CHAPITRE III. — PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES

et Ton aurait trouvé pourp' qui représente la corde Ma, la même valeur que ci-dessus.

825. La seule partie de ces enveloppes qui spit utile dans les applications aux enjjrenages, c'est la branche e/n, ou pour parler plus exactement, c'est la portion âm de celte branche qui se trouve à Fextérieur du cercle O. Quoique l'origine â de cette portion utile, diffère très-peu du rebroussement 2, si l'on veut déterminer précisément le premier de ces points, on observera qu'il se présente quand le petit cercle passe par le contact a des cercles O et O', c'est-^ à-dire quand la corde Ma se trouve égale au rayon Mm Donc il suffira de prendre l'arc Acî^ égal à celui qui, dans le cercle O', a pour corde le rayon Mm.

826. Enveloppe d'un rayon. Si nous adoptons pour enveloppée le rayon FiG. i i. (y A du cercle mobile O', l'enveloppe sera l'épicycloïde AmB engendrée par le

point A d'un cercle V qui serait décrit sur AO' comme diamètre, et qui roulerait lui-même sur la circonférence O. En effet, quand le cercle O' sera parvenu dans la position quelconque O", le rayon O'A occupera une situation 0"rt déterminée par la condition aa = aA ; si donc nous abaissons sur cette enveloppée 0"a la perpendiculaire am, le point m sera (n** 811) un point de l'enveloppe cherchée. Mais ce point m appartiendra évidemment à la circonférence V décrite sur aO" comme diamètre, et dès lors les arcs (x.m et cna qui répondent à un même angle aO"a et sont décrits avec des rayons doubles l'un de l'autre, se trouveront égaux en longueur absolue; d'où l'on conclut que l'arc am égale aussi l'arc aA, et qu'ainsi le point m déjà trouvé pour l'enveloppe, appartient effectivement à l'épicycloïde AB que décrirait le point A du cercle V qui roulerait sur la circonférence O.

827. Ce qui précède démontre en même temps que si le cercle V roulait dans l'intérieur du cercle O' devenu immobile, le point A de cette circonférence V décrirait une épicycloïde rectilkjne (jui serait précisément le rayon AO', ou plutôt le diamètre entier du cercle O', comme nous l'avons déjà vu au n** 475. De sorte qu'ici l'enveloppée et l'enveloppe sont engendrées par le roulement du même cercle V sur les circonférences O et O'; et ce résultat n'est qu'un cas particulier de la proposition suivante.

828. Enveloppe d'une épicycloïde. Si l'on fait rouler un cercle U de rayon Fig. 12. quelconque , d'abord dans l'intérieur du cercle O', et ensuite à l'extérieur du cercle O, un même point de la circonférence U décrira ainsi deux épicycloïdes

nb et AB , dont la dernière sera l'enveloppe de toutes les positions que prendra l'enveloppée «6, lorsque celle-ci se trouvera entraînée par la rotation du cercle O' sur la circonférence O. En effet, prenons les cercles O et O' dans

une position quelconque où ils se touchent en a, puis traçons le cercle U tangent aux deux autres dans ce même point. Alors la circonférence U ira couper 1 epicycloïde ab en un point m tel que l'arc am = aa ; mais par suite de la rotation du cercle G' sur O, l'arc aa = aA; donc les arcs am et aA sont égaux, et conséquemment le point m de la courbe ab appartient aussi à l'épicycloïde AB. D ailleurs ces deux épicycloïdes sont tangentes au point commun m, puisque pour l'une comme pour l'autre (n° 472) la normale est la corde ccm du cercle générateur U. Mais il est très-rare qu'on emploie ces deux profils curvilignes pour les dents des roues, attendu qu'on trouve bien plus commode d'adopter le système de la fig. 1 1 où l'un des deux profils est une droite

AO' n.

Fig. i3. S^d. Enveloppe d une développante de cercle. Adoptons enfin pour enveloppée la courbe amb qui est la développante (n^ 479) d'un cercle concentrique avec O' et décrit d'un rayon arbitraire O'C. Si du point a nous menons à ce cercle O'C la tangente amC\ celle-ci sera normale à amb et elle fournira (n° 811) un point m de l'enveloppe cherchée AmB ; d'ailleurs le centre de courbure G de cette enveloppe s'obtiendra (n" 816) en tirant O'C et sa parallèle OC , laquelle se trouvera perpendiculaire sur la normale G'aC et aura évidemment pour valeur constante

OG = 0'G'x|,;

(*) En généralisant ces considérations, on peut définir autrement que nous ne l'avons fait au n" 808, la forme que doivent avoir les profils conjugués des dents d'un engrenage. Pour cela, prenons une courbe quelconque W tangente en A (^g. 2) aux deux cercles O et 0', et faisons-la rouler tour à tour dans l'intérieur de la circonférence O' et à l'extérieur du cercle 0; alors le point A de W décrira successivement deux courbes ab et AB qui seront les profils demandés. Car, lorsque les cercles O et O' tourneront autour de leurs centres immobiles, et de manière à imprimer des vitesses égales (n° 806) aux circonférences aê et a'§', il arrivera que les courbes AB et ab engendrées comme ci-dessus , se touc/icront constamment en un point variable pour lequel la normale commune passera toujours par le point A sur la ligne des centres. C'est ce que l'on démontrera avec facilité, si l'on substitue, d'après le principe du n° 809 , au mouvement de révolution des cercles O et 0' autour de leurs centres immobiles , le roulement de la circonférence O' sur la circonférence O entièrement fixe.

Mais cette seconde définition des profils des dents , serait peu commode à employer dans le cas où l'on assigne d'avance et arbitrairement la forme ab d'un de ces profils; car il faudrait alors commencer par chercher quelle serait la courbe W qui , en roulant sur 0', pourrait engendrer le profil donné ab , ce qui offrirait souvent beaucoup de difficultés.