliaires qui donnent naissance à ces développantes; car, pendant la révolution de ces courbes autour des centres fixes O et O', la normale qu'il faudrait mener du point a (n" Hl 1), coïnciderait toujours avec la droite G'aC.

832. Limites correspondantes. Gomme, dans la pratique, on n emploie que des arcs peu étendus de l'enveloppe et de l'enveloppée, il importe de savoir limiter une de ces courbes à la portion vraiment utile, d'après la grandeur de l'arc conservé pour l'autre. Or les points correspondants, c'est-à-dire ceux qui se trouveront en contacta une certaine époque du mouvement de révolution, seraient tout naturellement donnés si Ton construisait l'enveloppe d'après la méthode du n° 811 etlay*^. 2 ; mais, dans la plupart des cas usuels, on connaît d'avance la nature de l'enveloppe et de l'enveloppée, et l'on trace ces courbes indépendamment l'une de l'autre; de sorte qu'il devient nécessaire de chercher ensuite les limites correspondantes, ce qui est facile quand on a construit le lieu des contacts successifs.

835. Par exemple, dans le cas de la fig- 11 où l'enveloppée est le rayon O'A , et l'enveloppe l'épicycloide AmB décrite par le roulement du cercle V, pour trouver le point correspondant à N , on ramènera ce dernier en N' sur la circonférence V qui est le lieu des contacts successifs , au moyen d'un arc de cercle décrit du centre O; puis, du centre O' avec le rayon O'N', on décrira un autre arc de cercle qui transportera le point ]N' en n sur le rayon O'A ; et ce dernier point correspondra à N. De sorte que si l'on ne conserve de l'enveloppe que l'arc AN, la seule portion utile de l'enveloppée sera An; or ces arcs ayant évidemment des «longueurs très-inégales, on aperçoit bien